2019 年重庆康德卷三诊理数试题及答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试

高考模拟调研卷理科数学(三)

本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2,3},B={x|(x+l)(x—2)N0},则Af]8=

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,2,3}

C.{-1,0,2,3}D.{-2,3}

2.已知i为虚数单位，复数z满足z+iz的实部与虚部相等，则z为

A.实数B.纯虚数C,非纯虚数D.不确定

22

3."方程-^+上一=1表示焦点在x轴的椭圆"是"一2(加＜2"的

2-mm+2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日

织49尺，第三日及第七日所织之和18尺，则日增尺数为

A.1B.2C.3D.4

5.已知点B是以线段AC为直径的圆上的一点，若|AB|=2,则尼•通=

A.1B.2C.3D.4

x+y-3W0

6.在平面区域,x>0内随机取一点3,匕),则使得不等式2"-4〃三0成立的概率是

y>0

A,-B,-C.1

532

7.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为

A.40

B.30

C.20

D.10

C、cos8x-ln|x|“e——九

8.函数/(x)=—；----一的图象大致为

e-e

A.B.

9.已知等差数列｛4｝的公差为2,前”项之和为S.，

[开始

若对任意正整数”，恒有2s$,则q的取值范围

是

A.(-10,-8)B.[-10,-8)

C.(-10,-8]D.[-10,-8]4二2。-1

10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为

11.已知函数/。)=只11%-以2+1有两个极值点，则实数。的取值范围是

A.(-00,—)B.(0,—)C.(0,1)D.(—>+oo)

12.已知抛物线C:丁=2px(p〉0)的焦点为F，过点M(2,0)的直线交抛物线C于A,8两

点，若IAM|=2|M8|且|AE|=5，则|5尸|=

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.

-冗之—2x+3,(x<0)

13.若函数/(x)=1，则”/(¥))=_________.

logt(x+-)f(x>0)8

、28

14.若二项式(J7-工)”的展开式中含炉项，则正整数〃的最小值为

x

_247111

15.已知sin(x+g7c)=w,xe[0,-],贝！]cos(x+不兀)=.

16.若在半径为3的球内有一动圆柱，圆柱的底面圆周在球面上，则圆柱体积的最大值为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.（12分）

在各项都是正数的等比数列｛4｝中，已知4%=%,4+%=20.

(1)求数列｛qj的通项公式；

(2)设2=I(nwN*)，数列｛4｝的前〃项和S“，求满足5,210的

Wg2ali+-og2a/I

最小正整数〃的值.

18.(12分)

某学校为参加市级举办的高中数学竞赛，将高三培训班的20名同学平均分成甲、乙两组进行了

测试，测试成绩的茎叶图如图所示，规定90分以上为优秀成绩.

(1)在甲组学生中任选两名同学，在已知其中一名同学的测试成绩为优秀的条件下，求另一

名同学的测试成绩也为优秀的概率；

甲组乙组

986745

(2)在甲乙两组测试成绩为优秀的学生中任选三名，965381237

82192358

记选到乙组学生的人数为X,求X的分布列和

数学期望.

19.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA_L底面ABCD,AD=AP=2,E

p

为AB的中点，M为线段PC上的点.Ax

(1)若M为棱尸C的中点，求证：，PO；

(2)在线段PC上是否存在点M，使得二面角P-ME-B的余弦值

为-乎?若存在，求AM的长度；否则，请说明理由.

20.(12分)

已知椭圆C：\+4=1(。>b>0)的离心率为挛,过右焦点F作斜率为2的直线与椭圆C

ab5

相交于A、B两点，坐标原点。到直线AB的距离为y.

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知过点(2,0)的直线与椭圆C交于点M,N,是否存在定点P使得

2

OMON+OP~(OM+ON)OP恒成立？若存在，求点P的坐标；否则，请说明理由.

21.（12分）

2

已知函数,f(x)=Inx+x—or,aER.

(1)若/(x)在(0,+8)上是单调函数，求。的取值范围；

(2)若/(X)存在两个极值点不超(玉<玉),且/(%2)<-e2,求4的取值范围.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4:坐标系与参数方程］(10分)

x=2+rcosd,

在平面直角坐标系xOy>中，曲线G的参数方程为.仆(「>0,夕为参数)，以坐

y=rsin0,

标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G经过点P(2,y),曲线G的极坐标方

程为/(2+cos2。)=6.

(1)求曲线G的极坐标方程；

7111

(2)若43是曲线C,上的两个动点，且NAOBn7，求两方+;7"的值.

2|UAI|(VoI

23.［选修4-5:不等式选讲］(10分)

已知关于x的不等式0<|x+6|—|万一3|<6的解集为M，且a,be".

113

(1)求证：|：4一：回<:；

364

(2)比较|9-4曲与61a-6的大小，并说明理由.

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高考模拟调研卷理科数学(三)

参考答案

一、选择题

1~6BAABDB7~12CADABB

(1)略

(2)略

222-m>0

厂y

(3)方程—+^—1表示焦点在x轴上的椭圆0m+2>0=-2<m<0

2-mm+2

2-m>m+2

(4)数列中,§7=49,4+%=18=d=2

(5)ABIBC,AC-AB=|AB|2=4

(6)如图所示，所求概率为:

(7)四棱锥的直观图如图所示，计算得体积为20

(8)解析：显然/(-%)=-/(%)，故/(x)为奇函数，又当x->()且x>()时,

cos8x-1,ln|x|7-oo,

e-0且y一尸>0,故/(x)f-oo,故选A.

(9)解析：SfJ'S5GW0,必2°/即q+8W0,q+1020，.二4G[—10,—8]

241

(10)解析：由题知，i=l时，，i=2时，，i=3时，，故。是周期为3的数

777

歹！］,当i=2016=3x672时，,然后i=2()17,输出a值.

(11)解析：/'(幻=111%+1-2欠=0在(0,+8)内有两个不等实根，/"(>)='―2a，显然a〉()，

X

此时广(X)在(0,二)上单增，(1,+8)上单减，当Xf0时，/'(x)f-8,当

2a2a

x—>+oo时，f\x)—>—00,故只需)>0，即a<7,综上0<a<—.

2a22

(12)解析：设B(%,y),由|A用26知，点A(6-2x,,-2y,),则

y：=2pxp=2p(6-2X|),两式相除得玉=1,又由题知

|A/H=5=XA+5=4+^，故p=2.\BFhxi+^2

二、填空题

(13)4(14)5(15)—3+胪(16)126兀

，一「、方力上一、「2兀.4「2兀9兀、3

(15)解析：以元+工-=。，则sina=不且。,-^],cosa=――,

+-/11队，队314G3+473

故cos(xH---)=cos(a4-—)----------------------.

153525210

(16)解析：设圆柱底面半径为r,贝U〃=249—/,v=兀r.2的—/=曰「广118—2户

j工厂、.二2二只=I?岛,当且仅当产=6时，等号成立，故V的最大

值为12石兀.

三、解答题

(17)(12分)

'23

解：(1)=4=2向；……5分

a{+%q-=20

(2)b=//=>/♦+2—y/n+l=>S=J/7+2—5/2.

TOS„=V«+2-V2^10=>«^(10+V2)2-2=100+20V2^129..........12分

(18)(12分)

解：(1)设事件"其中一名同学的测试成绩为优秀"为A,事件"两名同学均优秀"为B.

P(AB)C；=3

则P(8|A)=6分

P(A)〃⑷叱Y248

(2)X的可能取值为：0,1，2,3,

尸—。)哈$，P(x=D=管卷,

P(X=2)=萼4，P—3)爷=白

…、，12c18c412

石(X)=1xF2x--F3x—=—12分

3535357

(19)(12分)

解：（1）分别以ADAB,AP为x,y,z轴建立直角坐标系，各点坐标为：

4(000)B(0,2,06,(,2。(0),(22P,0》(0K)2).

若例为PC中点，则M(,,1，则

丁=耀，，1,一，有，ZP—(=>2E0,

所以，EMLPD......6分

(2)设Etf/l一，则有：『蜂一E亡(包P咫1,

£P=(0,-1,2),函=(0,1,0).

ti-EM=0——

则〈二—二勺=(—1,2,1),同理心=(%0,4—1).

〃「EP=0

所以

,—*--..72[•〃)..—A+A-1.—A/3_c1

Icos<«],n,>1=1,1=1L/,1=---=>(22-1)-=0=>^.=-.

|/?i|,|z?21yj6-J2A--24+132

EM=(1,0,1),AM=(1,1,1):.AM^y/3……12分

(20)(12分)

275126A/5

解：（1）。到直线A8的距离d=c-sinec--=>c-----

55

又因为e=£=述na=3,所以椭圆C为［+半=1……4分

a599

2)

2

OMON+OP'=(OM+ON)OP^>OM(ON-OP)+OP(OP-ON)=0^>PMPN=0.

若斜率上中0时：设直线方程为冲=%-2,"（不y）,N（X2,y2）,PQ,0）.

-4m

my=x-2y+%2

联立方程有：=>(m2+5)y2+4my-5=0=><m+5

x2+5/=9-5

m2+5

所以(3-f，yt)-(x2-t,%)=%工2一「(%1+%)+/+乂％=°・

20-9川

%x=(my+2)(，"％+2)=〃，必必+2加(X+%)+4=

2tm2+5

20

玉+々=加（%+%）+4=

m-+5

PM-PN=20~9m--r--^-+r2+^-=0=>(/2-9)/n2+(5r-20/+15)=0,

m"+5m+5m+5

产—9=0

所以，nr=3,故定点为(3,0)......12分

5『—20f+15=0

(21)(12分)

解:（1）/（幻=!+2尤一。20在（0,+8）上恒成立，即aW，+2x恒成立，所以aW2也;……4

XX

(2)f\x)=—+2x-a=---------=>xx=—=>x>——.

xx]2222

2