2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷B（含答案）

«1，久2,《称为•

2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷B

8.相似矩阵的特征值_______.

适用专业：考试日期：

试卷类型：闭卷考试时间：120分钟试卷总分：100分

9.向量a=(1,2,3,4),£=(4,2,3,1),则内积(a,/7)=.

中一、填空(共50分，每小题5分)

性

/-20O\/-I00\10.若A是实对称矩阵，则A的特征值为.

1>设矩阵4=2*2与8=020相似，则

\311/\0Oy/

邹

-x=,y=。

-二、(15分)用非退化线性替换化二次型2xj+3xj+3x1+4*2*3为标

-

-2、已知是矩阵A=的一个特征向量，则

XK准型。

袋-a=,b=特征向量a对应的特征值4=o

-

-3、£满足时，二次型f=q+宕++2£占*2—2%［力+4右与是正定

-

-的。

-、向量空间的子空间卬=((x,X2，^,,,x_,x)\x｝的维数为

-4P”1n1n14-x2=0,GP

-

-,它的一组基为o

白-

康

忠5、在p3中，(T(X1,X2,X3')=(2x1—x2,x2+x3,x1)；则a1在基

当-

口=(1,0,0)^2=(0,1,0),j=(0,0,1)下的矩阵为o

的-

-

-6.〃元实二次型八勺42,…,X”)是正定的充分必要条件是它的正惯性指

-

-数等于.三、(10分)设4是”级实对称矩阵，证明：4正定的充分必要条件是4的

-

7.对于线性空间V中向量…,6"(厂21)，若在数域P中有心不全特征多项式的根全大于零。

为零的数匕*2,,使+k2a24-------卜krCL.=0,则向量

四、（15分）求由向量《生成的子空间与由向量优生成的子空间的交的

生=(

基和维数，已知«=(1,2,1,0),2,-1,0,1)

。2=(T,1,L1),鱼=(1,-1,3,7)°

五、（10分）设J,£2，£3，J是四维线性空间U的一组基，已知线性变换（7

/5-2-43

/3-1-32

在这组基下的矩阵为4=,19

—

1-322

\一10311-7

1）求。的特征值与特征向量;

2）求一可逆矩阵T,使尸1471成对角形

2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷B2.对于线性空间V中向量％,a?，…M(『21)，若在数域P中有，•个不全为零

的数勺,火2,…使用/+ka+…+3,=0,则向量a”a”…,4称为一线性相

答案22

关.

适用专业：考试日期：

3.相似矩阵的特征值—相同.

即-

-试卷类型：闭卷考试时间：120分钟试卷总分：100分

性-

-一、填空(共25分，每小题5分)4.向量a=(1,2,3,4),夕=(42,3,1),则内积(a/)=_21.

-

r-200、r-l00、

然5.若A是实对称矩阵，则A的特征值为—实数.

-1、设矩阵A=2A-2与B=020相似，则

-11三、(分)用非退化线性替换化二次型+气弓为标准型。

-✓<0。X1524+34+34

-

-’200'

-x=_0_—»y=-_-2______0

-解：二次型的矩阵为人=032

-/

X-⑴2-12、[022)

袋-

-2、已知a=1是矩阵A=5a3的一个特征向量，则

-l-ib-2)"200

|花-川=02-3-2=(A-2)(/i-l)a-5)

区

a=一3_.b=_()_____一特征向量々对应的特彳正值4=-1____0-2A-3

-

3、/满足_一1<Z<0—时，二次型f=累+宕+5石4-2tvx>-2斗q+4芍不是正定的。

-1所以矩阵A的特征值为1,2,5

-

既-

-4、向量空间P"的子空间W={(x，w，…,九,天)归+毛二(),玉.cP}的维数为

界-

-_〃-1,它的一组基为(0]0

m-A=1,矩阵A对应的特征向量为4=1,单位化与

-鸟％

的-=(1,-1,0,…,0,0),/=(0,0,1,…,0,0),…,_2=9,0,0,…,1,0),=(0,0,0,…,0,1)

--VV2

堞5、在p3中，cr(&,林曰)=(2%一电,%+马,%)；贝Ub在基<~T>

-

-‘2-10、

-A=2,矩阵A对应的特征向量为4=|7|

与=(1,0,0),£2=(。，1，0)，£3=(°，°，1)下的矩阵为_01।________________。

-。“

-[1

-

-二、填空题(共25分，每小题5分)

-

-1.〃元实二次型/(斗/是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等

于—«

O

;a=（-5,5,1,-3）;L（%,上）cL（3的）的基为a，维数为1。

单

位化V-2Pl=

A=5,矩阵A对应的特征向量为九=2

V-2

2

六、（10分）设用是四维线性空间V的一组基，已知线性变换。在

’5-2-43

1。

3-1-32

亚0

oV2这组基下的矩阵为A=__[9_5

Q=2则Y=QX为正交变换，可将原二次型化为标准型3

―22~2

也V，

n叵「10311-7

22J

-1）求o的特征值与特征向量;

£-.=2疗+5$+及

-

-2）求一可逆矩阵r,使r"7,成对角形

-g、（10分）设A是〃级实对称矩阵，证明：4正定的充分必要条件是A

解：1）

斑J特征多项式的根全大于零。

3.11w3513311.H

0一/t----3-A,-----XH------Ao42-------A-

2-524-32

E明:/（xpx2,.-,xn）=XXX经过非退化线性替换X=CT化为22222

-3A+13-2,131

0nA4—3

（如了2,…，必）=小；+…4丫3则A正定的充分必要条件是4,4,…,4|2E-4|=；95=222

-3A.-----

-~2220410A-124-32

-二大于零，而4,%…4是A的特征多项式的根，故A正定的充分必要条10-3-112+7_3

-1--3A2--

-~222

-卜是A的特征多项式的根全大于零

22

区32-116Z-352+33-22+lU-ll

-1（15分）求由向量区生成的子空间与由向量4生成的子空间的交的--22+122-31

-4

-4102-124-32

-区=(121,0),[/?,=(2,-1,0,1)

-W和维数，已知3222

-a=(-l,l,l,l),[fi=(1,-1,3,7)4A-202+142-2A+62-2A+1U-11

-22I4A2-20/l4-14A-3

-=--00I2

-42v6A-51

L(aa)nL(/^,^);«=xa+Aa2=(—七)直+(一七)A6/l2-52-224-3A

-r21I2

-22

-\21、q013、00-P=-1r(-2A+3A-1)=A(22-1)(2-1)；

热2-1-1o2-2-20103

父a；因局卜二0,

1030-1-1-70014

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