2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)

绝密启用前解密时间：17：00［考试时间15：00-17：00］

2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷(理工农医类)

数学试题卷(理工农医类)共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后,

再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

4,所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

特别提醒：

(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1、复平面内表示复数1(1一2i)的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案IA

［解析］：根据复数的乘法分配律可得z(l-2/)=2+z,因此该复数在复平面内所对应的坐标为(2,1),

它在第一象限。

2、对任意等比数列{6,},下列说法一定正确的是()

A.4,。3吗成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列

C.a2,a4,as成等比数列D.a3,ab,ag成等比数列

【答案】：D

【解析】：根据等比数列中等比中项的性质可得，如果数列为等比数列，即若2〃=/+左，则有

a2n=arak

3、已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数嚏=3,亍=3.5,则由该观测数据算得

的线性回归方程可能是()

A.9=0.4x+2.3B.y=2x-2.4C.y=-2x+9.5D.y=-0.3x+4.4

【答案】：A

【解析】：根据线性回归方程过定点丘J)的特点，代入验证只有A选项的直线过点点J)。

4、已知向量旬=(上,3),1=(1,4),1=(2,1),且(2a—36)_Lc,则实数&=()

915

A.--B.0C.3D.—

22

【答案】：C

【解析】(2a-3b)±c=>2a-c-3b-c=2(2k+3)-3x6=0=>k=3

5、执行题如（5）图所示的程序框图，若输出Z的值为6,则判断框内可填入的条件是（）

、34

A.5>—B.s>一CD.s>一

25-片5

【答案】：c

,987

【解析】：s=l,A=9=s=—，左=8=s=—,k=7=>s=—,k=6

101010

.7

,此时需要不满足条件输出，则输出条件应为s〉」-。

10

6、已知命题对任意xeH,总有2”>0；

q："x>1"是"x>2"的充分不必要条件,

题（5）图

则下列命题为真命题的是（）

A.pAqB.—ipA—qC.—>pAqD.pA—>q

【答案】：D

【解析】：根据复合命题的判断关系可知，命题〃为真，命题4为假，所以只有〃AF为真。

7,某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

左视图俯视图

A.54B.60C.66D.72

【答案】：B

【解析】：由三视图可知,该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱

底面为一个边长为3,4,5的直角三角形，高为2,上方的四棱锥是底面边长是3的正方形，一个侧面与

直三棱柱的底面重合。此图形共有5个面，底面H=,x3x4=6,竖直的三个面面积分别为

2

(2+5)x535(2+5)x4

S=3x5=15,邑==14,剩下的一个面是一个直角边长为3,5的直

2222

1155

角三角形，55=±、3><5=上。所以表面积为5=1；5,=60

22i=\

8、设K，F2分别为双曲线三一当=1（。>02>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得

ab

9

|。用+|。6|=3。,|尸用・|。鸟|=\她则该双曲线的离心率为（）

45〃9~

A.-B.-C.-D.3

334

【答案】：B

【解析工根据双曲线的性质不妨设点P在右支上，则由题意

3

\PF]\=^

\PF\+\PF\=3b

t2=>■J目尸耳|.印|=

'\PFx\-\PF2^2a44

b4b1255

即（4。—3b）（a+3〃）=0=>4t7=3Z?=>—=—=>e2=1H—=——=>e=—

a3a~93

9、某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则—类节目不

相邻的排法种数是（）

A.72B.120C.144D.3

【答案】：B

【解析】：歌舞类节目较多可先排A；,然后将三个歌舞类节目中间的两个空排满，分成两种情况：第一

种，插入的是两个小品类节目，种类为反反式=72；第二种，插入的是一个小品一个相声，种类为

6GM%=48。所以总的种树为72+48=120

10、已知A/A5C的内角4,B,。两足sin2A+sin(4—8+C)=sin(C—A—J3)H—,面积满足

2

1<S<2,记a,"c分别为A,8,C所对的边，则下列不等式成立的是（）

A.bc(b+c)>8B.ac(a+c)C.6<abc<12D.12<abc<24

【答案】：A

【解析】：由题目第一个条件可得：

sin2A+sin2B-sin(2A+2B)+—=>2sin(A+8)cos(A-B)=2sin(A+B)cos(A-B)+—=>

22

2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+fi)]=—=>sinCsinAsinB=-

由1WS42可得:

l<—ahsinC<2

2

<1<4csinAW2n8d2c2CsinAsin3W64n84I/。2c.2464n8WabcK160

28

1<—<zcsinfi<2

I2

由三角形两边之和大于第三边可得bc(b+c)>abc>S,所以选A

二、填空题

11.设全集U={ne7V|l<n<10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},贝!!(弓A)nB=.

【答案】：{7,9}

【解析】：根据集合的概念求出全集是1,2,…10的整数，通过补集的概念求出CuA=[4,6,7,9,10},根

据交集概念求出结果为{7,9}

10.函数/(x)=logVx-log,5(2x)的最小值为.

【答案】：---

4

【解析工根据对数的运算变型/(x)=log2x-(log2x+log2x),换元法令t=log,XJQ)=产+f,易

得最小值为-工

4

13.已知直线依+丁一2=0与圆心为C的圆(x-iy+(y—a)2=4相交于A,B两点,且

A4BC为等边三角形，则实数“=.

【答案】：4±V15

【解析】：根据直线和圆相交于A,B两点，C是圆心，ABC是等边三角形可知等边三角形边长等于

圆C的半径2,所以C到直线的距离即为等边三角形AB边上的高，列出等式—Z=Q，解得

a=4±V15o

考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

14.过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PB,PC分别交圆于8,C,

若PA=6,AC=8,BC=9,贝lj4B=.

【答案】：4

PAPRAR

【解析】：通过弦切角定理找到NPAB=NC,易得APAB与APCA相似，—

PCPAAC

解得AB=4

x—2+

15.已知直线/的参数方程为4—1(f为参数)，以坐标原点为极点，x正半轴为极轴

y=3+/

线/与曲线。的公共点的极经夕=.

【答案】：V5

【解析】:把直线的参数方程化为一般方程x-y+l=0,曲线C化为一般方程为V=4x,求出直线与C

的交点为(1，2),则0=JF淳=石

16.若不等式|2%-1|+,+2|2/+34+2对任意实数1恒成立，则实数a的取值范围是

【答案】：-1,-

L2」

【解析】：通过不等式恒成立可知右边需小于等于左边的最小值，求出|2x-l|+|x+2|的最小值为

解不等式Y+La+ZK*得ae-1,-

222」

三、解答题：本大题共6小题，共乃分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.

17.(本小题13分，⑴小问5分，(II)小问8分)

已知函数/(x)=6sin(公c+0)(0>O,—的图像关于直线x=q对称，且图像上相

邻两个最高点的距离为左.

(I)求@和夕的值;

(II)若/图=负.<£<笄)，求cos(a+芝)的值.

2乃

【解析】：(1)由题意/(x)最小正周期为7=乃，从而3=学=2。又/(x)图象关于x=W7T对称,

..-7C.TC.—TC7C„冗

故2・一+0=Z,而——4°v—得％=0,。=——

32226

(II)由(I)得丐)=代皿2.彳-6=¥。所以sin("?)=；，

7T2/^_TC7Tj..7T.\15

一<a<—1^0Wa---<一,故cos(a---)=----,

636264

37r7T7T

于是cos(a+—)=sina=sin[(a——)+一]

266

./7、7t/万、.万1JiV1515/3+V15

=sin（a——）cos—+cos（a——）sin—=-----+------=--------

666642428

18.（本小题满分13分）

一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字

是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.

（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列（注：若三个数仇c满足

aW力Vc,则称匕为这三个数的中位数）.

【解析】：（1）由古典概型计算公式可得「=0：+、仁。

C；84

（2）X的可能值为1,2,3,由题意

C：+C：C_34_17

P(X=1)=

—C--84-42

+CCG+C；+C沮_43

P(X=2)=

飞-84

C'C271

p(X=3)=」^=—=—,

Ct8412

所以X的分布列为:

X123

174311

P

428412

1743147

从而£(X)=lx—+2x—+3x—=—

42841228

19.（本小题满分12分）

如图（19）,四棱锥P—ABCD,底面是以。为中心的菱形，PO_L底面A3CO,

jr1

AB^2,ZBAD^-,M为8。上一点，且=—,MP_LAP.

32

（1）求尸。的长；

（2）求二面角A—PM—C的正弦值。

AB

【解析】：（1）法一：

连结AC,3。，因ABC。为菱形，则ACc3O=O,且ACLBD

以。为坐标原点，弧砺，丽的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系

O-xyz»因则QA=ABcos.=G,08=A6-sin'=l,所以0((),0,0),

A(V3,0,0),B(0,l,0),C(-V3,0,0),O月=(0,1,0),比=(",—1,0)由5M=；,6C=2知

——.1—.J31——--■——.J33J33

BM=-BC=(-J,一一,0)从而0加=08+3加=(一^,一,0)即M(——

4444444

设P(0,0,a)(a>0),而=(—G,0,a),丽=(乎,一：,&),因MPJ_AP,MPAP=Q

即：-3+4=0所以。=走，a=-巫(舍去)，故「。=且

4222

法二：由题意，PO_L面ABC。，A482A8CD都为正三角形，且OMLBC,

AM2=PA1+PM2

.»4—1cC1221

在AASyW中，A.M-=47H1----2・2»-*cos—兀=—，

4234

3

2

PA2=PO2+AO2=尸。2+3,PM=PO2+0M2=PO2+OM2=PO2+-,

4

即2=2。2+3+尸。2+3,解得po=正。

442

(2)由(1)知丽=(一百，。，岑)，丽=(¥，—(，乎)，而=(6,0，*)

设平面APA7的法向量勺=(%,y,ZI),平面PMC的法向量巧~(x2,y2,z2)

―石玉+^Z]=0

由4-AP-0,-MP=0得《得〃i=(1,—--,2)

百3G

x=0

1—4i1——4X1+-241

63G

TX2~4y2+~Z2=0

由环•砺=0,晨丽=0得<得屋=(1,一石,-2)

y/3x2+-y-Z2=0

〃i•%_7^5

从而法向量勺,〃2的夹角余弦值COS<〃],〃2>=

同，同5

V10

故所求二面角A-PM-。的正弦值为

20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）

已知函数/（尤）=ae2x-be-2x-cx（a力,cw火）的导函数尸（x）为偶函数，且曲线丁=/（x）在点

（0,7（0））处的切线的斜率为4—c.

（1）确定。力的值；

（2）若c=3,判断/（x）的单调性；

（3）若/（无）有极值，求C的取值范围.

【解析】：（1）对/（幻求导，（幻=2四2，+2尻3-，，由/（X）为偶函数，知/'（无）=/'（—无）,

即2（。一份92*+e-2*）=0,因e2*+e=*>0,所以。=匕。

又/(。)=2。+2。一。=4一c，故=

(2)当c=3时，f(x)=e2x-e-2x-3x,

那么/'(x)=2e2x+le-2x-3>2^2e2x»2e-2x-3=1>0,故/(x)在R上为增函数。

(3)由(1)矢口/'(x)=2e2*+2/2-"—c,

而2e2x+2e&>2疡7•万产=4,当x=0时等号成立.

下面分三类情况进行讨论：

当c<4时，对任意xwR,/'(x)=2e2*+2e-2*-c>0,此时/(x)无极值；

当c=4时，对任意XHO,/'(x)=2e2*+2e-2*-c>0,此时/(x)无极值；

当c>4时，令*=t,注意到方程2/+Z—c=0有两根=,,±J-—.>0,

t4

即/'(x)=0有两根芯=glnq或/=|lnr2.

当当<彳<X2时，/'U）<0；又当x>£时，/'（x）>0,从而/"（x）在彳=彳2处取得极小值;

综上，若/'（X）有极值，则c取值范围为（4,-8）。

21.如题（21）图，设椭圆部+后=1（“>/?>0）的左右焦点分别为《，入，点。在椭圆上,

濡\FF\=2反r-的面积为J2今

。耳JLK月,

（1）求该椭圆的标准方程;

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切

线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..

2

因此，所求椭圆方程为：—+/=1;

2

x2

（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆§+=1相交，6（内,凹）,6（马,％）是两个交点，

X>0,%>。，耳儿巴「是圆C的切线，且耳々人入鸟，,

由圆和椭圆的对称性，易知，赴=-x,,y=%,|片司=2|%|

由⑴知片（-1,0）,玛（1,0）,所以丽=（%+1,%）,窃=（-演-l,y），

由£6人鸟鸟得：-（玉+1）2+短=0,

由椭圆方程得1-争=。+1）2,

,4

即：3x1+4X]=0,解得，药=-§或玉=0.

当％=0时-，匕6重合，此时题设要求的圆不存在；

4

当王=-§时，过6,6分别与鸟