2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷(含答案)

2017年内蒙古赤峰市中考数学

试卷（含答案）

2017年中考真题精品解析数学(内蒙古赤峰卷)精编word版

一、选择题(每小题给出的选项中只有一个符合题意，

请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要

求涂黑.每小题3分，共计36分)

1.|(-3)-5|等于()

A.-8B.-2C.2D.8

2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

()

3.风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域

总面积为90021平方公里,90021用科学记数法表示为

()

A.9.0021X105B.9.0021X104C.90.021X103

D.900.21X102

4.下列运算正确的是()

A.3x+2y=5(x+y)B.x+x3=x4C.x2*x3=x6D.(x2)3=x6

5.直线a〃b,RtZ\ABC的直角顶点C在直线a上，若N

1=35°,则N2等于()

A.65°B.50°C.55°D.60°

6.能使式子缶成立的x的取值范围是（）

A.x21B.x22C.14W2D.xW2

7.小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E

是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点.如果小明投

掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）

AinlrIn1

2D^438

8.下面几何体的主视图为（）

B.C.D.

9.点A(1,yi)>B(3,y2)是反比例函数y=?图象上的

两点，则y1、丫2的大小关系是()

A.yi>y2B.yi=y2C.yi<y2D.不能确定

10.如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰

好落在对角线的交点0处,若折痕EF=2G则NA=()

A.120°B.100°C.60°D,30°

11.将一次函数y=2x-3的图象沿y轴向上平移8个单

位长度，所得直线的解析式为()

A.y=2x-5B.y=2x+5C.y=2x+8D.y=2x-8

12.正整数x、y满足(2x-5)(2y-5)=25,则x+y等

于()

A.18或10B.18C.10D.26

二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上，每

小题3分，共12分)

13.分解因式：xy2+8xy+16x=.

14.如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数

根，则m的取值范围是.

15.数据5,6,5,4,10的众数、中位数、平均数的和

是.

16.在平面直角坐标系中，点P(x,y)经过某种变换后

得到点P'(・y+Lx+2),我们把点P'(-y+Lx+2)

叫做点P(x,y)的终结点,已知点P的终结点为P2,

点P2的终结点为P3,点P3的终结点为P”这样依次得到

Pl、P2、P3>P4、…Pn、…，若点P］的坐标为⑵0),则

点P2017的坐标为.

三、解答题(在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解

答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共

10题，满分102分)

17.先化简，再求值：(篝-磊)・言，其中a=2017°+

(、扬tan30°.

18.已知平行四边形ABCD.

（1）尺规作图：作NBAD的平分线交直线BC于点E,交

DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不

写作法）；

（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF.

19.为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提

供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪

种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃

苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C.喜欢吃梨的学生;

D.喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查

结果绘制成图1和图2的统计图（不完整）.请根据图中

提供的数据解答下列问题：

(1)求此次抽查的学生人数；

(2)将图2补充完整，并求图1中的X；

(3)现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从

中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类

型的概率(用列表法或树状图法)

20.王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架,

如图1所示.已知AC=20cm,BC=18cm,ZACB=50°,王

浩的手机长度为17cm,宽为8cm,王浩同学能否将手机

放入卡槽AB内？请说明你的理由.(提示:sin50°^0.8,

cos50°^0.6,tan50°弋1.2)

A

21.如图，一次函数尸-亨x+1的图象与x轴、y轴分别

交于点A、B,以线段AB为边在第一象限作等边△ABC.

(1)若点C在反比例函数y=5的图象上，求该反比例函

数的解析式；

(2)点P(2F,m)在第一象限，过点P作x轴的垂线,

垂足为D,当aPAD与△OAB相似时，P点是否在(1)中

反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在,

请加以说明.

22.为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县

扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，

已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗

的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元.

（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；

（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总

费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求

梨树苗至少购买多少棵.

23.如图，点A是直线AM与。。的交点，点B在。0上,

BD_LAM垂足为D,BD与。0交于点C,0C平分NAOB,Z

B=60°.

(1)求证：AM是。。的切线；

(2)若DC=2,求图中阴影部分的面积(结果保留式和

根号).

24.如图1,在aABC中，设NA、NB、NC的对边分别

为a,b,c,过点A作AD±BC,垂足为D,会有sinZC=f,

则

SAABC={BCXAD=|XBCXACsinZC=|absinZC,

即SAABc=fabsinZC

同理SAABc=|bcsinZA

SAABc=|acsinZB

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理

-余弦定理：

如图2,在△ABC中，若NA、NB、NC的对边分别为a,

b,c,贝（J

a2=b2+c2-2bccosZA

b2=a2+c2-2accosZB

c2=a2+b2-2abeosNC

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

(1)如图3,在4DEF中，ZF=60°,ND、NE的对边

分别是3和8.求S^EF和DE?.

解：S-EFaEFXDFsinNF二；

DE2=EF2+DF2-2EFXDFcosZF=.

(2)如图4,在aABC中，已知AC>BC,ZC=60°,△

ABC'、Z\BCA'、AACB*分别是以AB、BC、AC为边长的等

边三角形，设aABC、△ABC'、△BCA>>ZkACB'的面积分

别为Si、S2>S3、S4,求证：S1+S2=S3+S4.

25.ZkOPA和aOQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直

角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点.

(1)当NA0B=90°时如图1,连接PE、QE,直接写出EP

与EQ的大小关系；

(2)将aCQB绕点。逆时针方向旋转，当NA0B是锐角

时如图2,(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明;

若不成立，请加以说明.

(3)仍将△OQB绕点0旋转，当NAOB为钝角时，延长

PC、QD交于点G,使aAEG为等边三角形如图3,求NAOB

的度数.

26.如图，二次函数y二ax?+bx+c(a#0)的图象交x轴

于A、B两点，交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶

(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂

线，交抛物线于点M,当点P在第一象限时，求线段PM

长度的最大值；

(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中

BD边上的高为2y?若存在求出点Q的坐标;若不存在请

说明理由.

2017年中考真题精品解析数学(内蒙古赤峰卷)精编word版

一、选择题(每小题给出的选项中只有一个符合题意，

请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要

求涂黑.每小题3分，共计36分)

1.1(-3)-5|等于()

A.-8B.-2C.2D.8

【答案】D.

【解析】

试题分析：根据分式的减法和绝对值可以解答本题.

|(-3)-5|=|-3-5|=|-8|=8,

故选D.

考点：有理数的减法；绝对值.

2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

()

A.B.C.

D.0

【答案】C.

【解析】

试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意.

故选C.

考点：中心对称图形；轴对称图形.

3.风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域

总面积为90021平方公里.90021用科学记数法表示为

()

A.9.002IxlO5B.9.002IxlO4C.90.021xlO3

D.900.21X102

【答案】B.

【解析】

试题分析：科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把

原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正

数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

90021用科学记数法表示为9.0021X104.

故选B.

考点：科学记数法一表示较大的数.

4.下列运算正确的是()

A.3x+2y=5(x+y)B・x+x3=x4

C.x2gr3=x6D.(x2)3=x6

【答案】D.

【解析】

试题分析：根据合并同类项、同底数事的乘法、嘉的乘

方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求

解.

A、不是同类项不能合并，故A错误；

B、不是同类项不能合并，故B错误；

C、x2*x3=x5,故C错误；

D、(x2)3=x6,故D正确.

故选D.

考点：募的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数塞的

乘法.

5.直线a//b,RAA8C的直角顶点C在直线a上，若4=35。,则

N2等于()

(ib

A.65°B.50°C.55°D.60°

【答案】C.

【解析】

试题分析：先根据直角为90°,即可得到N3的度数，

再根据平行线的性质，即可得出N2的度数.

VRtAABC的直角顶点C在直线a上，Z1=35°,:•乙

3=90°-35°=55°,

又・・・a〃b,AZ2=Z3=55°,故选C

考点：平行线的性质.

6.能使式子后+G成立的内的取值范围是（）

A.x>lB・x>2C•l<x<2D.x<2

【答案】c.

【解析】

试题分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,就可以求解.

f2-x>0

根据题意得：解得：1-W2.故选C.

考点：函数自变量的取值范围.

7.小明向如图所示的正方形区域内投掷飞镖，点E是

以旗为直径的半圆与对角线AC的交点.如果小明投掷飞

镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）

【答案】B.

【解析】

试题分析：直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴

影部分面积=S^EB,进而得出答案.

如图所示：连接BE,可得，AE=BE,ZAEB=90°,

且阴影部分面积二Sz\CEB=gS/SBEC二;S正方形ABCD,

故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：

故选B.

DC

考点：几何概率.

8.下面几何体的主视图为（）

A.B.C.

D.

【答案】C.

【解析】

试题分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答

案.

从正面看故选c.

考点：简单组合体的三视图.

9.点A(l,办5(3,必)是反比例函数y=2图象上的两点,则%、%的

X

大小关系是()

A.%>%B.弘=必C.%<%D.不

能确定

【答案】A.

【解析】

试题分析：根据反比例函数图象的增减性进行填空.

・・•反比例函数Y中的9>0,

・・・经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而

减小，

又・・・A(1,0)、B(3,y2)都位于第一象限，且1V3,

；・yi>y2，

故选A.

考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

10.如图，将边长为4的菱形加。纸片折叠，使点A恰好

落在对角线的交点。处，若折痕EF=2G,则ZA=()

A.120°B.100°C.60°D.30°

【答案】A.

【解析】

试题分析：连接AC,根据菱形的性质得出ACLBD,根据

折叠得出EF_LAC,EF平分A0,得出EF〃BD,得出EF为

△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，

进而可得到B0的长，由勾股定理可求出A0的长，则N

ABO可求出，继而NBA0的度数也可求出，再由菱形的性

质可得NA=2NBA0.

连接AC,

•・•四边形ABCD是菱形，AAC±BD,

TA沿EF折叠与0重合，AEF±AC,EF平分A0,

VAC±BD,・・・EF〃BD,AE.F分别为AB、AD的中点，

・・・EF为aABD的中位线，・・・EF=BD,.・.BD=2EF=4小

.•・B0=26，AA0=VAF7BO?=2,.*.AO=1AB,

/.ZAB0=30°,ZBA0=60°,AZBAD=120°.

故选A.

考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质；勾股定理.

11.将一次函数y=2x.3的图象沿y轴向上平移8个单位长

度，所得直线的解析式为（）

A.y=2x-5B・y-2x4-5C.y=2x+8

D.y=2x-8

【答案】B.

【解析】

试题分析：根据函数图象上加下减，可得答案.

由题意，得y=2x-3+8,即y=2x+5,故选B.

考点：一次函数图象与几何变换.

12.正整数“满足（2x-5）（2y-5）=25,则等于（）

A.18或10B.18C.10D.26

【答案】A.

【解析】

试题分析：易得(2x-5)、(2y-5)均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题.

'.'xy是正整数，(2x-5)、(2y-5)均为整数,

,/25=1X25,或25=5X5,

...存在两种情况：①2x-5=l,2y-5=25,解得：x=3,y=15,;

②2x-5=2y-5=5,解得：x=y=5;

.'.x+y=18或10,

故选A.

考点：二元一次方程.

二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上，每

小题3分，共12分)

2

13.分解因式：xy+Sxy+16x=.

【答案】x(y+4)2.

【解析】

试题分析：此多项式有公因式，应先提取公因式，再对

余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式

继续分解.

xy2+8xy+16x=x(y2+8y+16)=x(y+4)2.

故答案为:x(y+4)2.

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

14.如果关于x的方程X2—4x+2m=0有两个不相等的实数根，

则加的取值范围是.

【答案】m<2.

【解析】

试题分析：根据方程的系数结合根的判别式，即可得出

△=16-8m>0,解之即可得出m的取值范围.

・・•关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根，

/.△=(-4)2-4X2m=16-8m>0,解得：m<2.

故答案为：m<2.

考点：根的判别式.

15.数据5,6,5,4,10的众数、中位数、平均数的和

是.

【答案】16.

【解析】

试题分析：根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平均数，再相加即可.

数据5出现了2次，次数最多，所以众数是5;

数据按从小到大排列为4,5,5,6,10,中位数为5;

平均数=(5+6+5+4+10)+5=6;

5+5坨=16.

故答案为16.

考点：众数；算术平均数；中位数.

16.在平面直角坐标系中，点P(x,y)经过某种变换后得到

点尸(-y+l,x+2),我们把点尸(-y+l,x+2)叫做点P(x,y)的终结点.已

知点6的终结点为4,点八的终结点为鸟，点鸟的终结点为

切这样依次得到小生牛舄、L外L,若点々的坐标为(2,0),则

点P2017的坐标为

【答案】(2,0).

【解析】

试题分析：求得点P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规

律，即可解题.

VP1(2,0),则P2(1,4),P3(-3,3),P4(-2,-

1),P5(2,0),

・・・Pn的坐标为(2,0),(1,4),(-3,3),(-2,-1)

循环，

72017=2016+1=4X504+1,.,.P20i7坐标与Pi点重合,

故答案为(2,0).

考点：规律型：点的坐标.

三、解答题(在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解

答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共

10题，满分102分)

17.先化简，再求值：(笥一2),々其中

a--4a+2a-2

a=20172+(―()-3+后tan30°

【答案】-2.

【解析】

试题分析：先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值.

a—6a—23a—2

试题解析：原式=叩2）（”2）「—一'a72X~a~

a-63（a-2）_2

a（a+2）〃（a+2）a+2

由于a=2017°+j-6

+&7tan30'=l-5+3=-l,

2

原式=_=-2

-1；+z,

考点：分式的化简求值；零指数事；负整数指数塞；特

殊角的三角函数值.

18.已知平行四边形ABCD.

（1）尺规作图：作/好的平分线交直线BC于点E,交火延

长线于点尸（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;

（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF.

【答案】（D见解析；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）作NBAD的平分线交直线BC于点E,交

DC延长线于点F即可；

（2）先根据平行四边形的性质得出AB〃DC,AD〃BC,故

Z1=Z2,Z3=Z4.再由AF平分NBAD得出N1=N3,故

可得出N2=N4,据此可得出结论.

试题解析：（1）如图所示，AF即为所求;

（2）,・,四边形ABCD是平行四边形,

・・・AB〃DC,AD/7BC,AZ1=Z2,Z3=Z4.

・.・AF平分NBAD,AZ1=Z3,AZ2=Z4,ACE=CF.

考点：作图一基本作图；平行四边形的性质.

19.为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提

供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪

种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃

苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C.喜欢吃梨的学生;

D.喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查

结果绘制成图1和图2的统计图（不完整）.请根据图中

提供的数据解答下列问题：

(1)求此次抽查的学生人数；

(2)将图2补充完整，并求图1中的x；

(3)现有5名学生，其中A类型2名，B类型2名，从

中任选2名学生参加很体能测试，求这两名学生为同一

类型的概率(用列表法或树状图法)

【答案】(1)40；(2)图形见解析，20%；(3)|.

【解析】

试题分析：(1)根据百分比二纷计算即可；

(2)求出B、C的人数画出条形图即可；

(3)利用树状图，即可解决问题；

试题解析：(1)此次抽查的学生人数为16・40%=40人.

(2)C占40X10%=4人，B占20%,有40X20%=8人，

(3)由树状图可知:两名学生为同一类型的概率为*|.

考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图.

20.王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架,

如下面左图所示.已知AC=20cm，BC=lScm,NACB=50°,王浩

的手机长度为17丽，宽为8切，王浩同学能否将手机放入卡

槽覆内？请说明你的理由.（提示：

【答案】王浩同学能将手机放入卡槽AB内，理由见解析.

【解析】

试题分析：根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和

CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可

得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题.

试题解析：王浩同学能将手机放入卡槽AB内.

理由：作ADJ_BC于点D,

VZC=50°,AC=20cm,AAD=AC-sin50°=20X0.8=16cm,

CD=AC-cos50°=20X0.6=12cm,

VBC=18cm,JDB=BC-CD=18-12=6cm,:.

AB二ylAD2+BD2=V162+62=7292,

*/17=X/289<>/292,・・・王浩同学能将手机放入卡槽AB内.

考点：解直角三角形的应用；勾股定理.

21.如图，一次函数--孝川的图象与x轴、）轴分别交于

点AE,以线段.为边在第一象限作等边

（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数

X

的解析式；

（2）点相"⑼在第一象限，过点P作X轴的垂线，垂足为

D,当A/加与AZ）钻相切时，P点是否在（1）中反比例函数

图象上，如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明.

【答案】（1）"乎；（2）存在，（261）.

【解析】

试题分析：（l）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt

△A0B中，利用三角函数定义可求得NBA0=30°,且可求

得AB的长，从而可求得CA_LOA,则可求得C点坐标，利

用待定系数法可求得反比例函数解析式；

（2）分△PADs/\AB0和△PADs/\BA0两种情况，分别

利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标,

代入反比例函数解析式进行验证即可.

试题解析：⑴在尸-冬-1中，令尸0可解得x=4,令x=0可得产1,

OB]

.'.A(^3,0),B<0,1),.,.tanZBA0=—=-T-=4-,.'.ZBA0=30<>,

OAJ33

•「△ABC是等边三角形，.../BAC=60°,...NCA0=90°,

在RtZkBOA中，由勾股定理可得AB=2,，AC=2,；.C（第,2）,

...点C在反比例函数）=：的图象上，/.k=2X忑=2忑,

二反比例函数解析加"=3；

X

（2）VP（2鸟m）在第一象限，JAD=0D-0A=26A/5=\/3f

PD=m,

当△ADPs^AOB时，则有券=含，即十焉解得m=L此

时P点坐标为（273,1）.

当△PDAs^AOB时，则有詈嗡，即十告解得m=3,此

时P点坐标为（2小3）；

把P（2岛3）代入可得3馈，・・・P（273,3）不在

反比例函数图象上，

把P（2小1）代入反比例函数解析式得।第，・・・P（2小

1）在反比例函数图象上；

综上可知P点坐标为（273,1）.

考点：反比例函数综合题；相似三角形的判定与性质；

分类讨论.

22.为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县

扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，

已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗

的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元.学

+科网

（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；

（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总

费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求

梨树苗至少购买多少棵.

【答案】（1）5元；（2）850棵.

【解析】

试题分析：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的

单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出

方程求出其解即可；

（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根

据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出

其解即可.

试题解析：（D设梨树苗的单价为X元，则苹果树苗的单价为（X+2）元,

2500_3500

依题意得:解得x=5.

xx+2

经检蛉x=5是原方程的解，且符合题意.

答：梨树苗的单价是5元；

（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵,

依题意得：（5+2）+5aW6000,

解得a>850.

答：梨树苗至少购买850棵.

考点：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用.

23.如图，点A是直线AM与eO的交点，点8在eO上，BD±AM

垂足为3Q与eO交于点C，OC平分乙4。8,/5=60"・

（1）求证：期是eO的切线；

（2）若力C=2,求图中阴影部分的面积（结果保留万和根

号）.

【答案】（1）见解析；（2）66T.

【解析】

试题分析：(1)由已知条件得到aBOC是等边三角形，根

据等边三角形的性质得到Nl=N2=60°,由角平分线的

性质得到N1=N3,根据平行线的性质得到N0AM=90。，

于是得到结论；

(2)根据等边三角形的性质得到N0AC=60°,根据三角

形的内角和得到NCAD=30°,根据勾股定理得到AD=2吗

于是得到结论.

试题解析：(1)・・・NB=60°,•••△BOC是等边三角形，，

Zl=Z2=60°,

・・,℃平分NAOB,AZ1=Z3,.\Z2=Z3,AOAZ/BD,

AZBDM=90°,AZ0AM=90°,...AM是。。的切线；

(2)VZ3=60°,OA=OC,•・•△AOC是等边三角形，

AZ0AC=60°,VZ0AM=90°,AZCAD=30°,

VCD=2,AAC=2CD=4,AAD=2^,

；・S阴影二S梯形OADC-S扇形OAC=:(4+2)X26-60窗6=6&-？.

考点：等边三角形的性质；切线的判定与性质；扇形面

积的计算.

24.如图，在AABC中，设ZA、NB、ZC的对边分别为过

点A作ADIBCf垂足为会有sinZC=，贝||

BP5a/？sinZC

=-BCxAD=-xBCxACsin^C=-absinZC9MfiC

222

同理S^BC二口。sinZA，S^BC=^ACS^N/B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理

一余弦定理：

在MBC中，若ZA、NB、NC的对边分别为a,dc,则

a2=b2+c2-2/7ccosZA

b1=cr+C1-2QCCOSNB

c2=a2+从一2abcosNC

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

(1)如图，在\DEF中，々=60。，ZD、NE的对边分别是3和

8.

求见四和。炉.

解•SwF=~EFXDFsinZF=；

DE2=EF2+DF--2EFxDFcosNF=.

(2)在AABC中，已知AC>BC,ZC=60°fAABC\AfiCA'、AAC8'分别是

以A3、BC、AC为边长的等边三角形，设AABC、AABC\ABCA\^ACB,

的面积分别为S「SfS3、s4,求证：S1+S尸S3+S4•

【答案】⑴6将49；(2)见解析.

【解析】

试题分析：（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；

<2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论;

方法2、先用正弦定理得出S：,S2,S,,S.,最后用余弦定理即可得出结论.

试题解析：⑴在ADEF中,4=60。，ND、NE的对边分别是3和8,

.\EF=3,DF=8,

.•.S3=；EFXDFsin&：；X3X8Xsin600=6/，

DEMF+DF-2EFXDFcosZF^3:-^:-2X3X8Xcos600=49,

故答案为：6书,49;

（2）证明：方法LVZACB=60°,

AAB2=AC2+BC2-2AC-BCcos60°=AC2+BC2-AC・BC,

1

两边同时乘以2-sin60°得,

gAB2sin60°=1AC2sin60°+gBC2sin60°

UCeBCsin60°,

•••△ABC',△BCA',△ACB'是等边三角形,

22

ASi=^AC*BCsin60°,S2=^ABsin60°,S3=^BCsin60°,

2

S4=^ACsin60°,

.*.S2=S4+S3-Si,.*.Si+S2=S3+S4,

方法2、令NA,ZB,NC的对边分别为a,b,c,

.*.Si=^absinZC=|absin60°4ab

•••△ABC',△BCA',△ACB'是等边三角形，

e2ee2

/.S2=c*csin60°=c,S3=aasin60°=咚a,

S=b・b・sin60。=fb2,

222

AS1+S2=4(ab+c),S3+S4邛(a+b),

Vc2=a2+b2-2abecosZC=a2+b2-2ab*cos60°,

222e

Aa+b=c+ab,..Si+S2=S3+S4.

考点：等边三角形的性质，解直角三角形.

25.AQPA和AOQB分另(J是以。尸、0Q为直角边的等腰直角三角

形，点C。、E分别是0403、AB的中点.

(1)当ZAOB=90°时如图1,连接PE、QE9直接写出EP与EQ的

大小关系；

(2)将△。沙绕点。逆时针方向旋转，当408是锐角时如图

2,(1)中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不

成立，请加以说明.

(3)仍将A0Q5绕点。旋转,当ZAOB为钝角时，延长PC、QD交

于点G,使AABG为等边三角形如图3,求ZA03的度数.

【答案】(1)EP=EQ；(2)成立，证明见解析；(3)150°.

【解析】

试题分析：1)先判断出点P,0,Q在同一条直线上，再

判断出△APE^^BFE,最后用直角三角形的斜边的中线

等于斜边的一半即可得出结论；

(2)先判断出CE=DQ,PC=DE,进而判断出△EPC0ZXQED

即可得出结论；

(3)先判断出CQ,GP分别是OB,0A的垂直平分线，进

而得出NGBONGOB,ZGOA=ZGAO,即可得出结论.

试题解析：(D如图L延长PE,QB交于点F,

•••△APO和△BQO是等腰直角三角形，AZAP0=Z

BQ0=90°,ZA0P=ZB0Q=45°,

VZA0B=90°,AZA0P+ZA0B+ZB0Q=180°,・••点P,

0,Q在同一条直线上，

VZAP0=ZBQ0=90°,AAP/7BQ,AZPAE=ZFBE,

・・•点E是AB中点，・・・AE二BE,

VZAEP=ZBEF,/.AAPE^ABFE,.\PE=EF,

・・・点E是RtAPQF的斜边PF的中点，JEP=EQ；

<2)成立，

证明：,•・点C,E分别是OA,AB的中点，:.CE"OB,CE=^OB,

.,.ZDOC=ZECA,

.点D是RtZkOQB斜边中点，，DQ=；OB,...CE=DQ,

同理：PC=DE,ZDOC=ZBDE,.\ZECA=ZBDE,

,/ZPCE=ZEDQ,/.AEPC^AQED,.•.EP=EQ;

(3)如图2,连接GO,,・,点D,C分别是OB,OA的中点,

△APO与aQB。都是等腰直角三角形，

ACQ,GP分别是OB,0A的垂直平分线，AGB=GO=GA,

AZGB0=ZG0B,ZG0A=ZGA0,

设NG0B=x,ZG0A=y,

・・・x+x+y+y+60°=360°,.*.x+y=150°,AZA0B=150°.

考点：几何变换综合题，直角三角形的性质，线段垂直

平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质.

2

26.如图，二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象交.、轴于4B