新教材高中数学人教B版选择性第一册训练2-7-2抛物线的几何性质

第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.2抛物线的几何性质课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6,则直线AF的斜率为()A.2 B.±2C.22 D.±22答案D解析由题意,点F(2,0),因为|AF|=xA+2=6,可得xA=4,又因为点A在抛物线上,所以yA2=32,则yA=±42,所以点A(4,±42),则kAF=±422=2.已知直线y=kxk及抛物线y2=2px(p>0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点答案C解析∵直线y=kxk=k(x1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.3.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=22,则点A到抛物线的准线的距离为()A.12 B.32 C.2 D答案B解析由抛物线y2=2x,其准线方程为x=12,∵AB垂直于x轴,|AB|=22,A到y轴的距离为2,假设A在y轴上侧,即y=2,代入抛物线y2=2x,求得x=点A到抛物线的准线的距离d=1+124.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有()A.|PP1|=|AA1|+|BB1|B.|PP1|=12C.|PP1|>12D.|PP1|<12答案B解析如图所示,根据题意,PP1是梯形AA1B1B的中位线,故|PP1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AF|+|BF|)=15.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为()A.23 B.4 C.6 D.43答案D解析由题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.设Pm24,m,则M(1,m),等边三角形边长为1+m24得1+m24=(1+1)2∴等边三角形的边长为4,其面积为43,故选D.6.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是.答案3解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+所以当x=0时,z最小,其值为3.7.已知抛物线y2=2x的焦点为F,点A,B在抛物线上,若△FAB为等边三角形,则其边长为.

答案4±23解析因为|FA|=|FB|及抛物线的对称性知A,B关于x轴对称,不妨设直线AF的倾斜角为π6,F12,0,则直线AF联立y2=2x,则|AF|=x+p2=7±432+所以该三角形边长为4±23.8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题意知M0,-∵|AF|=3,∴y0+p2=∵|AM|=17,∴x02∴x02=8,代入方程x02=28=2p3-p2,解得p=2或∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=1.(1)求p的值;(2)直线l:y=x1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.解(1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=1,得p2=1,所以p=2(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x消去y,得x26x+1=0,则x1+x所以|AB|=(=2=2×32=关键能力提升练10.已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且FA=3FB,则|AB|=()A.23 B.43 C.83答案C解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=1,设A(1,a),B(m,n),∵FA=3FB,∴m+12=23,∴m+1=11.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线l相切的圆有()A.1个 B.2个C.0个 D.无数个答案B解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F12,0,由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的圆有12.已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为()A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0答案B解析因为点A(2,2)在抛物线y2=2px上,故22=2p×2,即p=1,所以抛物线方程为y2=2x,设过点A(2,2)与圆(x2)2+y2=1相切的直线的方程为y2=k(x2),即kxy+22k=0,则圆心(2,0)到切线的距离d=|2k-0+2-2k|k2+1=1,解得k=±3,如图,直线AB:y2=3(x2),联立y-2=3(x-2),y2=2x,得3x2+(4314)x+1683=0,故xAxB=16-833,由xA=2得xB=8-433,故yB=23-63,联立y-2=-3(x-2),y2=2x,得3x2(43+14)x+16+83=0,故xAxC=16+833,由xA=2得xC=8+433,故yC=-13.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足MF=3FN,S△OMN=3|MN|,则p的值为.

答案8解析不妨设直线MN的斜率k>0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,过N作NK⊥MG于K,由MF=3FN,得|MF|=3|FN|,∴|MG|=3|NH|,∴|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|∴|NK|=|MN|由S△OMN=S△OMF+S△ONF=12|OF|·|NK|=38p|MN|,又S△OMN=3∴38p|MN|=3|MN|,得p=814.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为.

答案y2=3x解析由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点Fp2,0.当直线PQ斜率不存在时,易得|PQ|=当直线PQ斜率存在时,设PQ的方程为y=kx-p2,P(x1,y1),Q(x2,联立y=kx-p2,y整理得4k2x2(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x2=p+2pk2,x1x2所以|PQ|=x1+x2+p=2p1+1k2>综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,∴抛物线方程为y2=3x.15.(2021全国乙,理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.解(1)点F0,p2到圆M上的点的距离的最小值为|FM|1=p2+41=4,(2)由(1)知,抛物线的方程为x2=4y,即y=14x2,则y'=12x.设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得直线lPA:y=x12xx124,直线lPB:y=x22设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x24kx4b=0,∴Δ=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=4b,∴P(2k,b).∵|AB|=1+k2·(x1+x2∴S△PAB=12|AB|d=4(k2+b)32又点P(2k,b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,故k2=1-(b-4)24,代入①得,S△PAB=4-b2+12∴当b=5时,(S△PAB)max=205.16.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.(1)求y1y2的值;(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1k(1)解依题意,设AB的方程为x=my+2,代入y2=4x,得y24my8=0,从而y1y2=8.(2)证明设M(x3,y3),N(x4,y4),k1k2=y3代入y2=4x,消去x得y24ny4=0,所以y1y3=4,同理y2y4=4,k1由(1)知y1y2=8,所以k1k2=学科素养拔高练17.已知抛物线y2=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则|NF|9-A.23 B.C.13 D.答案D解析抛物线y2=16x的焦点为F,则F(4,0),当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4,由y2=16x,x=4,可得M(4,8),N(4,8),∴|MF|=|NF|=8,∴|NF|9-4|MF|=718.当直线l的斜率存在时,设过点F的直线l的方程为y=k(x由y2=16x,y=k(x-4),消y可得k2x(16+8k2)x+16k2=0,∴x1+x∴|MF|=x1+p2=x1+4,|NF|=x2+p2=x2∴1|MF|+1|NF|=x1+x2+84(x1+x18.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,点P在l上的射影为P1,则下列结论中正确的是()A.若x1+x2=6,则|PQ|=8B.以PQ为直径的圆与准线l相切C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥2D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条答案ABC解析若直线的斜率存在,设y=k(x1),由y=k(x-1),y2=4x,得kx1+x2=2k2+4k2,x1对于A,若x1+x2=6,则k2=1,故k=1或1,|PQ|=1+1(x1+x2