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朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第5章一元函数积分学

第一节：不定积分1.不定积分的概念与性质（1）定义：设函数在区间上有定义，倘若存在函数，使对任，有或(），则称为在区间上的一个原函数。函数的原函数全体叫的不定积分，记作，且有（C为随意常数）（2）不定积分性质【例题5-1】的一个原函数为，则等于：（A） （B） （C） （D）解析：，答案：A【例题5-2】倘若，则函数等于（A）；（B）；（C）；（D）解：两边对求导，得，所以，应选B。2.不定积分的计算（1）基本积分公式（2）直接积分法直接积分法就是利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的主意。偶尔还要用到代数和三角函数的恒等式对被积函数举行恒等变形,然后再使用积分公式。【例题5-3】等于：（A） （B） （C） （D）解：=故应选（C）。（3）第一类换元积分法（凑微分法）倘若被积函数的主要部分是复合函数，例如，而余下部分正巧是内层函数的导数，既，则可将凑成，再利用积分公式得结果。这种主意最关键的一步是凑微分，为方便大家做题，这里列出几种常用凑微分形式：1）2）3）4）5）6）【例题5-4】下列各式中准确的是（为随意常数）：（A）；（B）；（C）；（D）解：因为，，有故应选（A）。【例题5-5】不定积分等于:(A)(B)(C)(D)解:，答案：D【例题5-6】若,则等于:(式中为随意常数)(A)(B)(C)(D)解:利用第一类换元,故应选(A).【例5-7】设是的一个原函数，则（A）（B）（C）（D）解：，故应选（C）。（4）分部积分法这种主意是利用分部积分公式将无法直接求出原函数的积分化为能求出原函数的积分，从而得到结果。分部积分法主要用于以下两种情形：1）当被积函数是对数函数或反三角函数时,必须用分部积分法。这是取被积函数为，就是，直接套公式则可。【例题5-8】不定积分等于:(式中为随意常数)(A)(B)(C)(D)解:用分部积分法，有故应选(A).2）当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，可考虑用分部积分法。这时，按“反、对、幂、指、三”的顺序，位于前面的取为，余下部分为。【例题5-9】若等于:(式中为随意常数)(A)(B)(C)(D)解:被积函数是幂函数和指数函数的乘积，取，有=故应选(A).【例题5-10】若是的一个原函数，则等于：A.B.C.D.解析：因是的一个原函数，故有，利用分部积分公式，。答案：D第二节：定积分1.定积分的概念及性质（1）定积分的定义说明：1）是一个数值，它只与积分区间及被积函数有关，而与积分变量的记号无关。2）规定：（2）定积分的几何意义当

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