2022届上海市黄浦区中考数学一模试卷及答案解析

2022届上海市黄浦区中考数学一模试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有

一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上

1.（4分）已知线段。=2,b=4,如果线段b是线段。和c的比例中项，那么线段c的长度

是（）

A.8B.6C.2V2D.2

2.（4分）在RtZ\ABC中，ZC=90°,如果ZA=a,那么AC的长为（）

A.wsinaB.m・cosaC.TH0tanaD.zn*cota

3.（4分）己知一个单位向量乙设/5是非零向量，那么下列等式中正确的是（）

IT——TTTTT1->I

A.a=eB.\e\a=aC.\b\e=bD.a=b

|a||a|\b\

4.（4分）已知二次函数y=7,如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，

那么所得图象的表达式是（）

A.（x+1）2+2B.y=（x+l）2-2C.（x-1）2+2D.（x-1）2-2

ABAC

5.（4分）在△ABC与中，NA=NO=60°,一=—,如果N3=50°,那么NE

DFDE

的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

6.（4分）如图，点。、E分别在△ABC的两边BA、。的延长线上，下列条件能判定EO

〃3C的是（）

ADDEADAE

AB~BCAC~AB

C.AD-AB=DE'BCD.AD-AC^AB-AE

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）计算：2（3%-2办+（a-26）=.

8.（4分）如图，在△ABC中，点。、E分别在△ABC的两边AB、AC上，KDE//BC,如

果AE=5,EC=3,DE=4,那么线段BC的长是.

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A

9.（4分）如图，已知AO〃BE〃CR它们依次交直线/1、，2于点A、B、C和点。、E、F.如

10.（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）,那么的值是

11.（4分）写出一个对称轴是直线x=l,且经过原点的抛物线的表达式.

12.（4分）如图，在Rt/SABC中，ZABC=90°,BD±AC,垂足为点。，如果BC=4,sin

ZDBC=I，那么线段AB的长是.

13.（4分）如果等腰AABC中，AB=AC=3,cosNB=/，那么cosN4=.

14.（4分）如图，在△ABC中，BC=\2,8c上的高AH=8,矩形。EFG的边EF在边BC

上，顶点。、G分别在边A8、AC上.设。E=x,矩形。EFG的面积为y,那么y关于x

的函数关系式是.（不需写出x的取值范围）.

A

BEHC

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15.（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽8c

=6厘米，长CO=16厘米的矩形.当水面触到杯口边缘时，边CO恰有一半露出水面，

那么此时水面高度是______厘米.

16.（4分）在△ABC中，AB=\2,AC=9,点。、E分别在边AB、AC上，且

A8C相似，如果AE=6,那么线段4。的长是.

17.（4分）如图，在aABC中，中线BRCE交于点G,且CE_LB尸，如果AG=5,BF=6,

那么线段CE的长星

AD3

18.（4分）如图，在44?。中,48=4。,点/）、£：在边3。上，/口4七=/3=30°，且广=二，

AE2

DE

那么靛的值是.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

cos300

19.（10分）计算:—cot45°

tan60°-sin60°

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DE1TTTT

20.（10分）己知，如图，点E在平行四边形ABC。的边CD上，且一=设AB=a,AD=b.

CE2

（1）ma,甘表示族；（直接写出答案）

（2）设族在答题卷中所给的图上画出3之的结果.

21.（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验.如图，两台测角仪分

别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AO=8E=1米），两台测角仪相距50米（即

48=50米）.在某一时刻无人机位于点C（点C与点4、B在同一平面内），A处测得其

仰角为30°,8处测得其仰角为45°.（参考数据：&=1.41,旧=1.73,sin40°*0.64,

cos40°比0.77,tan40°g0.84）

（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）

（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点尸（点尸与点A、B、C在同一平面内），

此时于A处测得无人机的仰角为40。，求无人机水平飞行的平均速度.（单位：米/秒，

结果保留整数）

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22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x+2,其顶点为A.

(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点4的坐标，并说明它的变化情况；

(2)直线平行于x轴，交这条抛物线于3、C两点(点5在点C左侧)，且cotNABC

=2,求点3坐标.

y

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23.(12分)已知：如图，在平行四边形ABC。中，过点C分别作A。、AB的垂线，交边

A。、AB延长线于点E、F.

(1)求证：AD*DE=AB，BF；

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24.（12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛

物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”.

（1）已知原抛物线表达式是-2x+5,求它的“影子抛物线”的表达式；

（2）已知原抛物线经过点（1,0）,且它的“影子抛物线”的表达式是y=-/+5,求原

抛物线的表达式；

（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影

子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于>轴对称."你认为这个结论成立吗？请

说明理由.

ny

o*

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25.（14分）如图，XABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧,

S.AD=AC,联结BO、CD,BO交直线AC于点£

（1）当/。。=90°时，求线段4E的长.

（2）过点4作AHJ_C£>,垂足为点H,直线AH交8。于点F,

C

①当NCAZ）<120°时，设AE=x,y=1空（其中SMCE表示△BCE的面积，SAAEF表

b^AEF

示△人£尸的面积），求y关于尤的函数关系式，并写出龙的取值范围；

②当沁^=7时，请直接写出线段AE的长.

SAAEF

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2022届上海市黄浦区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有

一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】

1.（4分）已知线段a=2,6=4,如果线段人是线段a和c•的比例中项，那么线段c的长度

是（）

A.8B.6C.2V2D.2

【解答】解：若匕是a、c的比例中项，

即b2=ac.

42=2C,

解得c=8,

故选：A.

2.（4分）在Rtz^ABC中，ZC=90°,如果ZA=a,那么AC的长为（）

A.m,sinaB./n,cosaC.zn,tanaD.m*cota

【解答】解：由题意，得

.AC

cosA=而,

AC=A8・cosA=/n・cosa,

故选：B.

3.（4分）已知一个单位向量工，设次分是非零向量，那么下列等式中正确的是（）

1~TTTT->T11T

A.-=ra=eB.\e\a=aC.|Z?le=bD.a=b

|a||a|\b\

【解答】解：A、之大与"的模相等，方向不一定相同.故错误.

|a|

B、正确.

C、闻之与b的模相等，方向不一定相同，故错误.

11T

。、与的模相等，方向不一定相同，故错误.

|a|\b\

故选：B.

4.（4分）已知二次函数>=/,如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位,

那么所得图象的表达式是（）

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A.y=(x+1)2+2B.y=(x+1)2-2C.y=(x-1)2+2D.y=(x-1)2-2

【解答】解：二次函数y=，，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得

到的解析式为y=(x+1)2-2.

故选：B.

5.（4分）在△ABC与△£>£：尸中，/A=/O=60°，一=一，如果/8=50°,那么/E

DFDE

的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【解答】解：=,竺=也，

DFDE

：.AABCSADFE,

.,.ZB=ZF=50°,/C=NE=180°-60°-50°=70°

故选：C.

6.(4分)如图，点£>、E分别在△ABC的两边BA、C4的延长线上，下列条件能判定

〃BC的是()

ADAE

A，—^—^―B.—=—

•AB~BCACAB

C.AD・AB=DE・BCD.AD*AC=AB^E

【解答】解：・・・NE4r>=NC48,

,AEAD

.・・当—=—，

ACAB

即AD*AC=AB^Ef

J.ED//BC,

故选：D.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）计算：2（35—2办+（a-2b）=+4；

【解答】解：2（36-2a）+（a-26）=6b-4a+a-2b=-3a+4b,

第10页共26页

故答案为-3：+4b.

8.（4分）如图，在△ABC中，点。、E分别在△ABC的两边AB、AC上，DE//BC,如

32

果AE=5,EC=3,DE=4,那么线段BC的长是_g_.

/^ADE^AABC,

DEAE

BC-AC

_4__5

BC~8’

32

・・.8C=营,

、.,32

故答案为

9.（4分）如图，已知AO〃8E〃CF,它们依次交直线人、，2于点A、B、C和点。、E、F.如

AQ2

果而/m⑸那么线段。E的长是

【解答】ft?：U：AD//BE//CF,

eABDE_2

9BC~EF~3

VDF=15,

.DEDEDE2

‘.EF-DF-DE~15-DE-3

解得：DE=6,

故答案为：6

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4BPy/5-1

10.（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）,那么而的值是

【解答】解：•••点P是线段48的黄金分割点（AP>BP）,

.BPAP75-1

"AP~AB~2

故答案为与

2

11.（4分）写出一个对称轴是直线x=I,且经过原点的抛物线的表达式答案不唯一（如y

=F-2x）.

【解答】解：符合的表达式是y=7-2x,

故答案为y=f-2x.

12.（4分）如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,BDLAC,垂足为点。，如果BC=4,sin

ZDBC=I，那么线段A8的长是2遍.

3-------

【解答】解：在RtZXBDC中，

2

VBC=4,sinZDBC=

28

：.CD=BCXsinZDBC=4x1

:.BD=>JBC2-CD2=警，

VZABC=90°,BDLAC,

：./A=NDBC,

在RlAABD中，

.nBD4店3Gf=

-'AAB=^ZA=—X2=2^'

故答案为：2b.

17

13.（4分）如果等腰△A3C中，AB=AC=3,cosZB=4，那么cosNA=-.

【解答】解：过点A作ADL8C,垂足为。，过点。作CE_LA8,垂足为E,

・•・ZADB=90°

第12页共26页

.•.在△4OC中，cosZB=

"：AB=AC,ADLBC

:.BD=DC,

:・BC=2,

：.AD=y/AB2-BD2=V32-l2=2鱼

11

"：-AB'CE=^BCAD,

22

.〜BCAD2x2724^2

：.AE=yjAC2-CE2=g

AE7

•・•cosZ7_AA=--^Q=-可_=g，

7

故答案为

BADC

14.（4分）如图，在△ABC中，BC=\2,BC上的高A，=8,矩形DEFG的边E尸在边BC

上，顶点。、G分别在边AB、AC上.设£>E=x,矩形。EFG的面积为y,那么），关于x

的函数关系式是y=—,F+i2x.（不需写出x的取值范围）.

【解答】解：；四边形OEFG是矩形，8c=12,8c上的高AH=8,DE=x,矩形DEFG

的面积为y,

J.DG//EF,

△AOGs/MBC,

第13页共26页

.3-xDG

••~",

812

得DG=

：.y=x-3（8~X）=-|x2+12x,

故答案为：y=—|x2+12x.

15.（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC

=6厘米，长CD=16厘米的矩形.当水面触到杯口边缘时，边C。恰有一半露出水面，

那么此时水面高度是9.6厘米.

【解答】解：如图所示：作于点E,

1

由题意可得，BC=6cm,CF=^DC=Scm,

故BF=VFC2+BC2=V62+82=10(cm),

可得：NCFB=NBAE,/C=/AEB,

故△/?尸

.BCFB

••=,

EBAB

.6_10

••=,

BE16

解得：BE=9.6.

故答案为：9.6.

16.（4分）在△ABC中，AB=]2,AC=9,点。、E分别在边AB、AC上，且△4£>£与4

第14页共26页

9

ABC相似，如果A£=6,那么线段的长是8或a.

【解答】解：如图

•：NDAE=NBAC,

:•当△ADES/\ABC,

.ABAD

••,

ACAE

12AD

即—=—，

96

解得：AD=8,

・••当△4E£)s/\ABC

.ABAE

••—,

ACAD

126

即—=一,

Q

解得：AO=*,

9

故答案为：8或:;

2

17.（4分）如图，在aABC中，中线BF、CE交于点G,且CEJ_BF,如果AG=5,BF=6,

9

那么线段CE的长是一.

—2-

【解答】解：如图，延长AG交8C于K.

第15页共26页

A

•，点G是△ABC的重心，

：.AG=2GK,BG=2GF,CG=2EG,

VAG=5,BF=6,

・・・GK=|,BG=4,

•：CE工BF,

・・・N3GC=90°,

:.BC=2GK=5,CG=y/BC2-BG2=V52-42=3,

13

：.EG="G=I，

3Q

/.EC=3+|=|.

9

故答案与

AD3

18.（4分）如图，在△ABC中,AB=AC,点。、E在边3C上，/。4£：=/8=30°，且一=一

AE2

DE413A/3

那么^的值是一才一』

【解答】解：,・・A3=AC,

・・・NC=N8=30°,

♦；NDAE=NB=30°,

・・・ZDAE=ZB=ZC,

丁ZAED=ZBEA,

：./\ADE^/\BAE,

.ADAEDE

AB~BE~AE"

第16页共26页

：.AE1=DEXBE,

同理：XKDEsX3A、

.ADDE

•.=>

CDAD

1

：.AD=DEXCDf

29

=-

4

设CD=9x,则8E=4x,

..AOAE

・AB~BE'

An2

：.AB=等xBE=*x4x=6x,

作AM_LBC于M,如图所示:

*：AB=AC.

1

:・BM=CM=渺,

VZB=30°,

：.AM=^AB=3xfBM=6AM=3®C,

：.BC=2BM=6y/3xf

：・DE=BE+CD-BC=I3x-6V3x,

.DE13%-6任136

"BC~6A/3X-18

13^3

故答案为：——1.

18

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

COS300

19.（10分）计算:-cot45°

tan6Q0-sin600

【解答】解:原式二~T

西一堂

=0.

DE1-tTT

20.（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCQ的边CD上，且一=设48=a,AD=b.

CE2

第17页共26页

（1）用工:表示旋；（直接写出答案）

（2）设族=六在答题卷中所给的图上画出3”的结果.

DE111

【解答】解：⑴V—=BPDE=^CE,DE=/C,

CE223

T]TT

AE=+b

(2)如图所示：延长AE、BC交于G,则肉即为3-35的结果.

・・•四边形A8CO是平行四边形

C.AD//BC

tDE_AE1

~EG~2

：.AG=3AE

又:族="

：.AG=3"

GB=a—3c.

21.（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验.如图，两台测角仪分

别放在A、8位置，且离地面高均为1米（即AO=BE=1米），两台测角仪相距50米（即

AB=50米）.在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其

仰角为30°,B处测得其仰角为45°.（参考数据：旧=1.73,sin40°g0.64,

cos400^0.77,tan400弋0.84）

（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）

（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点尸（点尸与点4、B、C在同一平面内）,

第18页共26页

此时于4处测得无人机的仰角为40°,求无人机水平飞行的平均速度.（单位：米/秒,

结果保留整数）

【解答】解：（1）如图，过点C作C//LA8,垂足为点”,

VZCBA=45°,

:.BH=CH,

设CH=x,则

•.,在RtZ\AC”中，NCA8=30°,

.'.AH=V3CH=V3x.

.*.x+V3x=50.

解得「=磊3

.*.18+1=19.

答：计算得到的无人机的高约为19加

（2）过点F作FGLAB,垂足为点G,

nr

在RtAAGF中，tan/.FAG=券，

.ArPG18

又4H=V3C/7x31.14.

31.14-21.4-31.14+21.4

/.----------------«5,或-----------x26

22

答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒.

22.（10分）在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=-//-x+2,其顶点为A.

第19页共26页

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；

（2）直线3c平行于x轴，交这条抛物线于3、C两点（点8在点C左侧），且cotNA3c

=2,求点3坐标.

0x

【解答】解：⑴抛物线、=一勿7+2=4G+2）2+3的开口方向向下，顶点A

的坐标是（-2,3）,

抛物线的变化情况是：在对称轴直线x=-2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；

（2）如图，设直线BC与对称轴交于点。，则

设线段AD的长为m,则BD^AD*cotZABC=2m,

••.点B的坐标可表示为（-2%-2,3-m）,

11

代入y=-4/—x+2,得3—m——/（-2m—2产—（—2m—2）+2.

解得，"1=0（舍），W2=l>

，点B的坐标为（-4,2）.

23.（12分）已知：如图，在平行四边形ABCO中，过点C分别作A。、AB的垂线，交边

AD.A8延长线于点E、F.

第20页共26页

(1)求证：AD・DE=AB・BF；

【解答】解：(1)・・•四边形A8CD是平行四边形,

C.CD//AB,AD//BC,

工NCDE=NDAB,NCBF=NDAB,

：.ZCDE=/CBF,

,:CELAE,CF.LAFf

：.ZCED=ZCFB=90°,

:•△CDEs/\CBF,

.BCCD

••—,

BFDE

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.BC=ADfCD=AB,

.ADAB

••1—,

BFDE

:・AD・DE=AB・BF.

(2)一=一,NCED=NCFB=90°,

DECD

：.AACFsACDE,

又♦:△CDEs/\CBF,

・・・AACF^ACBF,

・S"CA_4c2

S〉CBFBC?’

・・•ZVIC尸与△C3F等高，

・S"CF_竺

SLCBFBF,

第21页共26页

.AC2AF

BC2-BF'

24.(12分)在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛

物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”.

(1)已知原抛物线表达式是y=/-2x+5,求它的“影子抛物线”的表达式；

(2)已知原抛物线经过点(1,0),且它的“影子抛物线”的表达式是y=--+5,求原

抛物线的表达式；

(3)小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的''影

子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称.”你认为这个结论成立吗？请

说明理由.

ny

oX

【解答】解：(1)•.•原抛物线表达式是y=f-2x+5=(x-1)2+4

.•.原抛物线顶点是(1,4),

设影子抛物线表达式是＞=/+〃，

将(1,4)代入y=/+〃，解得〃=3,

所以“影子抛物线”的表达式是y=/+3；

(2)设原抛物线表达式是y=-(x+m)2+k,

则原抛物线顶点是(-m,k),

将(-m,k)代入y--7+5,得-(-m)2+5—kQ),

将(1,0)代入y=-(x+/w)~+k,0=-(1+m)2+k(2),

由①、②解得偿二；管:

所以，原抛物线表达式是y=-(户1)2+4或丫=-(x-2)2+1；

第22页共26页

（3）结论成立.

设影子抛物线表达式是>=苏+〃.原抛物线于y轴交点坐标为（0,。）

则两条原抛物线可表示为与抛物线”=/+为x+c（其中。、bi、历、。是

常数，且加工历）

22

由题意，可知两个抛物线的顶点分别是心（-2，笔3）、「2（-监，埠”）

乙C4*CXI*CX

将尸I、Pi分别代入y=“/+〃，

=索

1寸、1。（一知+"号2

消去n得bi2-br，

〜廿历,

：.b\=-bi

.pA4ac-b：、也4ac-b：、

,,Pi（2a，4a>