2022年上海市宝山区建峰附属高中高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x+y>2,

1.若实数满足不等式组卜X-丁46,则3x+）的最小值等于（）

%-”0,

A.4B.5C.6D.7

2.在平面直角坐标系中，已知点A（0,-2）,N（l,0）,若动点M满足命=血，则丽.西的取值范围是

（）

A.[0,2]B.[o,2a]

C.[-2,2]D.[-2&,20]

3.在平行六面体A8CO—44GR中，M为4G与的交点，若丽==则与丽相等的向

量是（）

1-1,-1一17-

C.-u—b+cD.——Q+—>+C

2222

4.若“X）是定义域为R的奇函数，且/（x+2）=—/（力，则

A./（x）的值域为RB.“X）为周期函数，且6为其一个周期

C./（x）的图像关于x=2对称D.函数“X）的零点有无穷多个

5.三棱锥S—ABC的各个顶点都在求。的表面上，且AABC是等边三角形，底面ABC,SA=4,AB=6,

若点。在线段斜上，且AD=2SO,则过点。的平面截球。所得截面的最小面积为（）

A.34B.4万C.8万D.13万

6.已知函数/(x)=(lnor—1乂丁+招一4),若x>0时，〃x)NO恒成立，则实数。的值为()

_ee

C./•D.[•

\le—2\J4-e

7.等腰直角三角形他E的斜边A3为正四面体ABQD侧棱,直角边AE绕斜边48旋转，则在旋转的过程中，有下

列说法:

(1)四面体E-8C。的体积有最大值和最小值；

(2)存在某个位置，使得

(3)设二面角。-E的平面角为。，则82NIME；

(4)AE的中点M与A5的中点N连线交平面BCD于点P,则点尸的轨迹为椭圆.

其中，正确说法的个数是()

A.1B.2C.3D.4

8.用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1,3,5中有且仅有两个数

字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是()

A.48B.60C.72D.120

9.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排

木工工作，则不同的安排方法共有()

A.12种B.18种C.24种D.64种

10.若a=k)g23,b=log47,c=0.74,则实数a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

ln(2-x),%,1,,,

11.已知函数/(x)={2,，若/(x)-公+a.O恒成立，则实数a的取值范围是()

-x+l,x>1,11

A.一;』B.[0,1]C.[l,+oo)D.[0,2]

12.已知函数/(x)=《-x(a>0),若函数y=/(x)的图象恒在x轴的上方，则实数”的取值范围为()

A.,+°°jB・(°,e)C.(e，+8)D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖.甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是

22

14.已知产为椭圆上+上■=1上的一个动点，A(-2,l),B(2,-l),设直线AP和BP分别与直线x=4交于M，N

82

两点，若AA族与AMNP的面积相等，则线段OP的长为.

15.若函数/(x)=sin2x+cos2x在［0,-］和［3也汨上均单调递增，则实数〃?的取值范围为_______.

2

16.记S“为数列｛%｝的前〃项和.若a.+S,=32(〃eN*),贝！|S5=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知。，"VxeR,不等式|x—11—|x—2区a+b+c恒成立.

(1)求证:"+h2+c2>-

3

(2)求证:+/2+J/+C.2+Jc.2+&22血.

18.(12分)如图，在直三棱柱A8C-A1&G中，ZABC=90°,AB=AAitM,N分别是AC,81G的中点.求证：

(1)MN〃平面A581A1；

(2)AN1.A1B.

19.(12分)已知产是抛物线C：y2=2〃x(〃>0)的焦点，点A在。上，A到丁轴的距离比IA尸I小L

(1)求。的方程；

(2)设直线Af与。交于另一点8,M为的中点，点。在x轴上，.若|。知|="，求直线AE的

斜率.

22x=2+t,

20.(12分)已知曲线6：?+5=1,直线/：<cC。为参数）.

"2—2/,

(I)写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程;

(II)过曲线C上任意一点P作与/夹角为30。的直线，交/于点A,1PH的最大值与最小值.

21.(12分)已知函数/(x)=/一版+ainx(a>0,be/?).

⑴设/=a+2,若/(设存在两个极值点再,x2,且后一百>1，求证：|『&)一/(9)|>3—41n2；

(2)设g(x)=4G),g(x)在U,e］不单调，且2b+1W4e恒成立，求”的取值范围.(e为自然对数的底数).

a

22.(10分)已知函数/(x)=——GatbAs•inx+cosx,且/(0)=T,/=1.

(1)求/(x)的解析式;

(2)已知g(x)=f—2x+m—3(1</〃W4),若对任意的斗€［0,兀］,总存在々使得/(xj=g5)成立,

求加的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求，的最小值.

【详解】

'x+y>2

解：作出实数x,)‘满足不等式组,3x-yK6表示的平面区域(如图示：阴影部分)

x-y>0

x+y-2-0

由*得41,1),

%—y=0

由z=3x+y得y=-3x+z,平移y=-3x,

易知过点A时直线在)，上截距最小，

所以4向,=3xl+l=4.

故选：A.

本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题.

2.D

【解析】

设出M的坐标为(x，y),依据题目条件，求出点M的轨迹方程Y+3-2)2=8,

写出点”的参数方程，则两.丽=20cos6,根据余弦函数自身的范围，可求得丽・的结果.

【详解】

设M(x,y),则

,惴S故-2)

...&2q)2

J-+△

X，+(y+2>-2(x2+y2)

...f+(y_2)2=8为点M的轨迹方程

X=2垃cosS

.••点M的参数方程为L(。为参数)

y=2+2,2sin0

则由向量的坐标表达式有：

丽・丽二20cos6

又：cos。e[-1,1]

:.OMON=20cosQe[-272,272]

故选：D

【点睛】

考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,

属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法

3.D

【解析】

根据空间向量的线性运算，用点瓦工作基底表示BM即可得解.

【详解】

根据空间向量的线性运算可知

BM=BB[+B^M

—.1——.

…+产

=丽+;(病+刎)

=和+;(—通+叫

因为AB=a,AD=A4,=c,

则丽+；卜丽+网

1-17一

=——a+—b+c

22

——1-1--

即BM=——a+—b+c,

22

故选：D.

【点睛】

本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.

4.D

【解析】

运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.

【详解】

“X)是定义域为R的奇函数，则/(一幻=一)(幻，/(。)=0,

又/(x+2)=/(x+4)=-/(x+2)=又x),

即是以4为周期的函数，f(4k)=/(0)=0优GZ),

所以函数/(x)的零点有无穷多个；

因为/(x+2)=-/(x),/[(x+l)+l]=/(-x),令f=l+x,则为(f+l)=/(l-f),

即/(x+l)=/(l-x),所以/(x)的图象关于x=l对称，

由题意无法求出“X)的值域，

所以本题答案为D.

【点睛】

本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.

5.A

【解析】

由题意画出图形，求出三棱锥S-A5C的外接球的半径，再求出外接球球心到。的距离，利用勾股定理求得过点。的

平面截球。所得截面圆的最小半径，则答案可求.

【详解】

如图，设三角形A5C外接圆的圆心为G,贝(]外接圆半径AG=gx3百=2g,

设三棱锥S-ABC的外接球的球心为0,则外接球的半径R=J(2可+22=4

取SA中点E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,

所以0D=J(2可+『=V13.

则过点D的平面截球0所得截面圆的最小半径为卜一(呵=G

所以过点D的平面截球。所得截面的最小面积为乃.(后y=3万

故选：A

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.

6.D

【解析】

通过分析函数y=lnox-l(x>0)与>=丁+狈_4(》>0)的图象，得到两函数必须有相同的零点f,解方程组

Inat—1=0

片+—即得解•

因为x>0时，20恒成立,

于是两函数必须有相同的零点r,

Inar-1=0

所以《

a2+at-4=Q

0=4一产=e.

解得4=-^

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

7.C

【解析】

解：对于（1）,当CDJ_平面ABE,且E在A3的右上方时，E到平面8C。的距离最大，当CQJ_平面ABE,且E在

AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，

，四面体E-8C。的体积有最大值和最小值，故（1）正确；

对于（2）,连接OE,若存在某个位置，使得AEJ_8O,又AE_L8E,则平面8OE,可得AE_LZ）E,进一步可得

AE=DE,此时E-A5O为正三棱锥，故（2）正确：

对于（3）,取AB中点0,连接OO,EO,则/D0E为二面角D-AB-E的平面角，为仇

直角边AE绕斜边A5旋转，则在旋转的过程中，0S[O,兀），

JT

ZDAEG[—,7t）,所以ONNZME不成立.（3）不正确；

对于（4）AE的中点M与A3的中点N连线交平面8co于点P,尸到BC的距离为：（IP-BC,

IDDI

因为十所以点尸的轨迹为椭圆.（4）正确.

中-BC

故选：C.

点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需

要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.

8.A

【解析】

对数字2分类讨论，结合数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论

【详解】

数字2出现在第2位时，数字1,3,5中相邻的数字出现在第3,4位或者4,5位，

共有C；尺尺=12个

数字2出现在第4位时，同理也有12个

数字2出现在第3位时，数字1,3,5中相邻的数字出现在第1,2位或者4,5位,

共有C；C；可用=24个

故满足条件的不同的五位数的个数是48个

故选A

【点睛】

本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

9.C

【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,

将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，分2步进行分析：

①，将4人分成3组，有=6种分法；

②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，

将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有隹=2种情况，

此时有2x2=4种情况，

则有6x4=24种不同的安排方法；

故选：C.

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

10.A

【解析】

将。化成以4为底的对数，即可判断。力的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出4c与1的大小关

系，从而可判断三者的大小关系.

【详解】

依题意，由对数函数的性质可得a=log23=log49>b=log47.

4

又因为c=0.7<0.7°=1=log44<log47=b,故a>b>c.

故选:A.

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相

同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小;

若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.

11.D

【解析】

由|/(刈-ox+a.O恒成立，等价于y="(x)|的图像在y=a(x-l)的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用

数形结合的方法求解答案.

【详解】

,।fln(2一天)，刀,1,,,八.

因为|/(X)|=2,,由恒成立，分别作出y=l/(x)l及y=a(x—l)的图象，由图知，当。<0

[x-1,X>1,

时，不符合题意，只须考虑。一0的情形，当y=a(x-l)与y=|/(x)|(x..l)图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此

时a=*2-l)'|、T=2,故既以2.

【点睛】

此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.

12.B

【解析】

XXX

函数y=/(x)的图象恒在X轴的上方，J—%>0在(0,+8)上恒成立.即幺〉X,即函数y=J的图象在直线y=x

aaa

上方，先求出两者相切时”的值，然后根据“变化时，函数y=C的变化趋势，从而得”的范围.

a

【详解】

由题女—x>0在(0,+8)上恒成立.即《〉x,

aa

y=—的图象永远在y=X的上方，

a

x

设>=J与尸x的切点（Xo,%）,则J“,解得，=e,

ae厢

-=xo

Ia

易知a越小，y=J图象越靠上，所以0<a<e.

a

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒

成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.—

3

【解析】

利用排列组合公式进行计算，再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可.

【详解】

解：3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，

甲、乙两人同时各抽取1张奖券，

则两人同时抽取两张共有：种排法

排除特等奖外两人选两张共有：C；A；=2种排法.

故两人都未抽得特等奖的概率是：2=：=：

63

故答案为：:

3

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率公式的应用，是基础题.

14.叵

4

【解析】

先设P点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出

来，从而可求得点P的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得10Pl.

【详解】

如图，设POo，%），-2aW20,不*±2,

由SMBP=5巾.，得g|PA||P耶inZAPB=；|MH|NHsinNMPN,

\PA\|PN||x+2|14-AQI5

由sinZAP8=smZM/WN°得丽=网'，局0=昌'解得/=于

227

又月在椭圆上，，至r+%v=1,乂=之，

8216

，|。「|=&+4=J（|）2+]=•

故答案为：叵.

本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点

的横坐标表示.

15.［丝马

244

【解析】

化简函数，求出“X）在［0,句上的单调递增区间，然后根据“X）在0,y和［3W,司上均单调递增，列出不等式求

解即可.

【详解】

由/（x）=sin2x+cos2x=41sin（2x+乙）知，

当xe［O,句时,在［0,£］和•，乃上单调递增,

88

772

•♦•/（X）在0,-和［3加,可上均单调递增,

m71

—<—

2-8

「5乃

3m>——

8

5%,,71

----<7篦<—9

244

5万71

•••m的取值范围为:24'7'

5万乃

故答案为:

24J7•

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于，〃的方程组，属中档题.

16.1

【解析】

由已知数列递推式可得数列｛4｝是以16为首项，以;为公比的等比数列，再由等比数列的前〃项和公式求解.

【详解】

由an+=32,得2q=32,：.ax=16.

且4-+S“_|=32(〃..2),

则凡一4“_1+S“—S,I=0,即?=5（"-2）.

Un-\乙

数列｛4｝是以16为首项，以;为公比的等比数列,

16(—)

则$5=——看一=31.

1--

2

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前〃项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)先根据绝对值不等式求得lx-2|的最大值，从而得到a+h+c21,再利用基本不等式进行证明；

(2)利用基本不等式/+2a〃变形得Y+〃之仁生，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个

2

不等式，再进行不等式相加，即可得答案.

【详解】

(1)V|x—11—|x—21<|x—1—x+21=1,a+b+c^.\.

Va2+b2>2ab»b2+c2>2bc，c2+a2>2ac，

2a2+2b2+2c2>2ah+2hc+lac，

：•3/+3b~+3cL>+b~++2ab+2bc+2cle=(ci+。+21,

Aa2+b2+c2>-.

3

(2),：a1+b2>2ab>2(a2+b2)>a2+2ah+b2=(a+b)2,

即/+/n”，匚两边开平方得证十八当a+b[=也(a+b)•

同理可得2也S+c)，\lc2+a2>—(c+a)-

22

三式相加，得1a2+护+扬+。2+y/c2+cr>V2(a+b+c)

【点睛】

本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和

推理论证能力.

18.(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(1)利用平行四边形的方法，证明MN//平面A6A4.

(2)通过证明48,平面AgN,由此证得A8LAN.

【详解】

(D设E是中点，连接由于“是AC中点，所以ME〃BC且MN=^BC,而与N//BC且

BN=；BC,所以ME与4N平行且相等，所以四边形ME与N是平行四边形，所以MN//4E,由于MNN平

面ABBA，4Eu平面ABB|A，所以MV//平面ABB0.

(2)连接ABt，由于直三棱柱中BC而BCLAB,BBiCAB=B,所以8C_L平面ABB^，所以BC_L,

由于BC//BC,所以4G•由于四边形是矩形且AB=AA，所以四边形ABqA是正方形，所以

43_14片,由于481门瓦。|=旦,所以48_£平面4477,所以4BJ.AN.

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19.(1)/=以(2)±72

【解析】

(1)由抛物线定义可知5=1,解得〃=2,故抛物线。的方程为＞2=4%；

(炉+22、

⑵设直线AAy=Z(%-1),联立V=4x,利用韦达定理算出A3的中点M—j-,-,又所以

\KKJ

士,4-,2if-+21

直线DM的方程为.v—f=-7x——)

kk\k~I

求出+城,0),利用|QM|=祈求解即可.

【详解】

(1)设C的准线为/,过A作A"_L/于“，则由抛物线定义，得|A尸|=|A"|,

因为A到户的距离比到)'轴的距离大1,所以5=1,解得〃=2,

所以。的方程为：/=4x

(2)由题意，设直线AE方程为y=%(x-i),

>,="（x-1）,消去y,得上2/一（2父+4）x+左2=0,

由<

y=4x,''

设A（%,y）,3（积%），则F+々=2%/,

4

所以y+%=%（玉+々）-2%=%，

K

k2+22）

又因为“为AB的中点，点M的坐标为

2

直线DM的方程为y-7

k

令y=o,得x=3+1，点。的坐标为(3+1,0

所以[DM]=’2?+(：—^4+-A/6>

解得公=2,所以直线Ab的斜率为士近.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点,

斜率问题时，可采用韦达定理或“点差法”求解.

纵⑴x=2"cosa0,2X+k6=。；（II）最大值为22停^/5,最小值为3尺.

【解析】

xvx=2cos0,

试题分析：(1)由椭圆的标准方程设jcos%=si®得椭圆的参数方程为｛—sin"消去参数,即得直线的

普通方程为2工+丁-6=0；(11)关键是处理好归山与角30。的关系.过点P作与/垂直的直线，垂足为H,则在APH4

中，尸”=d=,故将归山的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点P(2cos8,3sin6)到定直线2x+y-6=0

的最大值与最小值问题处理.

x=2cos0

试题解析：(I)曲线C的参数方程为「..二’(6为参数).直线/的普通方程为2x+y-6=o.

y=3sin0,

(II)曲线C上任意一点P(2cos0,3sin0)到/的距离为14cose+3sin6-6].则

5

|PA|=.：()o=¥|5sin(6+a)_q.其中a为锐角，且tana=g

当sin(8+a)=-l时，|/科取到最大值，最大值为粤1

当sin(6+a)=l时，|尸4|取到最小值，最小值为卓.

【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式：3、解直角三角形.

e2-Je，-8ee~+Je，-8e

21.(1)证明见解析；(2)

，4

【解析】

2

⑴先求出了'(x),又由归一百＞1可判断出/(X)在句上单调递减，故|/(玉)一〃/)卜。一al吟-1.令

t*＞2,记〃«)=/--利用导数求出〃(/)的最小值即可；

(2)由g(x)在［l,e］上不单调转化为g'(x)=0在(l,e)上有解，可得％=主上生*,令

X

尸(x)=3x+"詈+：,分类讨论求尸(x)的最大值，再求解*%)向W4e即可.

【详解】

(1)已知〃=。+2(。＞0),/(x)=X2一fex+alnx,

f'(x)=2x-b+-=(D(2…),

XX

由r(x)=o可得西=1,%2=-|,

又由后一看|＞1，知］＞2

令f=]>2,记〃。)=r-2Hnr-l,则〃'(