指数函数及对数函数复习（有详细知识点及习题详细讲解）

./指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质〔一整数指数幂1．整数指数幂概念：2．整数指数幂的运算性质：〔1〔2〔3其中,．3．的次方根的概念一般地,如果一个数的次方等于,那么这个数叫做的次方根,即：若,则叫做的次方根,说明：①若是奇数,则的次方根记作；若则,若则；②若是偶数,且则的正的次方根记作,的负的次方根,记作：；〔例如：8的平方根16的4次方根③若是偶数,且则没意义,即负数没有偶次方根；④∴；⑤式子叫根式,叫根指数,叫被开方数。∴．．4．的次方根的性质一般地,若是奇数,则；若是偶数,则．5．例题分析：例1．求下列各式的值：〔1〔2〔3〔4例2．已知,化简：．〔二分数指数幂1．分数指数幂：即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质〔2对分数指数幂也适用,例如：若,则,,∴．即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：〔1正数的正分数指数幂的意义是；〔2正数的负分数指数幂的意义是．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即说明：〔1有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；〔20的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义。3．例题分析：例1．用分数指数幂的形式表示下列各式：,,.例2．计算下列各式的值〔式中字母都是正数．〔1；〔2；例3．计算下列各式：〔1〔2．〔三综合应用例1．化简：.例2．化简：.例3．已知,求下列各式的值：〔1；〔2.二、指数函数1．指数函数定义：一般地,函数〔且叫做指数函数,其中是自变量,函数定义域是．2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：图象性质〔1定义域：〔2值域：〔3过点,即时〔4在上是增函数〔4在上是减函数例1．求下列函数的定义域、值域：〔2〔3例2．当时,证明函数是奇函数。例3．设是实数,,〔1试证明：对于任意在为增函数；〔2试确定的值,使为奇函数。三、对数的性质1．对数定义：一般地,如果〔的次幂等于N,就是,那么数b叫做a为底N的对数,记作,a叫做对数的底数,N叫做真数。即,指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明：1．在指数式中幂N>0,∴在对数式中,真数N>0．〔负数与零没有对数2．对任意且,都有∴,同样：．3．如果把中的写成,则有〔对数恒等式．3．介绍两种特殊的对数：①常用对数：以10作底写成②自然对数：以作底为无理数,=2.71828……,写成．例2．〔1计算：,〔2求x的值：①；②．〔3求底数：①,②．4．对数的运算性质：如果a>0,a1,M>0,N>0,那么〔1；〔2；〔3．例3．计算：lg1421g；〔2；5．换底公式：<a>0,a1；>证明：设,则,两边取以为底的对数得：,∴,从而得：,∴．说明：两个较为常用的推论：〔1；〔2〔、且均不为1．证明：〔1；〔2．例4．计算：〔1；〔2．例5．已知,,求〔用a,b表示．．例6．设,求证：．四、对数函数1．对数函数的定义：函数叫做对数函数。2．对数函数的性质：〔2图象：由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形,即可获得。同样：也分与两种情况归纳,以〔图1与〔图2为例。1111〔图111〔图2〔3对数函数性质列表：图象性质〔1定义域：〔2值域：〔3过点,即当时,〔4在〔0,+∞上是增函数〔4在上是减函数例1．求下列函数的定义域：；例2．比较下列各组数中两个值的大小：〔1,；〔3,.例3．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：〔2,；〔3,,；例4．已知,比较,的大小。解：∵,∴,当,时,得,∴,∴．当,时,得,∴,∴．当,时,得,,∴,,∴．综上所述,,的大小关系为或或．例5．求下列函数的值域：〔〔3〔且．例6．判断函数的奇偶性。例7．求函数的单调区间。指数函数和对数函数单元测试一选择题1.如果,那么a、b间的关系是[]ABCD2.已知,则函数的图象必定不经过[]A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.与函数y＝x有相同图象的一个函数是[]AB,且CD,且4.函数y=|log2x|的图象是 〔AA1xyOB1xyOC1xyOD1xyO5.已知函数在上是x的减函数,则a的取值范围是[]ABCD6.已知函数的值域是,则它的定义域是[]ABCD7.已知函数在区间是减函数,则实数a的取值范围是[]ABCD8.设,则[] A．－2<x<－1 B．－3<x<－2 C．－1<x<0 D．0<x<19.函数的定义域为E,函数的定义域为F,则[]ABCD已知,则<>A．B．C．D．12.函数的定义域是〔A.B.C.D.二填空题13.计算：＝．14.的定义域是______。15.方程的解________。16.