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数学广角教案:多角形的性质及应用一、多边形基本概念多边形是指由若干条线段相连所形成的平面图形,其中每个线段两端点称为多边形的顶点(Vertex),相邻两条线段所围成的角称为多边形的内角(interiorangle),与外部的角称为多边形的外角(exteriorangle)。多边形按边数和角度可分为三种:三角形(三边和三角度)、四边形(四条边和四个角)和多边形(五边及以上)。二、多边形的性质内角和公式对于n边形(其中n≥3),其所有内角和为(n-2)×180°。证明如下:(1)将n边形任取一点,连接该点到各顶点,如下图所示(此处以五边形为例):(2)我们可以将n边形分成n个三角形,而一个三角形的内角和是180°。因此,我们不难得出n边形的总内角和=S(n个三角形的内角和)=n×180°。但是由于连接任意一点后,每个三角形内角和的和超出了2个直角,即360°,因此,不难得出n个三角形内角和的和为(n-2)×180°,即n边形的内角和公式。外角和公式对于n边形,其各个外角的和为360°。证明如下:(1)在任意一个顶点处,向外边引一条线段,如下图所示(此处以五边形为例):(2)可以看出,从该顶点处出发,向外引出的两条线段与原来的边组成一个三角形。而我们已知,一个三角形的三个角和为180°,因此,该三角形的两个角和即原多边形该顶点的内角,而另一个角即为外角。(3)因此,从该顶点出发的所有顶点外角和即为该顶点内角。而根据上述的内角和公式,可以得出n边形所有内角和为(n-2)×180°,因此,从n个顶点处出发,顶点外角和即为(n-2)×180°。(4)而另外两个对顶节点出发的外角和也为(n-2)×180°,因此,整个n边形的外角和即为(n-2)×180°×3=360°。因此,以上两个性质通常被称为多边形内角和定理和多边形外角和定理。对称性对于n边形,有以下几种对称性:(1)对称轴,指将n边形分成两部分的直线,使得这条直线上的任意一点对应的点互相对称。(2)中心对称,指以n边形的中心为中心,以任意一点到中心的距离为半径作圆,每个点与其余点互相对称。三、多边形的应用面积计算多边形的面积,最常用的方法是将其分割成多个形状简单的部分,计算每个部分的面积再求和,这种方法叫做分割法。例如,计算下面这个五边形的面积:我们可以将它分割成三角形和梯形两部分,如下图所示:其中,D、E两点的连线所中梯形的高等于三角形的底,因此,梯形的面积为:(8+2)×3÷2=15(平方厘米)。另外,由于五边形是凸多边形,因此,从A、B、C三个顶点出发的一系列连线是不相交的,因此,我们可以将五边形分割成三个三角形,分别计算面积然后相加,其面积为:(三角形ABD的面积)+(三角形BCD的面积)-(三角形ECD的面积)=(8×4÷2)+(10×3÷2)-(2.5×8÷2)=31(平方厘米)。因此,五边形的面积为15+31=46(平方厘米)。应用实例在日常生活中,多边形有许多应用,例如:(1)建筑设计:简单的多边形构成的建筑外形更容易施工,并且也更具美感。(2)地理研究:地球表面的地区一般不是简单的正多边形,因此需要将复杂地区分割成许多多边形计算其面积。(3)电子工程:电路板在设计时也常常使用多边形图形。(4)图像处理:在计算机图像处理中,对于含有复杂轮廓的图形,我们也常常使用多边
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