2019年高考全国卷Ⅲ文数试题解析

2019年高考全国卷m文数解析

1.已知集合A={-1,0,1,2},B=41},则AcB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-U}D.{0,1,2}

【答案】A

先求出集合8再求出交集.

【解析】vx2,

.•.3={止1。＜1}，则Ac8={-1,0,1},

故选A.

2.若z(l+i)=2i,则z=()

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

【答案】D

根据复数运算法则求解即可.

2i2i(l-i),.

【解析】z=丁一=:.、=1+1.故选D.

1+1(l+i)(l-i)

3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】D

男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.

【解析】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不

相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是:•故选D.

4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小

说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读

过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读

过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数

与该校学生总数比值的估计值为()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】C

根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数

之比为70・100=0.7.故选C.

5.函数/(x)=2siax-sin2x在[0,2句的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

令/(x)=0,得sinx=0或cosx=l,再根据x的取值范围可求得零点.

【解析】由/(%)=25m%—§由2%=25由%—20111%以)5%=25由%(1—85%)=(),

彳导sinx=0或cosx=l,・・・x£[0,2;r],

x=0>1或2冗.

.•J(X)在[0,2句的零点个数是3,

故选B.

6.已知各项均为正数的等比数歹！J｛q,｝的前4项和为15,且%=34+4卬，贝114=()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

利用方程思想列出关于4，q的方程组，求出4，夕，再利用通项公式即可求得为的值.

a1+。闻+。]9"+=15,

【解析】SIE数的等比数列｛而的公比为4，则「4：2A，

%q=3a]q+44

4=1,o

解得，・.・％=〃q=4,故选c.

17=2

7.已知曲线y=ae'+xlnx在点(l,ae)处的切线方程为y=2x+8，贝(J()

A.a=e,h=-\B.a=e,b=\C.a=e~',b=\D.

a=e~',b=-\

【答案】D

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得。，将点的坐标代入直线方程，求得。.

【解析】解析：y'=ae'+\nx+l,

女=y'3=ae+l=2,：.a=e~'

将(1,1)代入y=2x+。得2+人=1力=-1,故选D.

8.如图，点N为正方形ABCO的中心，A£CD为正三角形，平面ECE>_L平面ABC。,“

是线段EO的中点，则()

B

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BMKEN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BM^EN,且直线BM,EN是异面直线

【答案】B

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.

【解析】如图所示，作EOLC。于。，连接ON,过/作于P.

连BE,•.•平面CDEL平面ABC。.

£0_1。）,后0匚平面。。£,.♦.£O_L平面ABC。,MF，平面MCE,

AMFB与AEON均直角三角形.设正方形边长为2,易知

EO=6，ON=\EN=2,

MF=—,BF==/1-：.BM^EN,故选B.

22

9.执行如图所示的程序框图，如果输入的£为0.01,则输出$的值等于（）

/输

【答案】c

根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.

【解析】输入的£为0.01,

x=l.S=0+l,x=0.5<0.01?不满足条件；

5=0+1+-,》=工<0.01?不满足条件；

24

S=0+l+-+...+-L,x=-!-=0.0078125<0.01?满足条件

22128

输出S=l+g+…+/=2（1—?）=1-/,古嫡D.

22

】。.已知F是双曲线。：亍-々=1的一个焦点，点。在C上’。为坐标原点,若

\OP\^\OF\,则的面积为（）

【答案】B

设P（』,为），因为|。"=|。F|再结合双曲线方程可解出|%|,再利用三角形面积公式可求

出结果.

22

【解析】设点P（X。,%），则号--微-=1①,

又|0"=|0■=7^=3,

V+^（）2=9②.

25

2

由①②得y0=—,

即闾<.

・••SAOPF=J°FH%|=；X3xg=|,

故选B.

x+V..6

11.记不等式组C-八表示的平面区域为。，命题〃：*,>0€。2+'.9；命题

2x-y>0

q:V（x,y）wO,2x+y,12.给出了四个命题,.①P~q•，②7^q:③P5:④ni,

这四个命题中，所有真命题的编号是（）

A.①③B.①②C.②③D.③④

【答案】A

根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.

y=2xfx=2

【解析】如图，平面区域D为阴影部分，由.〈，得,

x+y=6Iy=4

即A(2,4),直线2x+y=9与直线2x+y=12均过区域D,

则P真q假，有力假F真，所以①③真②④假.故选A.

12.设/（x）是定义域为R的偶函数，且在（0,+。）单调递减，则（）

【答案】C

由已知函数为偶函数，把/（log3；），/，/2行，转化为同一个单调区间上，再

比较大小.

【解析】•."（％）是R的偶函数，

2_3_2_3

,/log34>log33=1,1=2°>2>22,log?4>2§>22，

又/(X)在(0,+8)单调递减，

y(iog34)</

(_3\(

f丁2>/

13.已知向量。=(2,2),B=(—8,6),贝！Jcos<a,B>=

【答案】一也

10

根据向量夹角公式可求出结果.

—7a・b2x(—8)+2x6y/2,

r解析］cos<a^b>=|_i='>——I==———

［贿”卜阳万两xj(—8)2+6210-

【迁移】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键.

14记S,为等差数列｛4｝的前〃项和，若%=5,%=13,贝.

【答案】100

根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.

%=4+2d=5=1

【解析】，得

%=4+61=13d=2'

inx9ir)x9

.­.5lo=10a.+--^^=10xl+--^-x2=100.

i°』22

【迁移】本题考点为等级列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等

差数列的求和公式是解题的关键。

22

15股与F2为椭圆C:—+^-=1的两个焦点，〃为C上一点且在第一象限.若AM和

3620

为等腰三角形，则M的坐标为.

【答案】（3,后）

根据椭圆的定义分别求出|峥|、|g|,设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.

【解析】由已知可得“2=36,/=20,.•./=/—/=16,；.。=4,

•」叫|=忻段=20=8.:.\MF2\=4.

设点”的坐标为（』，%）（%>0,%>°），则5,转=；・田用』=4%，

又S*?=；x4x正一2。=4小，「.4.%=4岳，解得%=后，

.片।（屏）=i，解得%=3（%=-3舍去），

"3620

\M的坐标为（3,岳）.

16.学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

A6CO-4月a。挖去四棱锥。―EEG〃后所得的几何体，其中。为长方体的中心，

E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,A4,=4cm,3D打印所用原料密度为

0.9g/cm3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.

【答案】118.8

根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型

的质量.

1,

【解析】由题意得，SEFGH=4x6-4x-x2x3=l2cm-,

.1,

四棱锥O-&G的局13cm，，匕M-G”=§x12x3=12。/.

又长方体ABCO—A/CA的体积为匕=4x6x6=144(7,，

所以该模型体积为V=匕-匕=144-12=132C/,

其质量为0.9x132=118.8g.

17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成

A8两组，每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液，3组小鼠给服乙离子溶液.每只小

鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠

体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中“力的值；

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表).

【答案】(1)a=0.35，人=0.10;(2)4.05,6.

⑴由尸(。)=Q70及频率和为1可解得。和匕的值；⑵根据公式求平均数

【解析】(1)由题得。+0.20+().15=0.70,解得a=0.35由

0.05+6+0.15=1-尸(0=1-0.70,解得。=0.10.

(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙离子残留百分比的平均值为

0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

18.A4BC的内角A&C的对边分别为a,4c,已知asin-----=AsinA.

2

(1)求3；

(2)若小钻C为锐角三角形，且c=l,求AABC面积的取值范围.

【答案】Q)8=(;(2)(手,孚).

(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角

JT|

解得8二号乂④根据三角形面积公式,八品二万讹七足^,又根据正弦定理和C=1得到

JT

S.ABC关于C的函数，由于VABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于7来计算。的

定义域，最后求解S“BC(C)的值域.

A-L-CA+C

【解析】Q)根据题意小亩二-=以亩4,由正弦定理得sinAsin工一=sin8sinA

A+C

因为0<A<乃，故sinA>0,消去sinA得sin---=sinBo

A+C

0<B<n,0<—〈"因为故一^=8或者一^+6=»,而根据题意

222

A+「A+C

A+8+C=7T，故=一+8=万不成立，所以下一=6，又因为4+3+。=万，代入得

71

3B=TI，所以8=耳.

712

(2)因为VABC是锐角三角形，由(1)知8=],A+8+C=》得到A+C=§万,

0<C<-

2.7171

故«/解得~C<—.

、2兀八71o2

0<-----C<—

32

ac

又应用正弦定理c=l,

sinAsinC

由三角形面积公式有：

,,,.,国sin(------C)

1.1tz._1smA.A/33

Se=—ac-smBn=—c2—smB=—c2-------sin8=--------------------

“*ABfiCr22c2sinC4sinC

y/3sin-cosC-cos—sinC

171131

33-(sin--------------F叵

TsinC43tanC8tanC8

V3旬M3A/3V3

又因工<C<±,tanC>J,故一<二d--<--

62388tanC82

百。百

故<S,BC<K-

o/

故S.ABC的取值范围是

【迁移】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以

用余弦定理求解)，最后考查VA8C是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道

很好的考题.

19.图1是由矩形和菱形BFGC组成的Y平面图形，其中

AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°,将其沿AB,折起使得BE与BF重合，连结

DG,如图2.

(1)证明图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC1平面BCGE;

(2)求图2中的四边形4CGD的面积.

【答案】(1)见解析；(2)4.

⑴因为折纸和粘合不改变矩形ABE。，HAABC和菱形8FGC内部的夹角，所以

AD//BE,BF//CG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为AB是平面BCGE

垂线，所以易证.(2)欲求四边形ACGD的面积，需求出CG所对应的高，然后乘以CG即

可。

【解析】(1)证：AD//BE,BF//CG,又因为£和尸粘在一起.

AD//CG,A,C,G,D四点共面.

又•.•ABLBE,ABLBC.

AB_L平面BCGE,•「ABu平面ABC,平面ABCJ_平面BCGE,得证.

⑵取CG的中点“，连结EM,。例.因为AB//。七，43_L平面BCGE,所以。E_L平面

BCGE,t^DE±CG,

由已知，四边形BCGE是菱形，且NEBC=60得，CG,故CG，平面DEM。

因此D0LCG。

在用△£)•中，DE=1,EM=0＞，故ZW=2。

所以四边形ACGD的面积为4.

【迁移】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是

不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形ACGD的面积考查考生的空间

想象能力.

20.已知函数/(幻=2尤3一依2+2

(1)讨论/(幻的单调性；

(2)当0<。<3时，记/(%)在区间［0,1］的最大值为M,最小值为切，求加一加的取值

范围.

Q

【答案】(1)见解析；⑵［药,2).

⑴先求八幻的导数，再根据。的范围分情况讨论函数单调性；(2)讨论。的范围,利用函

数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得知-m的取值范围.

【解析】Q)对/(%)=2？-ax2+2求导得/'(X)=6x2-2ax=6x(x-1).所以有

当"0时，(-畤)区间上单调递增，与0)区间上单调递减，(0,+8)区间上单调递增；

当。=0时，(-8,例)区间上单调递增；

当。>0时，(一双0)区间上单调递增，(0,£)区间上单调递减，(］,+8)区间上单调递增.

⑵

若0<aW2,/(x)在区间(0,全单调递减，在区间q,1)单调递增，所以区间上最小

值为一()而八0)=2"(1)=2-a+22/(0),故所以区间上最大值为了⑴.

3

所以〃_加=/(l)_/(；)=(4_a)_［2(W)3_a(W)2+2］=|y_a+2,设函数

r3r2

g(x)=|y-x+2,求导g'(x)=}l当0<xW2时g'(x)<0从而g(x)单调递减而

o3Q

0<a<2,所以二4二一。+2<2.即加一加的取值范围是［二,2).

若2<a<3,/(x)在区间(0,1)单调递减,在区间q,1)单调递增，所以区间。1］上最小

值/(］)而/(0)=2,/(l)=2—a+2W/(0),故所以区间［0J上最大值为7(0).

3

所以闻_，〃=./•(())_/《)=2_［2(?3_以攵2+2］=探,而2<a<3,所以

o“3Q

a<幺<1.即"-加的取值范围是(”」).

272727

Q

综上得M-〃7的取值范围是［二,2).

27

【迁移】⑴这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的

函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.

-1

21.已知曲线Uy,为直线y=-5上的动点，过。作。的两条切线,切点分别为

(1)证明：直线A8过定点：

(2)若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.

【答案】(1)见解析；⑵f+(y—1)2=4或i+(y-}2=2.

(1)可设4X,%)，8(%,必)，。”,-}然后求出人，8两点处的切线方程，比如4。：

另+；=X,(x,-r),又因为50也有类似的形式，从而求出带参数直线A3方程，最后求出

它所过的定点.

(2)由Q)得带参数的直线A8方程和抛物线方程联立，再通过M为线段的中点，

丽，福得出f的值，从而求出M坐标和［EM\的值，最后求出圆的方程.

【解析】(1)证明：设。&一g),A(x，x),则y=；玉2。又因为y=,所以y'=x.则

切线DA的斜率为x，故y+；=%（%-/），整理得2州—2y+1=0.设8*2,%），同理

得2为-2y+1=0.A（xt，必），5（乙,%）都满足直线方程2次-2y+1=0.于是直线

2a-2y+1=0过点A,B,而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为

2tx-2y+l=O.gp2tx+（-2y+l）=0,当2x=0,-2y+l=0时等式恒成立。所以直线AB

恒过定点（0，1）.

2

⑵由⑴得直线43方程为2枕-2y+l=0,和抛物线方程联立得：

2tx-2y+\=0

'12化简得/_2状_]=0.于是玉+工2=2乙%+/=/（玉+%）+1=2r+1

y=—x

I2

设M为线段A3的中点，则

由于丽，福，而丽=（7,产一2）,而与向量（1M平行，所以/+/（r一2）=0,

解得f=0或/=±L

当r=0时，EM=（0,-2）,同=2所求圆的方程为Y+（y—1）2=4；

当/=±1时，两=（1,一1）或成=（一1,一1）,|月可=夜所求圆的方程为

d+（y_|）2=2.

所以圆的方程为炉+S—1）2=4或V+（y—1）2=2.

【迁移】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型,按部

就班的求解就可以.思路较为清晰，但计算量不小.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则

按所做的第一题计分

选修4-4：坐标系与参数方程

22.如图，在极坐标系。i中，A(2,0),,C(V2,y),。(2,兀)，弧.,BC,

CD所在圆的圆心分别是(L0),(1，9,(1㈤,曲线必是弧A8，曲线“2是弧BC，

曲线M3是弧8.

(1)分别写出加一M2,AT,的极坐标方程；

(2)曲线/由M,M2，%构成，若点尸在M上，且|OP|=G,求P的极坐标.

TTTT3乃37r

【答案】(1)p=2cos^e[0,-]),p=2sin^e[-,—]),p=-2cos^€[—,^]),

4444

⑵(瓜刍,(6,勺,(瓜多,(省,斗).

6336

(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中。的取值范围.

(2)根据条件。=6逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标.

【解析】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2,并且都过原点.

陷：夕=2cose(ee[0,?]),

A/2:p=ZcosC^-y)=2sin0(0e《，苧D,

37r

A/3:p=2cos(0-7r)=-2cos0(0G,^]).

⑵解方程2cose=6(ee[0,f])得6=9,此时P的极坐标为(g,g)

466

解方程2sin。=而。e[g,当)得。=£或。=与，此时P的极坐标为(8,£)或

44333

(点争

解方程-285。=6(。曰¥，万])得夕=苧，此时P的极坐标为(后当

466

故P的极坐标为(瓜g),(瓜g),(百，多，(百，当.