2022-2023学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（下）开学数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱 B．五棱柱 C．长方体 D．五棱锥2．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（）A． B． C． D．3．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝44．（2分）若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+4＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣65．（2分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A． B． C． D．6．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（）A．90° B．100° C．130° D．140°7．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．75° B．70° C．65° D．60°8．（2分）下面三个问题中都有两个变量y与x：①小清去香山观赏红叶，他登顶所用的时间ymin与平均速度xm/min；②用绳子围成周长为10m的矩形，矩形的一边长xm与它的面积ym2；③正方形边框的边长xcm与面积ycm2；其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可用如图所示的函数图象表示的有（）A．① B．② C．③ D．②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）若点A（5，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为．11．（2分）若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：ab（填“＞”，“＜”或“＝”）．12．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点．若∠APB＝60°，则∠AOP的大小为．13．（2分）已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当x＞1时，y随x的增大而减小．请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：．14．（2分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交弧AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝8cm，CD＝2cm，则轮子的半径为cm．15．（2分）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为．16．（2分）从正整数1，2，3，…，15中，选出k组数，满足：①每组2个数，且这2个数不相同；②任意两组都不含有相同的数；③任意两组的数的和互不相同，且都不超过15．（1）若k＝2，请写出一种选取方案：第1组：，第2组：；（2）k的最大值为．三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18-21题每题5分，第22~26题每题6分，第27、28题每题7分）17．（4分）解方程：x2﹣6x+8＝0．18．（5分）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及圆上一点A．求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点．作法：如图2，①连接OA并延长到点C；②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线OA上方）；③以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；④连接CD并延长，交⊙D于点B，作直线AB．直线AB就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接AD．∵＝AD∴点C在⊙D上，∴CB是⊙D的直径．∴＝90°．（）∴AB⊥．∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．（）19．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝34°．则∠BAF的度数为；（2）若AC＝12，BC＝9，求AF的长．20．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）将y＝x2+2x﹣3写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标；（2）当﹣3＜x＜0时，直接写出函数值y的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y＝n有两个交点A，B，若AB＞6，直接写出n的取值范围．21．（5分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A志愿者被选中”是事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．22．（6分）已知二次函数y＝x2+ax﹣a﹣1．（1）求证：无论a为任何非零实数，此抛物线与x轴总有交点；（2）若此抛物线与x轴两个交点之间距离等于6，求a的值．23．（6分）如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE＝6，延长DE到A，使得EA＝，直线AC与半圆交于B，C两点，且∠DAC＝45°．（1）求弦BC的长；（2）求△AOC的面积．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线，且经过点A（2，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于函数y＝mx﹣1（m≠0）的值，直接写出m的取值范围．25．（6分）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；（3）如果A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）三点均在抛物线y＝ax2﹣2ax+4上，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．27．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA﹣PB＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2，点A（0，﹣3），P为平面上一点，如果点P绕着点A逆时针旋转90°的对应点在⊙O上，则称点P是⊙O关于点A的垂点．（1）在点P1（1，1），P2（3，﹣1），P3（﹣2，）中，是⊙O关于点A的垂点的是．（2）过点A的直线y＝kx+b（k≠0）上存在⊙O关于点A的垂点，求k的取值范围．（3）点B为平面上一点，且AB＝1．以点T（t，0）为圆心，3﹣为半径的⊙T上存在⊙O关于点B的垂点．直接写出点t的取值范围．

2022-2023学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱 B．五棱柱 C．长方体 D．五棱锥【解答】解：由几何体的左视图和俯视图都是长方形，故该几何体是柱体，又因为主视图是五边形，故该几何体是五棱柱．故选：B．2．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（）A． B． C． D．【解答】解：将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y＝x2﹣1，故选：A．3．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0∴x2+2x＝3∴x2+2x+1＝1+3∴（x+1）2＝4故选：D．4．（2分）若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+4＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+4＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（m+1）2﹣4×1×4＞0，解得：m＞3或x＜﹣5，取m＝﹣6，故选D．5．（2分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：12123234由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，所以两次记录的数字之和为3的概率为＝，故选：C．6．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（）A．90° B．100° C．130° D．140°【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°．又∠ABC＝50°，∴∠A＝40°，∵四边形ABDC为圆O的内接四边形，∴∠A+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝140°，故选：D．7．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．75° B．70° C．65° D．60°【解答】解：由旋转的性质可知，△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，∠ECD＝∠BCA＝30°，∴∠DAC＝∠ADC＝75°，故选：A．8．（2分）下面三个问题中都有两个变量y与x：①小清去香山观赏红叶，他登顶所用的时间ymin与平均速度xm/min；②用绳子围成周长为10m的矩形，矩形的一边长xm与它的面积ym2；③正方形边框的边长xcm与面积ycm2；其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可用如图所示的函数图象表示的有（）A．① B．② C．③ D．②③【解答】解：①设小清去香山观赏红叶登顶的路程为s（s为常数），则，∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故①不符合题意；②用绳子围成周长为10m的矩形，矩形的面积ym2与矩形的一边长xm之间的函数关系为，为二次函数关系，故②符合题意；③正方形的面积ycm2与它的边长xcm的关系式为y＝x2，∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故③不符合题意；故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠3．【解答】解：根据题意得x﹣3≠0，解得x≠3，故答案为：x≠3．10．（2分）若点A（5，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（﹣5，﹣5）．【解答】解：若点A（5，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（﹣5，﹣5）．故答案为：（﹣5，﹣5）．11．（2分）若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a＜b（填“＞”，“＜”或“＝”）．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，∴点（3，b）离直线x＝1远，点点（0，a）离直线x＝1较近，∴a＜b，故答案为：＜．12．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点．若∠APB＝60°，则∠AOP的大小为60°．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴OP平分∠APB，OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°．故答案为：60°．13．（2分）已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当x＞1时，y随x的增大而减小．请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：y＝﹣x2+2x（答案不唯一）．【解答】解：∵当x＞1时，y随x的增大而减小，∴抛物线方程中的二次项系数a＜0，对称轴是直线．∵图象过原点，∴抛物线方程中的常数项c＝0符合题意．∴答案不唯一，如：y＝﹣x2+2x，故答案为：y＝﹣x2+2x（答案不唯一）．14．（2分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交弧AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝8cm，CD＝2cm，则轮子的半径为5cm．【解答】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，，根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣2）2+42＝OB2，解得：OB＝5；故轮子的半径为5cm，故答案为：5．15．（2分）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为1．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∵AB＝3，AC＝5，∴BC＝＝＝4，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，∴△EAF∽△BCF，∵＝，∴，∴，∴AE＝1，故答案为：1．16．（2分）从正整数1，2，3，…，15中，选出k组数，满足：①每组2个数，且这2个数不相同；②任意两组都不含有相同的数；③任意两组的数的和互不相同，且都不超过15．（1）若k＝2，请写出一种选取方案：第1组：1，2，第2组：3，4；（2）k的最大值为5．【解答】解：（1）若k＝2，选出2组数，第一组为：1，2；第二组为：3，4，∵1，2，3，4互不相同，互不相等，且1+2＝3＜15，3+4＝7＜15，∴第一组为：1，2；第二组为：3，4，符合题意，故答案为：1，2；3，4；（答案不唯一）．（2）若k取最大值，方案如下：①1，14，1+14＝15，②2，12，2+12＝14＜15，③3，10，3+10＝13＜15，④4，8，4+8＝12＜15，⑤5，6，5+6＝11＜15，∴k的最大值为5，故答案为：5．三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18-21题每题5分，第22~26题每题6分，第27、28题每题7分）17．（4分）解方程：x2﹣6x+8＝0．【解答】解：x2﹣6x+8＝0（x﹣2）（x﹣4）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，∴x1＝2x2＝4．18．（5分）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及圆上一点A．求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点．作法：如图2，①连接OA并延长到点C；②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线OA上方）；③以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；④连接CD并延长，交⊙D于点B，作直线AB．直线AB就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接AD．∵CD＝AD∴点C在⊙D上，∴CB是⊙D的直径．∴∠BAC＝90°．（直径所对的圆周角是90°）∴AB⊥AC．∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．（过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线）【解答】证明：如图：连接AD，∵CD＝AD∴点C在⊙D上，∴CB是⊙D的直径．∴∠BAC＝90°（直径所对的圆周角是90°），∴AB⊥AC，∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线，（过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线），故答案为：CD，∠BAC，直径所对的圆周角是90°，OA，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线．19．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝34°．则∠BAF的度数为62°；（2）若AC＝12，BC＝9，求AF的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝34°，∴∠ABC＝56°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF＝∠ABC＝56°，AB＝BF，∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣56°）＝62°；故答案为：62°；（2）∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴AB＝15，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE＝BC＝9，EF＝AC＝12，∴AE＝AB﹣BE＝15﹣9＝6，∴AF＝＝＝6．20．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）将y＝x2+2x﹣3写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标；（2）当﹣3＜x＜0时，直接写出函数值y的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y＝n有两个交点A，B，若AB＞6，直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则得顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）∵对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，∴当x≤﹣1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，∴当x＝﹣1时，y最小值＝﹣4，当x＝﹣3时，y最大值＝0，∴当﹣3＜x＜0时，函数y的取值范围为﹣4≤y＜0．（3）设二次函数的图象与直线y＝n有两个交点A，B的横坐标为x1，x2，则x1，x2为x2+2x﹣3＝n的两个解，即x2+2x﹣3﹣n＝0∴x1+x2＝﹣2，x1⋅x2＝﹣3﹣n，∴，即：，∴16+4n＞36，解得：n＞5．21．（5分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A志愿者被选中”是随机事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．【解答】解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，∴A，B两名志愿者同时被选中的概率为＝．22．（6分）已知二次函数y＝x2+ax﹣a﹣1．（1）求证：无论a为任何非零实数，此抛物线与x轴总有交点；（2）若此抛物线与x轴两个交点之间距离等于6，求a的值．【解答】（1）证明：令y＝0，得x2+ax﹣a﹣1＝0，∵Δ＝a2﹣4（﹣a﹣1）＝a2+4a+4＝（a+2）2≥0，∴无论a为任何非零实数，此抛物线与x轴总有交点；（2）解：设二次函数图象与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2为方程x2+ax﹣a﹣1＝0的两个解，∴x1+x2＝﹣a，x1⋅x2＝﹣a﹣1，则：二次函数与x轴两交点的距离|x1﹣x2|＝＝＝6，即：＝＝6，∴（a+2）2＝36，解得：a＝4或a＝﹣8．23．（6分）如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE＝6，延长DE到A，使得EA＝，直线AC与半圆交于B，C两点，且∠DAC＝45°．（1）求弦BC的长；（2）求△AOC的面积．【解答】解：（1）过点O作OM⊥BC于M，如图，则BM＝CM，∵直径，，∴，，∵∠DAC＝45°，则∠AOM＝45°，∴OM＝AM，则，∴OM＝4，在Rt△COM中，，∴，∴；（2）由（1）可知：，OM＝AM＝4，∴，∴．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线，且经过点A（2，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于函数y＝mx﹣1（m≠0）的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线，∴，∵函数图象经过点A（2，2），∴，∴b＝1．∴一次函数的表达式为；（2）∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数y＝mx﹣1（m≠0）的值，即：，则，①当时，任意x均能满足不等式，故符合题意，②当时，，即1﹣2m＜0，则的解集为：，与x＞﹣2矛盾，不符合题意，③当时，，即1﹣2m＞0，则的解集为：，∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，∴，即，∴﹣2﹣4m≤0，即：，由于m≠0，∴m的取值范围为．25．（6分）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE．∴∠CBD＝∠BDE．∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD＝180°，∴∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°．∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD＝AD＝4，AB＝BC．∵DE＝5，∴，EF＝DE＝5．∵∠CBD＝∠BDE，∴BE＝DE＝5．∴BF＝BE+EF＝10，BC＝BE+EC＝8．∴AB＝8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴．∴ME＝4．∴DM＝DE﹣EM＝1．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；（3）如果A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）三点均在抛物线y＝ax2﹣2ax+4上，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+4＝a（x﹣1）2﹣a+4，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4﹣a）；（2）∵抛物线的顶点恰好在x轴上，∴方程ax2﹣2ax+4＝0有两个相等的根，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×4＝0，解得a＝4或a＝0（不符合题意，舍去），∴抛物线的表达式为y＝4x2﹣8x+4；（3）∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵A（m﹣1，y1）、B（m，y2）、C（m+2，y3）为该抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴，解得0＜m＜．∴m的取值范围是0＜m＜．27．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA﹣PB＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）补全图形如图1．（2）△CDE为等边三角形，证明如下：延长BC与DE交于F，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，①∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，∴AD＝AB＝AC，∠BAD＝60°，∴∠ACD＝∠ADC，②∵四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝360°．∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC＝300°，③∴由①②③，得∠ACB+∠ACD＝150°，即∠BCD＝150°，∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝30°，∵点E与点D关于直线BC对称，∴∠ECF＝∠DCF＝30°，DC＝CE，∴∠DCE＝60°．∴△DCE是等边三角形；（3）存在，作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，证明：延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，由（2）可知，∠PCD＝180°﹣∠DCE＝120°，∠PCQ＝∠DCE＝60°，∠PCG＝∠FCE＝30°，∴∠CPG＝90°﹣∠PCG＝60°，∴∠PQC＝∠CPQ＝∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，∴PC＝CQ，∠APC＝120°﹣∠PCD，①∵AG⊥BC，AC＝AB，∴AG垂直平分BC，∴PB＝PC＝QB＝QC，∴四边形PBQC是菱形，∴PB＝QC，∠PBQ＝∠PCQ＝60°，②∵QB＝QC，∴∠QBC＝∠Q