数学广角教案：多角形的性质及应用

数学广角教案：多角形的性质及应用一、多边形基本概念多边形是指由若干条线段相连所形成的平面图形，其中每个线段两端点称为多边形的顶点（Vertex），相邻两条线段所围成的角称为多边形的内角（interiorangle），与外部的角称为多边形的外角（exteriorangle）。多边形按边数和角度可分为三种：三角形（三边和三角度）、四边形（四条边和四个角）和多边形（五边及以上）。二、多边形的性质内角和公式对于n边形（其中n≥3），其所有内角和为(n-2)×180°。证明如下：（1）将n边形任取一点，连接该点到各顶点，如下图所示（此处以五边形为例）：（2）我们可以将n边形分成n个三角形，而一个三角形的内角和是180°。因此，我们不难得出n边形的总内角和=S（n个三角形的内角和）=n×180°。但是由于连接任意一点后，每个三角形内角和的和超出了2个直角，即360°，因此，不难得出n个三角形内角和的和为(n-2)×180°，即n边形的内角和公式。外角和公式对于n边形，其各个外角的和为360°。证明如下：（1）在任意一个顶点处，向外边引一条线段，如下图所示（此处以五边形为例）：（2）可以看出，从该顶点处出发，向外引出的两条线段与原来的边组成一个三角形。而我们已知，一个三角形的三个角和为180°，因此，该三角形的两个角和即原多边形该顶点的内角，而另一个角即为外角。（3）因此，从该顶点出发的所有顶点外角和即为该顶点内角。而根据上述的内角和公式，可以得出n边形所有内角和为(n-2)×180°，因此，从n个顶点处出发，顶点外角和即为(n-2)×180°。（4）而另外两个对顶节点出发的外角和也为(n-2)×180°，因此，整个n边形的外角和即为(n-2)×180°×3=360°。因此，以上两个性质通常被称为多边形内角和定理和多边形外角和定理。对称性对于n边形，有以下几种对称性：（1）对称轴，指将n边形分成两部分的直线，使得这条直线上的任意一点对应的点互相对称。（2）中心对称，指以n边形的中心为中心，以任意一点到中心的距离为半径作圆，每个点与其余点互相对称。三、多边形的应用面积计算多边形的面积，最常用的方法是将其分割成多个形状简单的部分，计算每个部分的面积再求和，这种方法叫做分割法。例如，计算下面这个五边形的面积：我们可以将它分割成三角形和梯形两部分，如下图所示：其中，D、E两点的连线所中梯形的高等于三角形的底，因此，梯形的面积为：(8+2)×3÷2=15（平方厘米）。另外，由于五边形是凸多边形，因此，从A、B、C三个顶点出发的一系列连线是不相交的，因此，我们可以将五边形分割成三个三角形，分别计算面积然后相加，其面积为：（三角形ABD的面积）+（三角形BCD的面积）-（三角形ECD的面积）=（8×4÷2）+（10×3÷2）-（2.5×8÷2）=31（平方厘米）。因此，五边形的面积为15+31=46（平方厘米）。应用实例在日常生活中，多边形有许多应用，例如：（1）建筑设计：简单的多边形构成的建筑外形更容易施工，并且也更具美感。（2）地理研究：地球表面的地区一般不是简单的正多边形，因此需要将复杂地区分割成许多多边形计算其面积。（3）电子工程：电路板在设计时也常常使用多边形图形。（4）图像处理：在计算机图像处理中，对于含有复杂轮廓的图形，我们也常常使用多边