2022年中考数学复习新题速递之方程与不等式（2022年1月含解析及考点卡片）

2022年中考数学复习新题速递之方程与不等式（2022年1月）

一.选择题（共8小题）

1.（2021秋•通榆县期末）在一元二次方程7-2%-1=0中，常数项是（）

A.1B.-2C.-1D.0

2.（2021秋•榆林期末）己知关于x的一元一次方程2x+a=x-3的解是x=4,则“的值是

（）

A.-7B.7C.-4D.4

3.（2021秋•黔西南州期末）若（3-机）加-2_8=0是关于x的一元一次方程，则加的值

为（）

A.-3B.3C.±3D.1

4.（2021秋•黔西南州期末）将方程三-@=1去分母，下列变形正确的是（）

24

A.2x-x+l=lB.2x-（x+1）=1C.2x-x+1—4D.2x-（x+1）=4

5.（2021秋•龙江县校级期末）为积极推进“互联网+享受教育”课堂生态重构，加强对学

校教育信息化的建设的投入，己知2021年计划投入1000万元,预计到2023年需投入1440

万元，设投入经费的年平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是（）

A.1000（1+x）2=1440

B.1000（l+2x）=1440

C.1000+1000x+1000?=1440

D.1000（x2+l）=1440

6.（2021秋•韩城市期末）请判断一元二次方程』-5x+至=0的实数根的情况是（）

4

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

7.（2021秋•黔西南州期末）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交

车.已知小王家距上班地点18km,他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每

小时行驶的路程少10%"?.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时

间的乌，小王乘公交车上班平均每小时行驶（）

3

A.30kmB.36kmC.40kmD.46k/n

8.（2021秋•黔西南州期末）如图，数轴上的点。和点A表示的数分别是0和10,P是线

第1页（共

段。4上一动点.点P沿0-A-。以每秒2个单位长度的速度往返运动1次，8是线段

。4的中点，设点P运动的时间为r秒GW10）.在点尸运动的过程中，当PB=2时，则

点尸运动的时间f的值为（）

0BPA

IIII»

010

A.旦或工B.3或7

22

C3或7或13或17D3或13或7或17

222222

二.填空题（共7小题）

9.（2021秋•永吉县期末）如果x=5是关于x的方程，nr-7（x-1）=m-2Cx+m）的解，

贝ljm=.

10.（2021秋•榆林期末）王叔叔以每小时5千米的速度从家步行到单位上班，下班时以每

小时4千米的速度按原路返回，结果发现下班路上所花的时间比上班路上所花的时间多

15分钟，则王叔叔下班从单位步行回到家所需的时间为分钟.

11.（2021秋•农安县期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20

米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660

平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为.

12.（2021秋•临江市期末）已知刀=-1是关于x的方程cV+bx-2=0的一个根，则2021+24

-2b=.

13.（2021秋•铁西区期末）规定：如果关于x的一元二次方程—+Zzr+c=O有两个实数根，

且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.已知关于x的一元二

次方程（x-2）（x+m）=0是“倍根方程”，则m的值为.

14.（2021秋•吉林期末）有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只

鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子.设

原有x只鸽子，则可列方程.

15.（2021秋•富裕县期末）智能音箱是市场上最火的智能产品之一，某商户一月份销售了

100个智能音箱，三月份比一月份多销售44个，设该公司二、三月销量的月平均增长率

第2页（共

为X,则可列方程为.

三.解答题(共10小题)

16.(2021秋•建华区期末)解方程：

(1)计算:3—•(-"+1)；

(2)计算：(-a2^)3*(-2abiic')2；

(3)计.算：(-2x+3y)(-2x-3y)；

(4)解方程：------=0.

22工

X-XX+x

17.(2021秋•前郭县期末)某同学在解关于y的方程或3-邑也=1去分母时，忘记将

46

方程右边的1乘以12,从而求得方程的解为>=10.

(1)求a的值；

(2)求方程正确的解.

18.(2021秋•榆林期末)为培养学生良好的书写习惯，某校七年级开展“书为心画，字为

心声”练字书写活动，需要购买一些钢笔和字帖分发给学生练习.钢笔和字帖在甲、乙

两个文具店的标价相同，钢笔的价格是30元/支，字帖的价格是5元/本，他们分别给出

如下优惠方案：

甲文具店：买一支钢笔送2本字帖；乙文具店：钢笔和字帖都按八折优惠.

活动初期，准备购买40支钢笔，x(x>80)本字帖.

(1)用含x的代数式分别表示在甲、乙两家文具店购买钢笔和字帖需要付款的钱数；

(2)当尤=100时，且只选择在其中一家购买，通过计算说明此时在哪家文具店购买较

为合算？

19.(2021秋•永吉县期末)A,8两地相距150千米，甲车从A地匀速行驶前往2地，每小

时行驶40千米；乙车从B地匀速行驶前往4地，每小时行驶60千米.

(1)甲、乙两车同时出发，小时相遇.

(2)甲、乙两车同时出发，小时两车相距10千米.

(3)若乙车先行驶半小时，甲车再出发，求甲车出发几小时两车相遇？

20.(2021秋•吉林期末)关于x的一元二次方程/+加什〃=0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，且〃?=-4,求〃的取值范围；

(2)若方程有两个相等的实数根，用含，”的代数式表示〃.

21.(2021秋•铁西区期末)如图，点尸是边长为6。"的正方形A8CZ)内部一点，过点P分

第3页(共

别作AB,AD的平行线，将正方形分成一、二、三、四共四个不重合的部分，其中第一

部分是边长小于3。"的正方形.当第一、四部分的面积和是第二、三部分面积和的3倍

时，求第一部分的边长.

22.（2021秋•双辽市期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两

船在静水中的速度都是50kmfh,水流速度是akm/h.

（1）2〃后两船相距多远？

（2）2/?后甲船比乙船多航行多少千米？

（3）一艘小快艇送游客在两个码头问往返，若去程是逆水，则回程是顺水.其中去程的

时间是回程时间的3倍,则小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是.（用

数学表达式直接写出v与〃的数量关系）

23.（2021秋•通榆县期末）某超市对一种零售价为每块2元的肥皂，推出两种优惠方案.

方案一：凡购买2块以上（含2块），第一块原价，其余按原价的七五折优惠；

方案二：全部按原价的八折优惠.

（1）若一顾客购买了3块该种肥皂，则选择更优惠（填“方案一”或“方案二”）.

（2）求顾客购买多少块该种肥皂时，使用两种方案付费相同.

24.（2021秋•通榆县期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：

第一档天然气用量第二档天然气用量第三档天然气用量

年用天然气量360立方米及年用天然气量超出360立方米，年用天然气量600立方米以

以下，价格为每立方米2.53不足600立方米时，超过360立上，超过600立方米部分价

元.方米部分每立方米价格为2.78格为每立方米3.54元.

元.

例：若某户2021年使用天然气400立方米，按该方案计算，则需缴纳天然气费为：2.53

X360+2.78X（400-360）=1022（元）；依此方案请回答：

（I）若小明家2021年使用天然气500立方米，则需缴纳天然气费为元（直接

第4页（共

写出结果).

(2)若小红家2021年使用天然气650立方米，则小红家2021年需缴纳的天然气费为多

少元？

(3)依此方案计算，若某户2021年实际缴纳天然气费2286元，求该户2021年使用天

然气多少立方米？

25.(2021秋•南关区期末)【感知】如图①，一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单

位长度，再向左移动5个单位长度.可以看出，终点表示数-2.

【应用】点A表示数-3,点M从点A开始，先向右移动10个单位长度，再向左移动

15个单位长度，此时点M表示数；A、M两点距离为.

【拓展】点B表示数b,点N从点B开始,先向右移动加(相>0)个单位长度，再向左

移动〃(n>0)个单位长度，此时点N表示数；B、N两点距离为.

【探究】如图②，点C表示数-5,。表示数4.点尸从点C出发，以每秒2个单位长度

的速度向右移动；与此同时，点Q从点。出发，以每秒1个单位长度的速度向左移动，

设点P的运动时间为f(/>())秒.

1flif..................................................................................।、

-6-5-4-3-2-10123456

图②

(1)用含f的代数式表示点尸和点Q表示的数;

(2)求点P、。表示的数相同时f的值；

(3)求f=l和r=4时P、Q两点的距离；

(4)用含「的代数式表示产、。两点的距离.

-3-2-101234

图①

第5页(共

2022年中考数学复习新题速递之方程与不等式（2022年1月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

I.（2021秋•通榆县期末）在一元二次方程，-2x-1=0中，常数项是（）

A.1B.-2C.-1D.0

【考点】一元二次方程的一般形式.

【专题】一元二次方程及应用；符号意识.

【分析】根据一元二次方程的一般形式得出选项即可.

【解答】解：一元二次方程1=0中常数项是-1,

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的项时带着前面的符号.

2.（2021秋•榆林期末）已知关于x的一元一次方程2x+q=x-3的解是x=4,则。的值是

（）

A.-7B.7C.-4D.4

【考点】一元一次方程的解.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【分析】将x=4代入方程2x+a=x-3,求出。即可.

【解答】解：:一元一次方程2x+a=x-3的解是x=4,

A2X4+a=4-3,

8+a=l,

：.a=-7,

故选：A.

【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关

系是解题的关键.

3.（2021秋•黔西南州期末）若（3-M洌-2_8=o是关于％的一元一次方程,则m的值

为（）

A.-3B.3C.±3D.1

【考点】绝对值；一元一次方程的定义.

第6页（共

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力.

【分析】根据一元一次方程的定义得出3-znWO,依|-2=1,再求出，"即可.

【解答】解：：(3-加))加「2-8=0是关于X的一元一次方程，

A3-巾#0且附-2=1,

解得：机=-3,

故选：A.

【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，

注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一

次方程.

4.(2021秋•黔西南州期末)将方程三-三包=1去分母，下列变形正确的是()

24

A.2r-x+l=lB.2x-(x+1)=1C.2x~x+\—4D.2x-(x+1)—4

【考点】等式的性质；解一元一次方程.

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力.

【分析】方程左右两边乘以4去分母得到结果，即可作出判断.

【解答】解：去分母得：2x-(x+1)=4.

故选：D.

【点评】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题

的关键.

5.(2021秋•龙江县校级期末)为积极推进“互联网+享受教育”课堂生态重构，加强对学

校教育信息化的建设的投入，已知2021年计划投入1000万元,预计到2023年需投入1440

万元，设投入经费的年平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是()

A.1000(1+x)2=1440

B.1000(l+2x)=1440

C.1000+1000x+1000?=1440

D.1000(7+1)=1440

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【分析】如果设投入经费的年平均增长率为x,根据2021年投入1000万元，得出2022

年投入100()(1+x)万元，2023年投入1000(1+x)2万元，从而可得出方程.

第7页(共

【解答】解：设投入经费的年平均增长率为X,则2022年投入1000(1+x)万元，2023

年投入1000(1+x)2万元，

根据题意得1000(1+x)2=1440.

故选:A.

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化前

的量为4,变化后的量为6,平均变化率为X,则经过两次变化后的数量关系为a(l±x)

2=b.

6.(2021秋•韩城市期末)请判断一元二次方程7-5x+至=0的实数根的情况是()

4

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.

【解答】解：•••△=(-5)2-4X至=0,

4

工方程有两个相等的实数根.

故选:B.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ar2+bx+c=0(aW0)的根与4=62-4ac

有如下关系：当△>◊时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当AV0时，方程无实数根.

7.(2021秋•黔西南州期末)为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交

车.已知小王家距上班地点18h",他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每

小时行驶的路程少10妨2.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时

间的乌，小王乘公交车上班平均每小时行驶()

3

A.30ktnB.36kmC.40kmD.46km

【考点】分式方程的应用.

【专题】分式方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识.

【分析】设小王乘公交车上班平均每小时行驶xkm,则小王用自驾车上班平均每小时行

驶(x+10)km,由题意：小王家距上班地点18版，他从家出发到上班地点，乘公交车所

第8页(共

用的时间是自驾车所用时间的匹，列出分式方程，解方程即可.

3

【解答】解：设小王乘公交车上班平均每小时行独xb”，则小王用自驾车上班平均每小

时行驶（x+10）km,

由题意得：」W=3_x4,

xx+103

解得：x=30,

经检验，x=30是原方程的解，

则x+10=40,

即小王乘公交车上班平均每小时行驶30%"?,

故选：A.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

8.（2021秋•黔西南州期末）如图，数轴上的点。和点A表示的数分别是0和10,P是线

段OA上一动点.点P沿O-A-。以每秒2个单位长度的速度往返运动1次，B是线段

0A的中点，设点尸运动的时间为f秒GW10）.在点P运动的过程中，当PB=2时，则

点P运动的时间f的值为（）

OBPA

IIII»

010

A.旦或工B.3或7

22

C.3或工或区或D.3或型或7或2I

222222

【考点】数轴；一元一次方程的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【分析】分0WrW5与5WW10两种情况进行讨论，根据PB=2列方程，求解即可.

【解答】解：①当0W/W5时，动点P所表示的数是2f,

,:PB=2,

Z.|2r-5|=2,

；.2L5=-2,或2r-5=2,

解得f=旦或f=工；

22

②当50W10时，动点P所表示的数是20-2f,

,:PB=2,

/.|20-2r-5|=2,

第9页（共

Z.20-2/-5=2,或20-2f-5=-2,

解得f=型或t——.

22

综上所述，运动时间r的值为旦或工或里或工.

2222

故选：C.

【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置

的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键.

二.填空题(共7小题)

9.(2021秋•永吉县期末)如果x=5是关于x的方程〃a-7(x-1)=m-2(x+〃?)的解，

则m=3.

【考点】一元一次方程的解.

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力.

【分析】把x=5带入方程得出关于〃?的一元一次方程，求出机即可.

【解答】解：..,*=5是关于x的方程nvc-1(%-1)—m-2(x+M的解，

/.5m-1(5-1)—m-2(5+〃z),

解得m=3,

故答案为：3.

【点评】本题主要考查一元一次方程的解，关键是要理解方程的解的概念，能把x=5带

入原方程中得出关于m的方程.

10.(2021秋•榆林期末)王叔叔以每小时5千米的速度从家步行到单位上班，下班时以每

小时4千米的速度按原路返回，结果发现下班路上所花的时间比上班路上所花的时间多

15分钟，则王叔叔下班从单位步行回到家所需的时间为75分钟.

【考点】一元一次方程的应用.

【专题】一次方程(组)及应用；应用意识.

【分析】设王叔叔下班从单位步行回到家所需的时间为x分钟，则王叔叔上班从家步行

到单位所需的时间为G-15)分钟，利用路程=速度义时间，结合王叔叔上下班往返的

路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设王叔叔下班从单位步行回到家所需的时间为x分钟，则王叔叔上班从家

步行到单位所需的时间为(x-15)分钟，

第1。页(共

依题意得：5X±1叵=4X工，

6060

解得：x=75.

故答案为：75.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解

题的关键.

II.(2021秋•农安县期末)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20

米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660

平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为(35-

2x)(20-x)=660.

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；几何直观.

【分析】根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为(35

-级)米，宽为(20-x)米，然后根据长方形的面积=长乂宽，即可列出相应的方程.

【解答】解：由题意可得，

(35-2x)(20-x)=660,

故答案为：(35-2x)(20-x)=660.

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与

平移后的图形建立关系，将复杂问题简单化.

12.(2021秋•临江市期末)己知乂=-1是关于x的方程0?+法-2=0的一个根，则2021+2”

-2b=2025.

【考点】一元二次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【分析】将x=-1代入方程得出a-b=2,再整体代入计算可得.

(解答］解：将x=-I代入方程，得：a-b-2=0,即“-b=2,

则原式=2021+2(a-b)

=2021+2X2

第11页(共

=2021+4

=2025,

故答案为：2025.

【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代

入思想的运算.

13.（2021秋•铁西区期末）规定：如果关于x的一元二次方程o?+以+c=0有两个实数根,

且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.已知关于x的一元二

次方程（x-2）（x+机）=0是“倍根方程”，则机的值为-4或-1.

【考点】解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；推理能力.

【分析】先利用因式分解法解方程得到m=2,X2=-m,然后利用新定义得到-机=2X

2或-机=」X2,从而得到山的值.

2

【解答】解：（x-2）（x+M=0,

Ax-2=0或x+〃?=0,

解得xi=2,X2=-m,

・・,关于戈的一元二次方程（x-2）（x+机）=0是“倍根方程”，

-巾=2X2或-m=Ax2,

2

即m=-4或-1.

故答案为-4或-1.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若川，12是一元二次方程O?+法+c=0QW0）的

两根，X1+M=-电，XU2=£.也考查了根的判别式和解一元二次方程.

aa

14.（2021秋•吉林期末）有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只

鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子.设

原有x只鸽子，则可列方程2二3=2坦.

-6-8-

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【分析】直接利用鸽笼的数量不变得出方程，即可得出答案.

【解答】解：设原有x只鸽子，则可列方程：

第12页（共

x-3—x+5

丁~s~'

故答案为：三卫=2坦.

68

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关

键.

15.（2021秋•富裕县期末）智能音箱是市场上最火的智能产品之一，某商户一月份销售了

100个智能音箱，三月份比一月份多销售44个，设该公司二、三月销量的月平均增长率

为X,则可列方程为100（1+x）2=144.

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【分析】设月平均增长率为x,根据一月及三月的销售量，即可得出关于x的一元二次方

程，此题得解.

【解答】解：设月平均增长率为X,

根据题意得：100（1+x）2=144.

故答案为：100（1+x）2=144.

【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量义（1+年平均增长率）年

教=增长后的量.

三.解答题（共10小题）

16.（2021秋•建华区期末）解方程：

（1）计算：3*2.（

（2）计算：（-//；）3.（-2；

（3）计算：（-2x+3y）（-2x-3y）；

（4）解方程：-----=0.

22工

X-XX+x

【考点】单项式乘单项式；平方差公式；解分式方程.

【专题】整式；分式方程及应用；运算能力.

【分析】（1）利用单项式乘以单项式法则进行计算即可；

（2）先算乘方，再算乘法即可；

（3）利用平方差公式计算即可；

（4）按照解分式方程的步骤进行计算即可.

【解答】解：（1）3?-（-2/,,+|）

第13页（共

=-6/+3；

(2)(-Jb)3・(-2aPc)2

=-〃6户・4〃2庐

=-4〃8/?%2;

(3)(-2x+3y)-2x-3y)

=(-2x)2-(3y)2

=47-9y2；

(4)—--------—=0,

22工

X-XX+x

去分母，方程两边同时乘以X(X+1)(X-1)得：

5(x+1)-(x-1)=0,

解这个整式方程得：X=-旦，

2

检验：当X--3时，x(x+1)(x-1)W0,

2

；.x=-3是原方程的根.

2

【点评】本题考查了平方差公式，单项式乘以单项式，解分式方程，熟练准确的计算是

解答正确的关键.

17.(2021秋•前郭县期末)某同学在解关于y的方程殳+-铝亘=1去分母时，忘记将

方程右边的1乘以12,从而求得方程的解为y=10.

(1)求a的值；

(2)求方程正确的解.

【考点】一元一次方程的解.

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力.

【分析】(1)根据题意得3(3y-a)-2(5y-7a)=1,将)，=10代入方程即可求。的

值；

(2)当。=1代入原方程再求解即可.

【解答】解：(1)该同学去分母时方程右边的1忘记乘12,

则原方程变为3(3y-a)-2(5y-7a)=1,

:方程的解为y=10,

代入得3(30-67)-2(50-7。)=1.

第14页(共

解得4=1.

（2）将。一1代入方程电3-.5y-7史=i,得配工一邑卫=],

4646

解得y=-1,

即原方程的解为了=-1.

【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关

系是解题的关键.

18.（2021秋•榆林期末）为培养学生良好的书写习惯，某校七年级开展”书为心画，字为

心声”练字书写活动，需要购买一些钢笔和字帖分发给学生练习.钢笔和字帖在甲、乙

两个文具店的标价相同，钢笔的价格是30元/支，字帖的价格是5元/本，他们分别给出

如下优惠方案：

甲文具店：买一支钢笔送2本字帖；乙文具店：钢笔和字帖都按八折优惠.

活动初期，准备购买40支钢笔，x（x>80）本字帖.

（1）用含x的代数式分别表示在甲、乙两家文具店购买钢笔和字帖需要付款的钱数；

（2）当x=100时，且只选择在其中一家购买，通过计算说明此时在哪家文具店购买较

为合算？

【考点】列代数式；代数式求值；一元一次方程的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【分析】（1）根据题意给出的优惠方案即可求出答案.

（2）将x=100代入两式中即可进行比价.

【解答】解：（1）甲文具店购买，贝！I需要付款30X40+5（X-40X2）=（5尤+800）元，

乙文具店购买，则需要付款30X40X0.8+5X0.8x=（4x+960）元；

（2）当x=100时,

甲文具店购买需付款：5x+800=5X100+800=1300（元），

乙文具店购买需付款：4x+960=4X100+960=1360（元），

1300<1360,

在甲文具店购买较为合算.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是

解题的关键.

19.（2021秋•永吉县期末）4,8两地相距150千米，甲车从4地匀速行驶前往8地，每小

第15页（共

时行驶40千米；乙车从8地匀速行驶前往A地，每小时行驶60千米.

(1)甲、乙两车同时出发，1.5小时相遇.

(2)甲、乙两车同时出发，1.4或1.6小时两车相距10千米.

(3)若乙车先行驶半小时，甲车再出发，求甲车出发几小时两车相遇？

【考点】一元一次方程的应用.

【专题】一次方程(组)及应用；应用意识.

【分析】(1)设甲、乙两车同时出发，x小时相遇，依据时间=路程+速度列出方程即可

解答，

(1)分两种情况：相遇前两车相距10千米和相遇后两车相距10千米.

(2)设甲车出发y小时后两车相遇，根据A、8两地距离是150米列出方程并解答.

【解答】解：(1)设甲、乙两车同时出发，x小时相遇，

依题意得：(60+40)x=150,

解得x=1.5,

即甲、乙两车同时出发，1.5小时相遇，

故答案为：1.5；

(2)设甲、乙两车同时出发，”小时后两车相距10千米，

①相遇前两车相距10千米，

依题意得：(60+40)“+10=150,

解得”=1.4,

即甲、乙两车同时出发，1.4小时后两车相距10千米：

②相遇后两车相距10千米，

依题意得:(60+40)n-10=150,

解得〃=1.6

即甲、乙两车同时出发，1.6小时后两车相距10千米；

综上所述，甲、乙两车同时出发，1.4或1.6小时后两车相距10千米，

故答案为：1.4或1.6；

(3)设甲车出发y小时两车相遇，根据题意，得

40y+60.y+60X0.5=150.

第16页(共

解得x=1.2.

...甲车出发1.2小时两车相遇.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用.解答（2）题，要分类讨论，以防漏解.

20.（2021秋•吉林期末）关于x的一元二次方程/+wx+〃=0.

（1）若方程有两个不相等的实数根，且〃，=-4,求〃的取值范围；

（2）若方程有两个相等的实数根，用含〃，的代数式表示〃.

【考点】列代数式；根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】（1）利用根的判别式得到（-4）2-4〃>0,然后解不等式即可；

（2）根据根的判别式得△=〃/-4n=0,然后把m表示n即可.

【解答】解：（1）根据题意得A=，〃2-4〃>0,

而m=-4,

所以（-4）2-4«>0,

解得n<4,

即n的取值范围为〃<4；

（2）根据题意得A=m2-4/j=0,

所以«=Am2.

4

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程o?+法+c=oQWO）的根与A=h2-4ac

有如下关系，当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当A<0时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.

21.（2021秋•铁西区期末）如图，点P是边长为6cm的正方形4BCC内部一点，过点P分

别作AB,AD的平行线，将正方形分成一、二、三、四共四个不重合的部分，其中第一

部分是边长小于3c机的正方形.当第一、四部分的面积和是第二、三部分面积和的3倍

时，求第一部分的边长.

第17页（共

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【分析】设第一部分的边长为x(0<x<3)cm,则第四部分的边长为(6-x)cm,根据

一、四部分的面积和是第二、三部分面积和的3倍，即可得出关于x的一元二次方程，

解之取其符合题意的值即可得出结论.

【解答】解：设第一部分的边长为x(0<x<3)则第四部分的边长为(6-x)cm,

依题意得：x2+(6-x)2—3[X(6-x)+x(6-x)],

整理得：2/-12x+9=0,

解得：xiJ乙,-X2--——(不合题意，舍去).

22

答：第一部分的边长为殳”②如

2

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

22.(2021秋•双辽市期末)两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两

船在静水中的速度都是50h〃/〃，水流速度是akm/h.

(1)2力后两船相距多远？

(2)2/7后甲船比乙船多航行多少千米？

(3)一艘小快艇送游客在两个码头问往返，若去程是逆水，则回程是顺水.其中去程的

时间是回程时间的3倍，则小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是

2a.(用数学表达式直接写出v与。的数量关系)

【考点】列代数式；一元一次方程的应用.

【专题】一次方程(组)及应用；应用意识.

【分析】(1)根据速度X时间=路程，然后计算路程和即可；

(2)根据速度义时间=路程，然后计算路程差即可；

(3)设顺水时间为t,则逆水时间为3t,根据往返路程相等列方程求出v与。的关系式

即可.

【解答】解：(1)由题意可得，

2(50+a)+2(50-a)

=100+2a+100-2a

=200（千米）,

第18页(共

答：2万后两船相距200千米；

（2）由题意可得，

2（50+。）-2（50-a）

=100+2。-100+24

=4a（千米），

答：2/?后甲船比乙船多航行4a千米；

（3）设顺水时间为f,则逆水时间为3f,

由题意知（v+a）Xt=（v-a）X3f

解得v=2a,

故答案为：v=2a.

【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据速度、时间、路程的关系列方程

求解是解题的关键.

23.（2021秋•通榆县期末）某超市对一种零售价为每块2元的肥皂，推出两种优惠方案.

方案一：凡购买2块以上（含2块），第一块原价，其余按原价的七五折优惠；

方案二：全部按原价的八折优惠.

（I）若一顾客购买了3块该种肥皂，则选择方案二更优惠（填“方案一”或“方

案二”

（2）求顾客购买多少块该种肥皂时，使用两种方案付费相同.

【考点】一元一次方程的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【分析】（1）分别计算两种方案的价格作比较即可；

（2）设顾客购买x块该种肥皂时，两种方案付费相同，根据题意列方程求解即可.

【解答】解：（1）方案一：2+（3-1）X2X0.75=5（元），

方案二：3X2X0.8=4.8（元），

V4.8<5,

•••选方案二更优惠，

故答案为：方案二；

（2）设顾客购买x块该种肥皂时，两种方案付费相同，

由题意得2+2X（x-1）X0.75=2X0.8^,

解得x=5,

第19页（共

•••顾客购买5块该种肥皂时，两种方案付费相同.

【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，根据等量关系列方程求解是解题的关键.

24.（2021秋•通榆县期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：

第一档天然气用量第二档天然气用量第三档天然气用量

年用天然气量360立方米及年用天然气量超出360立方米，年用天然气量600立方米以

以下，价格为每立方米2.53不足600立方米时，超过360立上，超过600立方米部分价

元.方米部分每立方米价格为2.78格为每立方米3.54元.

元.

例：若某户2021年使用天然气400立方米，按该方案计算，则需缴纳天然气费为：2.53

X360+2.78X（400-360）=1022（元X依此方案请回答：

（1）若小明家2021年使用天然气500立方米，则需缴纳天然气费为1300元（直接

写出结果）.

（2）若小红家2021年使用天然气650立方米，则小红家2021年需缴纳的天然气费为多

少元？

（3）依此方案计算，若某户2021年实际缴纳天然气费2286元，求该户2021年使用天

然气多少立方米？

【考点】有理数的混合运算；一元一次方程的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【分析】（1）根据分段计费直接计算即可；

（2）同理（1）计算即可；

（3）设该用户2021年使用天然气x立方米，根据分段计费列方程求解即可.

【解答】解：⑴由题知，2.53X360+2.78X（500-360）=1300（元），

小明家需缴纳天然气费为1300元，

故答案为：1300；

（2）由题知，2.53X360+2.78X（600-360）+3.14X（650-600）=1755（元）,

小红家2021年需缴纳的天然气费为1755元；

（3）；2286〉1755元，

该用户2021年使用天然气超过650立方米，

设该用户2021年使用天然气x立方米，

第20页（共

由题意得2.53X360+2.78X(600-360)+3.14X(x-600)=2286,

解得x=800,

该用户2021年使用天然气800立方米.

【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题意进行分段计费并能根据分段

计费列方程求解是解题的关键.

25.(2021秋•南关区期末)【感知】如图①，一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单

位长度，再向左移动5个单位长度.可以看出，终点表示数-2.

【应用】点A表示数-3,点用从点A开始，先向右移动10个单位长度，再向左移动

15个单位长度，此时点M表示数-8；A、M两点距离为5.

【拓展】点B表示数b,点N从点B开始,先向右移动加(相>0)个单位长度，再向左

移动"(">0)个单位长度，此时点N表示数b+m-n；8、N两点距离为|相-川.

【探究】如图②，点C表示数-5,。表示数4.点尸从点C出发，以每秒2个单位长度

的速度向右移动；与此同时，点Q从点。出发，以每秒1个单位长度的速度向左移动，

设点P的运动时间为f(/>())秒.

1flif..................................................................................।、

-6-5-4-3-2-10123456

图②

(1)用含f的代数式表示点尸和点Q表示的数;

(2)求点P、。表示的数相同时f的值；

(3)求f=l和r=4时P、Q两点的距离；

(4)用含「的代数式表示产、。两点的距离.

-3-2-101234