线性代数习题三及答案

郑州航空工业管理学院200〜2007学年第一学期

课程考试试卷(A)卷

一、填空题(本题总计16分，每小题2分)

1、排列的逆序数是

3〃120

u\1U12

2、若=1,贝IJ%3/20=_________

a2\a22

061

00、

3、设A为三阶可逆阵，A-'=210,贝!|A'=

32L

4、若A为mx〃矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是

12345

30412

5、已知五阶行列式。=11111贝!I+A42+A43+A3+A45=

11023

54321

6、若n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为n-l,则其解空间的

维数为____

7、若a=(lk1)'与夕=(1-21)，正交，则左=

8、若矩阵A的特征值分别为1、-1、2,贝jpe+A-E卜

二、选择题(本题总计20分，每小题2分)

(1+2)Xj+x2+x3=0

1、若齐次线性方程组"+(1+/1)々+%3=。有非零解，则力的范围为()

犬]+%+(1+%)*3=0

A.4w0B,2w—3

C.丸±0且彳。一3D.2=0且/1=一3

2、设n阶矩阵A和B满足AB=0,贝(I()

A.4=0或8=0B.|A|=0现B|=0

C.A+B=OD.|A|+|B|=0

3、设A为三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=f则|(3A)-J2A[=()

4、向量组％线性相关且秩为s,贝(J()

A.r=sB.r<s

C.s<rD.s<r

5、设向量组A能由向量组B线性表示，贝!J()

A.R(8)4R(A)B.R(8)<R(A)

C.R(B)=R(A)D.R(B)>R(A)

6、若A为三阶方阵，K|A+2^=0,|2A+E|=0,|3A-4E|=0,则|A|=()

A.8B.-8

44

C.-D.--

33

7、若n元非齐次线性方程组4*=1)的增广矩阵的秩R(A,b)<〃，则方程组

()

A.有唯一解B.有无穷多解

C.无解D.无法判断解的情况

8、n阶方阵A的秩r〈〃的充要条件为()

A.A有r阶子式不等于零

B.A的r+1阶子式都为零

C.A的任一个r阶子式都不等于零

D.A的任r+1个列向量线性相关，而有r个列向量线性无关

9、设非齐次线性方程组Ax=b有两个不同的解为药,%，则下列向量是方

程组的解是()

A.%+%B.%-%

21

C.—tz,+~a2D.匕%+Z2a2,其中匕，七eR

10、已知n阶方阵A、B和C满足ABC=E,其中E为n阶单位矩阵，

则B'=()

A.A-'C-1B.AC

C.CAD.C-IA-'

三、计算题(本题总计56分，5、6每小题10分，其他每小题9分)

'11r(121)

1.已知矩阵人=-i11，B=1-11,求AB2A及B「A.

1-ib.00-1

2.求n阶行列式的值

abb…b

bah・•・b

D=bba・•・b

bbb•••a

3.求矩阵的逆

’123、

A=221

343,

4.求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方

程组的通解

x,+x2+x3+x4+x5=2

2占+3X+£+%—3X=0

V25

x1+2X3+2X4+6X5=6

4X1+5X2+3X3+3X4-x5=4

5,已知向量组％=(1。23)'、。2=(1135厂、4=(1-131丫、

%=(1249)\«5=(1125)，求此向量组的一个最大无关组,

并把其余向量用该最大无关组线性表示.

"-110、

6.求矩阵A=-430的特征值和特征向量.

、102,

四、证明题(本题总计8分)

已知向量组(I)。1，。2，。3,(U)%，。2，。3，。4,(ni)%%，。3，。5,如

果各向量组的秩分别为3、3、4.证明：向量组四，%，%，%-%的秩为4.

郑州航空工业管理学院2006-2007学年第二学期

考试试卷答案及评分标准(B)卷

一、填空题(本题总计20分，每小题2分)

/、(1103、

1、——2、0；3、一A或一027；4、E-A；5、R(A)=根；

2441002j

6、m—3;7、2；8、—1；9、0；10、/wl

二、选择题(本题总计10分，每小题2分)

1、D;2、A;3、C;4、B;5、C

三、计算题(本题总计60分，每小题10分)

1-2_1

1、解：特征方程|A—4同==(/l—2)(4—3)

从而A的特征值为4=2,4=3...................................(4分)

当4=2时,由方程(A-2E)x=0得基础解系g=(-1,1),，

即对应于4=2的全部特征向量为及£*产0)；.....................(7分)

当心=3时，由方程(A-3E)x=0得基础解系Q=(-1，21,

即对应于右=3的全部特征向量为左272(^2*0)........................(10

分)

11

111ao

4a„

11100•・•Q]0

--c-.

2、解：。用%—0n----en-l----c\

qan

0an-\・・・00

an0000

(5分)

111)

=(-1)2%-------------4%…(10

I4%an)

分)

'010、T00、

3、解：由4=100B=001,求得|A卜忸|=一1,

W°L、010；

"0-10、'-100、

A*=-1008*=00

,00-I,0-I0J

010,100、

从而A।100,B-001（5分）

0017107

-10、

故X=A'CB-'13-4(10

J0-2>

分）

4、解：对增广矩阵B施行初等行变换

111111、q11112、

3211-33为-3/j0-1-2-2—60

B=

012260q-5/j012260

5433-157、0-1-2-2—60>

10-1-1-51

n+/2012260

r)+r2000000

ri-r2

/jx(-l)

0000007

x,-^+x+5X+1

即得：45（4分）

x2--2X3-2X4—6X5

取（刍,无4，毛尸分别为（1，0,01,（0,1,0/,（0,0,1/得基础解系为:

=（1,-2,1,0,0/,<2=（1,-2,0,1,0/,<3=（5,-6,0,0,1/............................（7

分）

另外取七=%=&=0得方程组的一个解〃=（1，0,0,0,0）T..............................（9

分）

原方程组的通解为：》=匕4+&?2+匕&+〃，其中匕，女2，&€《.....（10

分）

5、解：设矩阵

‘-12-11-2、

11-21-4,.

-642-2-4v7

、63-97-9,

通过初等行变换，得到其行最简形矩阵为：

（10-10-3^1

（00000）

分）

故矩阵A的1、2、4列即%a2,4为A的列向量组的一个最大无关组；…（8

分）

且

一3、

（10

3J

分）

6、解：由AT=」A*nA*=|A|AT,................................（3

分）

#（3A）*=|3A|（3A）-1=33|A|-A-'=-18A-1.......................（6

分）3

所以A"）+（3A）*=|12A-'-18A-||=|-6A-'|..................（8

分）

=（—6）[A[=（—6）3介

108（10

分）

四、证明题（本题总计10分）

证：（1）因为鬼，…,见线性无关，所以％，…,4T线性无关，而%,…,%T线性相

关，故％可由向量组里，。3,…,4T线性表示；.....................（4分）

（2）反证法：假设。“可由向量组%,。2,…,%T线性表示，由（1）知名可由

向量组%,线性表示，从而％可由向量组。2,…,%T线性表示，则

线性相关，这与后〃-1个向量％,…,％线性无关矛盾.故%不能由向量

组线性表

示......................................................（10分）

郑州航空工业管理学院200・2007学年第一学期

课程考试试卷（B）卷

一、填空题（本题总计20分,每小题2分）

9、排列的逆序数是____

a\\a2l0

a\\a\2—

10、=3,则4a124a220

a2\a22

051

<12.-12、

02-13

11、设A为四阶矩阵,A二,叫A*卜________

0032

、00。1J

12、已知n阶方阵A、B和C满足ABC=E,其中E为n阶单位矩阵,

则AT=

13、若A为〃?x〃矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b有无穷个解的充要

条件是

r

14、已知四维列向量％=（2513）,、a2=（101510）>

a3=（41-11）',且3（%-x）+2（%+x）=5（£Z3+x）,贝1]x=

15、若n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩为〃-5,则其解空间

的维数为—

16、已知向量c=（2-120）r,则版|=

17、若a=（l2一3》与夕=（k-11），正交，贝！U=

18、若矩阵A的特征值分别为1、2、3,则性2-2A+7E|=

二、选择题（本题总计20分，每小题2分）

QX]+/+X3=°

11、若齐次线性方程组卜+法2+与=0有非零解，则

xx+2bxz+=0

A.a=—lB.。工1且人工0

C・aw-1D.a=1或人=0

12、设n阶矩阵A的行列式等于D,则卜5Al=

A.5DB.-5D

C.(-5)"DD.(―5严。

13、以下等式正确的是

14、设向量组B能由向量组A线性表示，则

A.R(B)WR(A)B.R(B)<R(A)

C.R(B)=R(A)D.R(B)>R(A)

15、矩阵A、B、C满足C=AB,则

A.7?(A)</?(C)B.R(B)〈R(C)

C.R(A)<R(C)且尺(B)WR(C)D.砥04尺。)且尺(0〈阳15)

16、设A为三阶矩阵，A'为A的伴随矩阵,且|A|=；,则|(4A)-'-3A*|=

A.更B.3

2727

C.-D.--

22

17、设非齐次线性方程组Ax=b有两个不同的解为四,a2,则下列向量

是方程组的解是

A.a}+a2B.3a1一2a2

22

C.D.匕%+Z2a2,其中匕，％2£R

18、若n元非齐次线性方程组4乂=1>的增广矩阵的秩R(Ab)<“，则方

程组

A.有唯一解B.有无穷多解

C.无解D.无法判断解的情况

19、n阶方阵A的元素全为n,则A的秩为

A.0B.1

C.〃—1D.n

20、若A为三阶方阵，K|A+2E|=0,|2A+E|=0,|3A-4E|=0,则阊=

A.8B.-8

三、计算题(本题总计50分，每小题10分)

7.计算n阶行列式

122…2

222…2

D.二223…2

222…n

8.求矩阵A的逆

124、

A=312

121J

9.求非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的基础解系及原方程组的

通解

——冗2+333+%4=—1

当-

<3%+3X2-85X4=7

10.已知向量组%=(1-104)，、%=(2156)，、

a3=(1-1-20)/a4=(30714厂、a5=(4-1310)"求

此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示.

‘1-10、

11.求矩阵A=240的特征值和特征向量.

、421,

四、证明题(本题总计10分)

已知矩阵A,.,和Bg“满足AB=E,其中E为m阶单位矩阵，且根<〃，

证明：A的行向量组和B的列向量组都线性无关.

郑州航空工业管理学院2006—2007学年第一学期

考试试卷答案及评分标准(B)卷

一、填空题(本题总计20分，每小题2分)

1.18；2.12；3.216或63；4.BC；5.R(A)=R(A,b)<n；6.(1,2,3,4丫

7.5；8.3；9.5；10.420

选择题（本题总计20分，每小题2分）

1.D；2.C；3.D；4.A；5.D；6.D；7.B；8.D；9.B；10.C

三、计算题（本题总计50分,每小题10分）

1.计算n阶行列式

122••22

222­•22

223­•22

D,,

222­•n—\2

222■•2n

12222

22222

…00100

（2分）

i=3,…,”•••

000〃-30

0000n-2

122­•22

0-2—2,,—2-2

乃一2八001­-00

（6分）

000•・n-30

000•・0n-2

=一2（〃一2）!（10分）

2.求A的逆矩阵

124

A=312

121

124100124100

解：（A：E）=3120100-5-10-310（2

12100100-3-101

分）

_j_2

1000

-55

010_1_10（6

155

1

001

-3

分）

]_2

0

55

12

0（10分）

155

12

0

3-3

3.求非齐次线性方程组对应齐次线性方程组的基础解系及非齐次方程组

的通解

—X]-+3Xj+X4———1

<3*1+3%—8X3-5*4=7

+x2-2X3-3X4=5

--I-1311-3-11

解：33-8-501-24

11-2-35J|_001-24

11-3-11110-713

001-24〜001-24（2分）

00000J100000

取尤2,相为自由未知量得齐次线性方程组的解:

%1=-2+7匕

x3=2X4

r-n（7、

令得基础解系:,:

（4分）

D10）VJ。2

loJ⑴

门3、

0

令得非齐次线性方程组的特解〃*=，则通解为

,04

X=ki+h+h，k&R（4分）

102242

<ojbJ

o

■12134'

、-11-10-1

4.4=（%,%，%，。4,

5705-273

4601410

"12134一

01011八

cC（2分）

00-22-2

00000

-1002r

01011八

,,（4分）

001—11

00000

R（A）=3,at,a2,a3就是向量组的一个极大无关组（6分）

贝!1a4=2al+a2-a3（8分）

a5=a1+a2+«3（10分）

1-10'

5.求三阶矩阵A=240的特征值和特征向量

421

1—/I-10

解：|A—2国=24-20=（1-2）（2-2）（Z-3）=0（1分）

421-2

解得4=1，4二=2,4=3（4分）

‘0-10]（100、

4=1时，A—E=230〜010

、420）H