数理统计学总复习(大连理工出版社滕素珍等著)解析

数理统计学总复习(大连理工出版社滕素珍等著)解析2024-01-20REPORTING目录绪论与基本概念描述性统计概率论基础统计推断回归分析时间序列分析统计决策与贝叶斯统计PART01绪论与基本概念REPORTING123以概率论为基础，研究大量随机现象的统计规律性。对随机现象进行数据收集、整理、分析和推断，以揭示其内在的数量规律性。通过对数据的分析，为决策和预测提供依据。数理统计学的研究对象古典统计学时期以描述性统计为主，注重数据的收集和整理。现代统计学时期以多元统计分析、非参数统计、时间序列分析等为主，广泛应用于各个领域。近代统计学时期以推断性统计为主，注重利用样本数据对总体进行推断。数理统计学的发展历史总体与样本总体是研究对象的全体，样本是从总体中随机抽取的一部分。统计量与抽样分布统计量是用于描述样本特征的量，抽样分布是统计量的概率分布。随机变量与概率分布随机变量是描述随机现象的数学工具，概率分布是描述随机变量取值规律的数学模型。参数估计与假设检验参数估计是利用样本信息对总体参数进行估计，假设检验是对总体参数或分布形式提出假设并进行检验的过程。数理统计学的基本概念自然科学如物理学、化学、生物学等，用于揭示自然现象的内在规律和本质特征。医学卫生如临床试验、流行病学调查、健康评估等，用于提高医疗水平和促进人类健康。工程技术如质量控制、可靠性分析、寿命预测等，用于提高产品质量和工程效益。社会科学如经济学、社会学、心理学等，用于研究社会现象的数量关系和变化规律。数理统计学的应用领域PART02描述性统计REPORTING数据来源根据数据的性质，可分为定性数据和定量数据。数据类型数据收集方法数据整理01020403对收集到的数据进行分类、分组和编码，以便于后续分析。明确数据的来源，包括观测、调查、实验等。选择合适的收集方法，如普查、抽样调查等。数据收集与整理ABCD数据分布的图形表示频数分布表用表格形式表示数据分布情况，包括频数、频率等。折线图用折线连接各组数据点，适用于表示时间序列数据或连续性变量的变化趋势。直方图用矩形面积表示各组频数分布情况，易于观察数据分布规律。箱线图用箱体、须线和异常点表示数据的分布情况，可直观识别数据中的异常值和偏态分布。03众数出现次数最多的数，反映数据的集中趋势。01算术平均数所有数据之和除以数据个数，反映数据的平均水平。02中位数将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数，反映数据的中心位置。集中趋势的度量极差最大值与最小值之差，反映数据的波动范围。方差各数据与平均数之差的平方和的平均数，反映数据的离散程度。标准差方差的平方根，用s表示，反映数据的离散程度，与原始数据单位相同。变异系数标准差与平均数的比值，用于比较不同单位或不同波动范围的数据的离散程度。离散程度的度量PART03概率论基础REPORTING在一定条件下并不总是发生的现象。随机事件随机试验所有可能结果的集合。样本空间包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件。事件的关系与运算频率与概率、古典概型、几何概型、概率的加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式。概率的定义与性质随机事件与概率随机变量及其分布随机变量定义在样本空间上的实值函数。离散型随机变量及其分布律分布律、常见离散分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）。连续型随机变量及其概率密度概率密度函数、常见连续分布（均匀分布、指数分布、正态分布）。随机变量的函数的分布离散型随机变量函数的分布、连续型随机变量函数的分布。数学期望反映随机变量平均取值的大小。方差衡量随机变量取值分散程度的一个量。协方差与相关系数衡量两个随机变量的线性相关程度。矩与协方差矩阵描述随机向量的数字特征。随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理大数定律揭示了当试验次数很大时，随机事件的频率稳定于它的概率。中心极限定理阐明了当独立随机变量的个数不断增加时，它们的和的分布趋于正态分布。PART04统计推断REPORTING抽样分布的概念及种类简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。样本均值是总体均值的无偏估计，其分布随着样本量的增加而逐渐趋近于正态分布。样本方差是总体方差的无偏估计，其分布与卡方分布密切相关。t分布用于小样本情况下均值差异的检验，F分布用于方差分析，卡方分布用于检验样本方差与总体方差的差异。样本均值的分布样本方差的分布t分布、F分布与卡方分布抽样分布点估计是用样本统计量来估计总体参数，区间估计则是给出一个包含总体参数的置信区间。点估计与区间估计基于贝叶斯定理的参数估计方法，能够充分利用先验信息。贝叶斯估计法无偏性、有效性、一致性等。估计量的评价标准一种常用的点估计方法，通过最大化似然函数来得到参数的估计值。最大似然估计法参数估计假设检验的基本思想先对总体参数提出假设，然后利用样本信息来判断假设是否成立。显著性水平与检验功效显著性水平是拒绝原假设时所犯错误的概率，检验功效是正确拒绝原假设的概率。单侧检验与双侧检验单侧检验只关注参数的一侧，而双侧检验关注参数的两侧。常见的假设检验方法t检验、z检验、卡方检验、F检验等。假设检验单因素方差分析只考虑一个因素对指标的影响。不同因素之间可能存在交互作用，需要进行分析和判断。方差分析中的交互作用通过比较不同组间的方差与组内的方差来判断因素对指标的影响是否显著。方差分析的基本思想同时考虑多个因素对指标的影响。多因素方差分析方差分析PART05回归分析REPORTING回归方程的检验利用t检验、F检验等方法，对回归方程进行显著性检验，判断自变量和因变量之间是否存在显著的线性关系。回归方程的预测根据回归方程，可以对因变量进行预测，并计算预测值的置信区间。回归方程的建立和求解通过最小二乘法等方法，求解回归系数，建立一元线性回归方程。一元线性回归多元线性回归当自变量之间存在高度相关时，会导致多重共线性问题，可以采用逐步回归、岭回归等方法进行处理。多重共线性的诊断和处理通过多元线性回归模型，求解回归系数，建立多元线性回归方程。回归方程的建立和求解利用F检验、t检验等方法，对多元线性回归方程进行显著性检验，判断自变量和因变量之间是否存在显著的线性关系。回归方程的检验根据因变量和自变量之间的非线性关系，建立相应的非线性模型。非线性模型的建立通过迭代算法等方法，求解非线性模型的参数。非线性模型的求解利用残差分析、拟合优度检验等方法，对非线性模型进行检验和评估。非线性模型的检验非线性回归残差分析通过对残差进行图形化展示和统计分析，判断回归模型是否满足假设条件，如随机误差项的独立性、同方差性等。变量选择在建立回归模型时，需要选择合适的自变量，可以采用逐步回归、主成分分析等方法进行变量选择。模型优化针对回归模型存在的问题，如多重共线性、异方差性等，可以采用相应的优化方法进行改进，如岭回归、加权最小二乘法等。回归模型的诊断与优化PART06时间序列分析REPORTING时间序列的定义按时间顺序排列的一组数据，反映现象随时间变化的情况。时间序列的性质连续性、动态性、规律性、综合性。时间序列的构成要素长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。时间序列的概念与性质统计特性不随时间推移而变化的序列。平稳时间序列的定义图形判断法、自相关函数法、单位根检验法等。平稳性检验方法为后续建模和分析提供基础，确保模型的有效性和准确性。平稳性检验的意义时间序列的平稳性检验通过计算历史数据的移动平均值进行预测，适用于短期预测。移动平均法对历史数据进行加权平均，给予近期数据更大权重，适用于中短期预测。指数平滑法自回归移动平均模型，适用于平稳和非平稳时间序列的预测，具有较高的预测精度。ARIMA模型时间序列的预测方法消除时间序列中的季节性因素，以便更准确地分析和预测。季节性调整的目的移动平均比率法、X-12季节调整法等。季节性调整的方法经济、金融、气象等领域的时间序列分析。季节性调整的应用场景时间序列的季节性调整PART07统计决策与贝叶斯统计REPORTING统计决策的基本概念统计决策是指在不确定条件下，根据已有的统计信息和经验，对某一问题选择最佳行动方案的过程。统计决策的基本要素包括决策者、行动方案、自然状态、损益函数和决策准则五个基本要素。统计决策的分类根据决策问题的性质，可分为描述性决策、推断性决策和预测性决策；根据决策目标的多少，可分为单目标决策和多目标决策。统计决策的定义贝叶斯统计的基本思想贝叶斯统计是基于贝叶斯定理进行统计推断的方法，它认为参数是一个随机变量，具有一个先验分布，在获得样本信息后，可以得到参数的后验分布。先验分布与后验分布先验分布是指在获得样本信息之前对参数的分布假设，后验分布是指在获得样本信息之后对参数的分布进行更新得到的分布。贝叶斯统计与经典统计的比较贝叶斯统计与经典统计的主要区别在于对参数的认识和处理方式上。经典统计认为参数是未知的常数，而贝叶斯统计认为参数是随机变量。贝叶斯统计的基本原理贝叶斯决策的基本步骤包括确定决策问题、选择损失函数、确定先验分布、计算后验分布、选择最优决策等步骤。贝叶斯决策与最小风险决策最小风险决策是一种常用的决策方法，它追求的是在所有可能的自然状态下，使得期望损失达到最小。而贝叶斯决策是在最小风险决策的基础上，引入了先验分布和后验分布的概念。贝叶斯决策的应用举例例如医疗诊断、金融投资决策、机器学习等领域中都有广泛的应用。贝叶斯统计的决策方法在医疗诊断中，医生需要根据患者的症状和检查结果来判断患者是否患有某种疾病。这时可以利用贝叶斯统计的方法，根据已有的医学知识和经验，对患者的患病概率进行推断和预测。在金融投资决策中，投资者需要根据市场信息和自己的投资目标来选择最佳的投资组合。这时可以利用统计决策的方法，对市