2021年中考数学人教版三轮冲刺复习：圆切线与相似（二）

2021年中考数学人教版三轮冲刺复习:

圆切线与相似(二)

1.如图1,已知“8是。。的直径，是。。的弦，点8是弧8的中点.

(1)求证：ABVCD;

(2)如图2,点E在弧4?上，连接/£DE,CE,CF与直径Z8交于点尸，若2FAE

=2AFCD,求证：CF=DE\

(3)如图3,在(2)问的条件下，连接力C,ORLDE千R、点G在/C上，且/力厂G

2.如图，已知。。为△S6C的外接圆，8c为。。的直径，作射线8尸，使得必平分/

CBF,过点Z作4918尸于点。

(1)求证：。工为。。的切线；

(2)若6。=1,tan//!8O=2,求。。的半径.

3.如图，为。。的直径，点C在。。上，点。为线段必的延长线上一点，连接。C,

过点。作OEII/C交。。延长线于点E,交6c于点F,且满足/B=/.E.

(1)求证：。。是。。的切线；

(2)若48=8,AC=4,求斤的长.

4.如图，ZC是QO的直径，点8是。。上一点，且8。=34,过点8作交.DC

的延长线于点E.

(1)求证：8E是。。的切线；

(2)若BE=2CE,当4?=6时，求8。的长.

5.如图，△/6C中，BC=AC=\Q,以8c为直径作。。交S8于点。，交ZC于点G;

OEL/C于点尸，交C8的延长线于点工

(1)求证：直线&是OO的切线；

(2)若sinNE=£，求C尸的值•

0

D,

G

6.已知为OO的直径，。为OO上一动点，连接SC,BC,在m的延长线上取一点

D,连接8,使8=C8

(1)如图】，^AC=AD,求证：8是。。的切线；

(2)如图2,延长。C交。。于点£连接力£

/)若。。的直径为万，Sin8=嚅，求力。的长；

//)若CD=2CE,求cos8的值.

7.如图1,48是。。的直径，点尸在。。上，且入=户8,点例是。。外一点，与

。。相切于点B,连接OM,过点工作ZC//O例交。。于点C,连接BC交于点

D.

(1)填空：/4C;求证：是。。的切线；

(2)若。。=9,。例=16,连接QC,求sin/SPC的值；

24

(3)如图2,在(2)的条件下，延长08至M使夕7=今，在。。上找一点Q,使

b

得M升的值最小，请直接写出其最小值为__________________.

b

p

8.△/WC内接于OO,8ZZL/IC于点。，交。。于点£连接4F,£AEB=2(ABE.

(1)如图1,求证：/4C=BC-

(2)如图2,作射线CO,交线段8。于点尸，求证：DE=DF;

(3)如图3,在(2)的条件下，连接80并延长，交OO于点G,连接4G,交弦BE

于点”连接EG、CH,若EG=DH,53=15,求线段C〃的长.

9.AB,片。为0。的弦，AB^AC.

(1)如图(1),求证：N员4。=Nd。；

(2)如图(2),6。为。O的弦，过点。作04的垂线交。。于点£连接CE求证:

BD=CE-

(3)如图(3),在(2)的条件下，连接8交工6于点F,连接OF,AE,若。尸1

AB,尸。=5,5A^=30,求的长.

DD

10.如图，已知为。。的直径，C为。。上一点，8G与。。相切于点8交/C的延

长线于点。(点。在线段6G上)，SC=8,tan/8OC=得.

O

(1)求。。的直径；

(2)当OG="|时，过G作GEIIAD,交员4的延长线于点E,证明GE与OO相切.

11.如图1,在△/8C中，AB=AC,。。是△/SC的外接圆，过C作CO//Z8,CD交

。。于D,连接力。交8c于点E,延长OC至点F,使CF=AC,连接AF.

(1)求证：4尸是。。的切线；

(2)求证：A伊-BR=BE，EC;

(3)如图2,若点G是的内心，BOBE=64、求8G的长.

12.如图所示，已知△S8C是等边三角形，以为直径作。O,交8c边于点。交AB

边于点£作。ELZ8垂足为点尸.

(1)求证：。尸是O。的切线；

(2)若△48C的边长为2,求。尸的长度.

13.如图，在Rta/SC中，/C=90°,/。平分NMC,交S8于点二MADE

的外接圆。。与边相交于点F,过点尸作力8的垂线交片。于户，交48于例，交。O

于点G,连接GE.

(1)求证：8c是OO的切线；

(2)若sin/G=&②=16,求O。的直径.

b

14.如图，在△/I8C中，AB=AC,以Z8为直径的。。分别交工C,8c于点。，E,点F

在工。的延长线上，连接6尸，(BAC=2(CBF.

(1)求证：直线8厂是。。的切线；

(2)若04=67=3,求△SC厂的面积.

15.问题：如图1,。。中，S6是直径，4C=8C,点。是劣弧8c上任一点(不与点8、

C重合)，求证：包铲为定值.

思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明△/C虑△88.按思路完成下列证

明过程.

证明：在片。上截取点£使/E=8。，连接C£

运用：如图2,在平面直角坐标系中，OO与x轴相切于点片(3,0),与y轴相交于

B、C两点，且8c=8,连接48、O}B.

(1)。8的长为

(2)如图3,过/、s两点作oa与V轴的负半轴交于点例，与。出的延长线交于点

N,连接力用、MN,当。Q的大小变化时，问员W-6N的值是否变化，为什么？如果

不变，请求出8/W-8N的值.

参考答案

1.证明：⑴如图1,连接OC,OD,

.•.8是弧8的中点，

'1-CD=BE>

，NCOB=ZDOB,

■1,OC=OD,

081CD,

即ABLCD;

解：（2）如图2连接ZC,㈤，4。，

设/FCD=x,

•：/_FAE=2（FCD、

Z_FAE=2x,

又/_EAD=/_FCD=x、

ZDAB=NFAE—/_EAD=x,

•・・48是直径，ACLCD,

••.4?垂直平分8,

FC-FD,ZCAB-ZDAB-x,

/.ZFCD=ZFDC—x,

・•.NCAD=ZDFE=2/_FCD=2x,

又（DEF=（CAD=2x,

.・.ZDFE=ZDEF,

:.DF=DE、

•：DF=CF、

.・.CF=DE;

解：⑶如图3,连接4?交々于。，过尸作/W厂交力。于用,

则/例/7?=90°,

设CG=2a,

垂直平分8,

.t.AC=AD-2ct+5,

/_ADC=/_ACD=9QQ-x,

ZADF=ZADC-ZFDC=90°-2x,

:./_FMD=90°-ZADF=2%,

ZMFA=ZFMD-ZDAB=2x-x=x,

/MFA—/_DAB—xy

:.AM=MF,

AM-MF-m,贝ijZ?/W=2a+5-/7?,

•/ZACF=ZACD-ZFCD=90°-2x,

又//尸G=45°,

/_CGF-/_CAB^-ZAFG=45°+x,

ZCFG=180°-ZCGF-ZACF=45°+x,

/.ZCGF=ZCFG,

CG=CF=2(7,

DF—DE=2a

一:D心D%M户,

.-.m2+4a2=(2O+5-/77)20,

■：/_AEC=/.ADC-2x,

LAFE=(CFB=90°-lx,

AAFE=AAEC,

:.AF=AE,

..乂在)的中垂线上，

同理，。在宁的中垂线上，

所以是&的中垂线，

:.FQ=EQ=^=2,

•••SAMFD4MD,FQ=1HF，DF,

:.2am=3(2牛5-rri)②，

联立①②得，

16a2-10(7-75=0,

・5战15

.・a巧或不

•/a>0,

a=—,m=—,

24

•：ORIDE,

15

OE=qDE=a=万，

■■DG=7DE2-EG2=V25-9=4，

连接如图4,

OA=OE,

ZOEA=ZBAE-2x,

・..ZOED=Z/4FO-ZCED-ZOEA=90-x+2x-2x=90°-x,

:./_EOR=90°一(OER=x、

在RtZXOG。中,

DG二4二1

ton/OCT=tanx=CG=3+5'2

又tanZEOR=tanx=器,，

:.OR=2ER=5.

图4

A

图3

图2

图1

2.(1)证明：连接oa

••.8C为。。的直径，BA平分2CBF,ADLBF,

，NZ06=/MC=9O°,/_DBA=/_CBA\

-：/_OAC/.OCA,

ZDAO—ZDAB+/_BAO=/_BAO^/_OAC—90°,

.・・。/为。。的切线.

(2)解：'：BD=],tan//l5£?=2,

:.AD=2,

/45=VAD2+BD2=V22+12=脏'

.*.cosZDBA=^-\

5

•・•/IS为。。的直径，

:.^ACB=90°,

.../。力6/8=90°.

•.28=N£

.•./6NC4O=90°,

---OA=OC,

/_CAO^/.ACO,

，/日N48=90°,

OEIIAC,

ZACD=ZE,

AAC!>/.ACO=9GQ,

，/。8=90°,

.1.OCLDE,

是o。的切线；

(2)解：•.Y8为。。的直径，

.•.N"6=90°,

OEIIAC,

：.£OFB=£ACB=90",

AB—8,AC=4,

•1•BC=VAB2-AC2=V82-42=4V3.

■：ACIIOF,OA=OB,

：.CF=BF=》C=2M，

B=/_E,/_ACB=ZCFE,

：AACBsXCFE、

,ACBC

"CF"EE'

,4_W3

-2«=EF，

:.EF=6.

4.(1)证明：连接OB、OD,如图1所示：

■：AB=DB,AO=DO,60=8。，

:.^ABO^^DBO(SSS),

；.2ABO=ZDBO,

*.*OA=OB、ZBDC—ZBACy

ZABO-ZBAC=ZBDC,

ZDBO=ZBDC,

，OBIIDE,

'：BEVDC,

BE]OB,

・・.8万是。。的切线；

(2)解：延长80交工。于点尸，如图2所示:

由(1)可知，2ABO=2DBO,

,:AB=BD、

：.BFLAD,AF=DF=^AD=3,

■：ZBAF=ZBCE,LAFB=£E=9b,BE=2CE,

XABFsXCBE,

.BFBEQ

AFCE

BF=2AF=&

在白△/8尸中，由勾股定理得：AB=VAF2+BF2=732+62=3^5，

.e.BD=AB—

5.(1)证明：连接

\'BC=ACi

/ABC=/A,

■：BO=DO,

/_ABC=ABDO,

.1.Z/l=ZBDO,

.'.DOUAC,

又.：EFIAC、

AEDO=AEFC=9GQ,

:.OD]_EF,

是。。半径，

•••)是OO的切线；

(2)解：•.•8C=10,

OD—OC—5

在RtzXQO中，

••・sin/E端小

■W0E专

，EC=0E£C差+5岑,

■：ODIIAC,

:.4EDOSXEFC,

,ODOE

"FC"EC'

25

,5~T

"FC-45'

V

:.FC=9.

Z5=ZD,

'：AC=AD,

/_D=/.ACD,

AB=/.ACD,

■：OA=OC,

/.BAC=/.OCA,

.•./8为。。的直径，

:.^ACB=90°,

.-.Z^+Z5/40=90°,

OC4=90°,

08=90°,

0clCD,

・・.CO是。。的切线；

解：（2）/）连接OC,

■：^ACB=90°,/45=J10.sin8=^S,

10

在Rt^/ICS中，AC=AB»3\ryB,

•,."c=VI511

22=22=31

在"△"C8中，BC=7AB-AC7（Vio）-i

■1•OB=CO,

NOCB=/_B,

,.28=/。，

ZOCB-ZD,

ZCBO=ZDBC,

：.4COBSXDCB、

,OB_BC

一而而

:.C^=OB»BD,

•••/8=万，

:.OA=08=虫2

2_

.-.BD=32x-p==^!^-,

V105

：.AD=BD-AB=4^；

5

//）连接co,

■：CD=2CE,

设CE=k,

.CD=BC=2k,

：.DE=3k,

ZE=Z8,ZOCB-N8=N

：ADA—XCOB,

.AD_DE_3k

"OC"BC"2k'

设。。的半径为乙

：.ADA,

37

.1.BD=A[>AB=尹2r=-^r,

,：XCOBsXDCB,

.OB二BC

"BC"BO"

:.BC^=OB。BD,

（2N）2=rx^r,

BC=2k=迎£

2

V14

•••cos5=BC_2r_V14-

AB=2r=4

7.解：（1）-：ACIIOM,

:ABODSXBAC、

,QDQB1

"AC"AB

:.OD=—AC.

2

连接oc

zOAC=/BOM,zACO=NCOM,

■：OA=OC,

/OAC—ZACO,

ZBOM=ZCOM,

在△OCM与△08例中，

'OC=OB

.ZBOM=ZCOM,

OM=OM

△OCM^£\OBM(5AS);

又•.■例8是。。的切线，

：.AOCM=AOBM=90°,

，用C是。。的切线；

(2)-：MB,〃C是。。的切线，

：.OM1BC,

：.^ODB=^ODC=90°,

■：OCLMC,

.,./。。例=90°,

.1.ZCOM=Z.DCM,

:.XMCD^XCOD、

,ODCD9CD

----=----,即Bn----=----

CDMDCD16

CD=BD=12,

在中，。8=心口2+0口2={122+92=15,

.•.sin//纥=毁旦

OB5

3

:.3\V\Z_APC=sin/48C=y；

(3)如图2,

由(2)知/8=30,OM=25,8例=20,00=08=15,

..QQ.153

,而WT

・•.o例上取点。，使廖皓

（JUb

-.OD=9,。为定点，

•.•空镖《，且/OOQ=NQO用，

OQ0M5

△ODQsXOQW恒成立，

2

.•.求必升抵欣?的值最小，相当于求O6QN最小,

5

当。、Q、M共线时，OQ+QN最小，

:.NG^—MQ=DN,作DH'ON于息H,可得。A=9x2=2，Z?//=9x—=—,

55555

.zu1二272472

555

•••DN=VNH2+DH2=

即■的最小值为写

b5

8.解：（1）证明：该上ABE=m,

/_AEB=2乙ABE,

.・./_AEB=2m,

ZACB=ZAEB=2/77,

•：BD1AD,

:./_BDA=/_BDC=9h,

:〃BAD=9U°-m,/.CBD=90°-2/77,

・・.N/8C=90°-m,

:.乙BAD=(ABC、

=CB\

(2)连接CEOB,如图：

设£OCB=n,

•：OB=OC,

.0.ZOBC-ZOCB—/?,

80c=180。-2n,

:.^BAC=90°-n,

ZABE=n,

ZACE-NABE-n=/_OCB,

而N的二NC4gAC=BC,

:./\FBC^!\EAC{AAS),

/.CF=CE,

•••CDIEF、

・•.DF=DE\

(3)连接/月CG,延长C尸交48于/,过C作CM18G于"，过〃作“K1CG

于珞如图：

・・.8G为直径,

:./_BAH=90°,

:./_EHG=(AHB=/_BAC、

・・.四边形/8CG内接于OO,

:.Z_KGH=/_ABC,

ZEHG=ZKGH,

•：/_HEG=Z.HKG=9b°,HG=GH,

•,AEHSXKGH<AAS),

/.EG=HK,

•「EG=HD,

HK=HD,

・•,CH平分(DCG,

-CLLAB,

:"ACL=2BCL,

:./_FCH=A5°,

由(2)可知，Z^C=90°-2/7,£HCB=450+n,

BH=纥，

:.^BAH^/\CBM{AAS),

CM=AH-BL=AL,

.,.tanZ/5£?=-^-,

设。W=4a,贝iJ8/U=8a

设贝ijOC=。8=8。-/?,

中，cW+oi/uOC2可得z9=3a

4.

.e.tanZ/WOC=tanZBCD--,

3

设8=6力贝ij。尸=34BF=5t,

S&BCF=]5,

：.—»BF»CD=15

2

t—1,

:,AD=4,DH=2,

■-CH=VCD2+DH2=2Vw-

9.解：(1)连接O8、oc,

图1

•••BO=CO,AO=AOyAB=AC,

:./\ABO^!\ACO(SSS),

r.N8/40=/C4O;

(2)点。是圆心，

•1-AD=AE>

■：AB=AC,

•■•BA=CA.

■1-BD=CE>

BD=CE\

(3)连接AD,过点。作。用1/IC于点M,

图2

在△乐?尸和△，!尸中，

•1,ZBFD=ZCAF,ZBDC=ZCAB,

；.4BDM4CAF,

,DFBD

"AF'AC"

由(1)知：/_BAO=/_CAO,AO=AO,AOFA=AOMA=90°,

：.^AOF^/\AOM{ASA),

AF=AMy

-：AB=AC1BD=CE、

由(2)知，XADB9XAEC(SSS),

…$4AEC=S&ADB=30,

,.巫山,AC=AB,

AFAC

,DFDB

"AF"AB'

在和△/比?中，/_OFA=ZOMA,

贝ijBD=DE,

,DFDE

"AF"AB'

'：AF-AM,

,DFJE

•项话，

:.DE=6.

10.解：（1）,•・/8为。。的直径，C为。。上一点,

:.^ACB=90°,

•••8G与。。相切于点8,

:.^ABD=90°,

ABDC+ABAC,N/8C+/&4c=90°,

ZBDC=ZABC,

4

;tan/8DC=±,

3

4

/.tanZ/45C=—.

3

AC=8,

.AC_A

"BC-1'

"BC"I'

BC—6,

•・•由勾股定理得：48=。

・・・。。的直径为10；

(2)过点。作DF1GE于F,过点。作OHLGE于H交工。于M,

GEWAD,

ZG=NBDC、

4.

.'.tanZG=tanZ5DC=—,

3

・,.设DF—4x,FG=3x,

•.3.

，由勾股定理得：(4x)2+(3x)2=尊,

4

解得:x=~2^

DF=4x=2,

GEIIAD,DF1GE,OH1GE,

:.DF=MH=2、OMIAM,

又二。为中点，

OM=—BC=3,

2

.1.OH=5,

又，：。。的直径为10,从而半径r=5,

OH=r,

.•.FG与。。相切.

11.解：（1）如图1,连接04,

图1

■：AB=AC,

•"AB~AC'Z.ACB=Z.B,

:.OALBC,

■：CA=CF,

ZCAF=ZCFA,

■：CDIIAB,

ZBCD=ZB,

AACB=/.BCD,

:.^ACD=ZC//H-Z64=2/CAF,

■：/_ACB=/.BCD,

:.(ACD=2(ACB,

ZCAF=ZACB,

:.AFHBC,

:.OA]_AF,

・••工厂为。。的切线；

(2)-：/_BAD=ABCD=/_ACB,

i\AB〜ACBA,

,AB_BE

'BC'AB'

,.A序=BC»BE=BE[BB-CE)=B^+BE»CE,

：.A"BR=BE・EC；

(3)由(2)知：AB^=BC*BE,

.:B6BE=64,

AB—8,

如图2,连接2G

图2

:BAG=BAD^/_DAG、/_BGA=/_GAC^Z,ACBy

.「点G为内心，

.0./_DAG—/_GAC,

又0/4G=NG4G//C8,/_BAD=/_ACB、

NBAG—/_BGAy

BG-AB=8.

12.(1)证明：如图，连接。。

•1-OD=OC,

ZC=zODC,

•.•△/SC是等边三角形.

B—/_C—60°,

/_ODC,

:.ABHOD,

r.//孙NO。尸=180°,

■：DFLAB,

/_AFD=/_ODF=90。,

FD]OD,

一.•点。在OO上.

・・.OF是。。的切线；

(2)解：•・•△Z8C的边长为2,

OC=1,

在△O0C中，OD=OC,zC=60°

.•.△O0C是等边三角形.

OD—DC—1,

/.BD=BC-DC=1,

DFIAB、

:"DFB=90°,

:./_BDF=30°,

•••BF-|BD-1,

在中，DF2=BD2-BF2=1AM，

44

DF平.

13.解：(1)连接O。，

•：ADLDE,

••/三是。。的直径，即点。在片三上,

又•.・工。是NMC的平分线，

/_CAD—/_BAD,

•：OA=OD,

Z_BAD—/_ADO,

:.CAD=Z.ADO,

:.OD\\AC,

・・.NO08=NC=9O°,

；,OD_LBC,

.•.8。是。。的切线；

(2)\'ODWAC.

NDOB—/EAF,

•/ZG=ZEAF,

/_DOB=ZG,

4

二.sin/008=sin/G=—,

5

4

/.tanZ。。6=ton/G=—,

3

没OD=3k,贝iJ8O=4Zr,OB=