6.4.1平面几何中的向量方法5题型分类（原卷版）

6.4.1平面几何中的向量方法5题型分类一、向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.二、向量在平面几何中常见的应用已知．证明线段平行、点共线问题及相似问题常用向量共线的条件：．证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等常用向量垂直的条件：（其中为非零向量）．求夹角问题，若向量与的夹角为利用夹角公式：（其中为非零向量）．求线段的长度或说明线段相等可以用向量的模：，或（其中两点的坐标分别为．对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．（一）利用向量证明平面几何问题1、向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤(1)利用线性运算证明的四个步骤:①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化.(2)利用坐标运算证明的四个步骤:①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化.题型1：用向量证明线段垂直11．（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.12．（2023·高一课时练习）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2AC2=DB2DC2，求证：AD⊥BC.13．（北京市丰台区20222023学年高一下学期期中练习数学（A）试题）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法证明：.14．（2023下·福建泉州·高一泉州五中校考期中）在中，，对任意，有.（1）求角；（2）若，，且、相交于点.求证：.15．（2023·江苏·高一专题练习）已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形．求证：且题型2：用向量证明平行问题21．（2023·江苏·高一专题练习）在中，点，分别在线段，上，，.求证：.22．（2023·河北衡水·高二周测）已知，为两个不共线的向量，若四边形满足，，．(1)将用表示；(2)证明：四边形为梯形．23．（2023·高一课时练习）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点（1）试用向量证明：PQAB；（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.24．（2023·江苏·高一专题练习）如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．（二）利用向量解决平面几何求值问题(1)用向量法求长度的策略①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.题型3：平面几何的长度、夹角求值问题31．（2023·安徽安庆·统考二模）设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是.32．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末）在四边形中，若，则该四边形的面积为（

）A． B． C．5 D．1033．（2023下·江西九江·高一九江一中校考期中）在中，，点满足，若，则的值为（

）A． B． C． D．34．（2023下·湖北·高一校联考期中）如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为.35．（2023下·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．(1)求和的值；(2)若，，，求与所成角的余弦值．36．（2023下·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求.37．（2023下·重庆·高一校联考期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.(1)求线段，的长；(2)求的余弦值.题型4：判断三角形的形状41．（2023·高一单元测试）已知位置向量,,的终点分别为,,,试判断的形状.42．（2023下·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形43．（2023·全国·高一专题练习）已知点，则是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形题型5：平面几何中的最值问题51．（2023上·福建三明·高三阶段练习）已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是A． B． C． D．52．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．53．（2023·湖南）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则的最大值为A．6 B．7 C．8 D．954．（2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习）在中，满足，是的中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．一、单选题1．（2023下·河北保定·高一校考期中）在△ABC中，已知，则BC边的中线AD的长是A． B．C． D．2．（2023下·山西运城·高一统考期中）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（

）A． B． C．13 D．263．（2023下·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知的面积为2,在所在的平面内有两点、,满足,,则的面积为（

）A． B． C．1 D．24．（2023·四川乐山·统考一模）已知向量，向量，则的形状为(

)A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形5．（2023·广东佛山·高三阶段练习）在中，若，则的形状是（

）A．为钝角的三角形B．为直角的直角三角形C．锐角三角形D．为直角的直角三角形6．（2023下·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）中,设,若,则的形状是A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定7．（2023下·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）若,且,则四边形是A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形8．（2023·辽宁）若函数的图像按向量平移后，得到函数的图像，则向量（

）A． B． C． D．9．（2023上·广东佛山·高二校考期中）以为顶点的三角形是（

）A．锐角三角形 B．以为直角顶点的直角三角形C．以为直角顶点的直角三角形 D．钝角三角形10．（2023上·河北·高三期中）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（

）A．5 B． C．4 D．11．（2023上·湖北·高二校联考阶段练习）已知平面向量满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．12．（2023·陕西·模拟预测）已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（

）A． B． C． D．13．（2023·四川南充·统考三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（

）A． B．C． D．14．（2023·江苏·高一专题练习）已知H为的垂心，若，则（

）A． B．C． D．15．（2023下·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（

）A． B． C． D．16．（2023上·山东济南·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形17．（2023下·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）满足的△ABC（

）A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形18．（2023下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形19．（2023下·宁夏银川·高一银川一中校考期中）在四边形中，若，则四边形为（

）A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形20．（2023·江苏·高一假期作业）如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（

）A． B． C．或 D．或21．（2023上·河南郑州·高三温县第一高级中学校联考阶段练习）22．（2023下·福建三明·高一统考期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（

）A． B． C． D．23．（2023下·江苏南京·高一校考阶段练习）已知非零向量和满足，且，则为(

)A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形24．（2023下·四川凉山·高一宁南中学校考阶段练习）在中，若，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法判断25．（2023下·山西晋中·高一榆次一中校考期中）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(

)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形26．（2023下·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形27．（2023下·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）直角三角形中，，，，M为的中点，，且P为与的交点，则（

）A． B． C． D．28．（2023下·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（

）A． B． C． D．二、多选题29．（2023上·山东济宁·高三校考期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（

）A．与能构成一组基底 B．C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为30．（2023上·广东广州·高二广州市第二中学校考阶段练习）在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（

）A． B．C．的余弦值为 D．31．（2023·全国·模拟预测）已知AB，CD为圆O的直径，P为圆O内一点，，，则（

）A．B．C．D．的最大值是132．（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在直角梯形中，，，，，点P在所在的平面内，满足，若M是的中点，则的取值可能是（

）A．7 B．10 C．13 D．16三、填空题33．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为．34．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知O是内部一点，且满足，又，则的面积为.35．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为．36．（2023上·福建泉州·高三校联考期中）若，则的取值范围是.37．（2023下·北京西城·高三北京市第一六一中学开学考试）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是．四、解答题38．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．39．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC.40．（2023·高一课时练习）如图，点O是平行四边形的中心，分别在边上，且，求证点在同一直线上.41．（2023·浙江·高一校联考期中）在△中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点，且.(1)当且是边上的中点时，设与交于点，求线段的长；(2)若，求的最小值.42．（2023下·北京丰台·高一统考期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点.，设.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法证明：.43．（2023下·新疆喀什·高一统考竞赛）用向