二次函数中的存在性问题每日一题及答案

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页二次函数中的存在性问题（每日一题）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分离以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，哀求出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，哀求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？请证实你的结论．（3）探索坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，哀求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点D的坐标；（3）P是y轴左侧抛物线上的动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，哀求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】【1】解：（1）在矩形ABCD中，BC=AO=10，OC=AB=8,由折叠可知：CE=BC=10，DE=BD在Rt△EOC中，由勾股定理可得EO=6，∴AE=4，设AD=x，则DE=8-x在Rt△ADE中由勾股定理得42+x2=（8-x）2，∴x=3，则D（3，10），AD=3将O（0，0），D（3，10），C（8，0）代入，得（2）存在；理由：①当EC为平行四边形的边时，则MN∥EC，MN=EC由E（0，6），C（8，6）可知E、C之间的水平距离为8，∴M、N之间的水平距离也是8∵点N在抛物线对称轴直线x=4上，若M在对称轴左侧，则M的横坐标为-4，代入抛物线可得M1（-4，-32）∴N1（4，-38）若M在对称轴右侧，则M的横坐标为12，代入抛物线可得M2（12，-32）∴N2（4，-26）②当EC为平行四边形对角线时，MN过EC的中点（4，3）∵N在直线x=4上，∴直线MN与直线x=4重合，∴M3（4，）∴N3（4，）综上所述：M、N的坐标为：M1（-4，-32），N1（4，-38）；M2（12，-32），N2（4，-26）；M3（4，），N3（4，）【2】解：（1）将A（-3，0），B（1，0）代入，可得：（2）存在；理由：①当AC为平行四边形的边时：MQ∥AC若M在x轴上方，则MC∥QA，MC=QA由C（0，2）可知点M的纵坐标为2，代入抛物线解析式得M1（-2，2）∴QA=MC=2由A（-3，0）知Q1（-5，0）若M在x轴下方，则四边形MACQ为平行四边形，则C与M到x轴的距离相等，由C（0，2）知M的纵坐标为-2，代入抛物线解析式得M2（，-2），M3（，-2）∴Q2（，0），Q3（，0）②当AC为平行四边形的对角线时，MQ过AC的中点（，1）∴M在x轴上方，∴MC∥AQ∴M（-2，2）由MQ中点（，1）可得Q4（-1，0）综上所述：Q1（-5，0）；Q2（，0）；Q3（，0）；Q4（-1，0）【3】（1）由A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）可得解析式：∴顶点D（1，-4）（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，

理由如下：

过点D分离作x轴、y轴的垂线，垂足分离为E、F．

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC=，

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴CD=，

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴BD=，

∴BC2+CD2=BD2，故△BCD为直角三角形．（3）存在；理由：衔接AC，则易证Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠CDB=∠OAC，∠DBC=∠ACO当P在x轴上时，若∠APC=90°，则PC⊥x轴，∴P与O重合，此时Rt△APC∽Rt△DCB，符合题意，∴P1（0，0）若∠ACP=90°，∵∠CDB=∠OAC，易证Rt△APC∽Rt△DCB，符合题意，∴Rt△AOC∽Rt△ACP，∴，∴OP=9，∴P2（9，0）当P在y轴上时，若∠APC=90°，P与O重合，若∠PAC=90°，∵∠DBC=∠ACO，易证Rt△DCB∽Rt△PAC，符合题意易证Rt△POA∽Rt△AOC，∴，∴OP=，∴P3（0，）综上所述符合条件的P点有三个：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，）【4】（1）由A（－2，0），B（-3，3），O（0，0）可得解析式：（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（-2，0）知DE=AO=2，若D在对称轴直线x=-1左侧，则D横坐标为-3，代入抛物线解析式得D1（-3，3）若D在对称轴直线x=-1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）当AO为平行四边形对角线时，DE过AO中点（-1，0），∵E在直线x=-1上，∴直线DE与对称轴重合，∴D3（-1，-1）综上所述：符合条件的D有三个：D1（-3，3）D2（1，3）D3（-1，-1）（3）存在，

如图：∵B（-3，3），C（-1，-1），按照勾股定理得：

BO2=18，CO2=2，BC2=20，

∴BO2+CO2=BC2．

∴△BOC是直角三角形且.设P（m，）当P在x轴下方，则-2<m<0，若，则，∴m=