高等教育数学常用极限求法

./求函数极限的方法和技巧摘要:本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例:用极限定义证明:证:由取则当时,就有由函数极限定义有:2、利用极限的四则运算性质若<I><II><III>若B≠0则：〔IV〔c为常数上述性质对于例：求解:=3、约去零因式〔此法适用于例:求解:原式=====4、通分法〔适用于型例:求解:原式===5、利用无穷小量性质法〔特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质设函数f<x>、g<x>满足：〔I<II><M为正整数>则：例:求解:由而故原式=6、利用无穷小量与无穷大量的关系。〔I若：则<II>若:且f<x>≠0则例:求下列极限①②解:由故由故=7、等价无穷小代换法设都是同一极限过程中的无穷小量,且有：, 存在,则也存在,且有=例:求极限解:=注：在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换,若以和、差出现时,不要轻易代换,因为此时经过代换后,往往改变了它的无穷小量之比的"阶数"8、利用两个重要的极限。但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限9、利用函数的连续性〔适用于求函数在连续点处的极限。例：求下列函数的极限〔210、变量替换法〔适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型特别地有：m、n、k、l为正整数。例：求下列函数极限①、n②解:①令t=则当时,于是原式=②由于=令：则===11、利用函数极限的存在性定理定理:设在的某空心邻域内恒有g<x>≤f<x>≤h<x>且有:则极限存在,且有例:求<a>1,n>0>解:当x≥1时,存在唯一的正整数k,使k≤x≤k+1于是当n>0时有:及又当x时,k有及=012、用左右极限与极限关系<适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形>。定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：==A例：设=求及由13、罗比塔法则〔适用于未定式极限定理：若此定理是对型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：要注意条件,也就是说,在没有化为时不可求导。应用罗比塔法则,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数。要及时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,应立即停止使用罗比塔法则,否则会引起错误。4、当不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限①②解：①令f<x>=,g<x>=l,由于但从而运用罗比塔法则两次后得到②由故此例属于型,由罗比塔法则有：14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说,应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便,下列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式,当有于是===15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件：<I>f在闭区间上连续<II>f在<a,b>内可导则在<a,b>内至少存在一点,使得此式变形可为:例:求解:令对它应用中值定理得即:连续从而有:16、求代数函数的极限方法<1>有理式的情况,即若:<I>当时,有<II>当时有:①若则②若而则③若,,则分别考虑若为的s重根,即:也为的r重根,即:可得结论如下：例：求下列函数的极限①②解:①分子,分母的最高次方相同,故=②必含有〔x-1之因子,即有1的重根故有:<2>无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式,但求极限方法完全类同,这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。例：求解:二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法,然而,每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧,使得计算大为简化。例:求[解法一]:=注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。[解法二]:=注：此解法利用"三角和差化积法"配合使用两个重要极限法。[解法三]:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则[解法四]:注:此解法利用了