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文档简介
2021年中考数学人教版三轮冲刺复习:
圆切线与相似(二)
1.如图1,已知“8是。。的直径,是。。的弦,点8是弧8的中点.
(1)求证:ABVCD;
(2)如图2,点E在弧4?上,连接/£DE,CE,CF与直径Z8交于点尸,若2FAE
=2AFCD,求证:CF=DE\
(3)如图3,在(2)问的条件下,连接力C,ORLDE千R、点G在/C上,且/力厂G
2.如图,已知。。为△S6C的外接圆,8c为。。的直径,作射线8尸,使得必平分/
CBF,过点Z作4918尸于点。
(1)求证:。工为。。的切线;
(2)若6。=1,tan//!8O=2,求。。的半径.
3.如图,为。。的直径,点C在。。上,点。为线段必的延长线上一点,连接。C,
过点。作OEII/C交。。延长线于点E,交6c于点F,且满足/B=/.E.
(1)求证:。。是。。的切线;
(2)若48=8,AC=4,求斤的长.
4.如图,ZC是QO的直径,点8是。。上一点,且8。=34,过点8作交.DC
的延长线于点E.
(1)求证:8E是。。的切线;
(2)若BE=2CE,当4?=6时,求8。的长.
5.如图,△/6C中,BC=AC=\Q,以8c为直径作。。交S8于点。,交ZC于点G;
OEL/C于点尸,交C8的延长线于点工
(1)求证:直线&是OO的切线;
(2)若sinNE=£,求C尸的值•
0
D,
G
6.已知为OO的直径,。为OO上一动点,连接SC,BC,在m的延长线上取一点
D,连接8,使8=C8
(1)如图】,^AC=AD,求证:8是。。的切线;
(2)如图2,延长。C交。。于点£连接力£
/)若。。的直径为万,Sin8=嚅,求力。的长;
//)若CD=2CE,求cos8的值.
7.如图1,48是。。的直径,点尸在。。上,且入=户8,点例是。。外一点,与
。。相切于点B,连接OM,过点工作ZC//O例交。。于点C,连接BC交于点
D.
(1)填空:/4C;求证:是。。的切线;
(2)若。。=9,。例=16,连接QC,求sin/SPC的值;
24
(3)如图2,在(2)的条件下,延长08至M使夕7=今,在。。上找一点Q,使
b
得M升的值最小,请直接写出其最小值为__________________.
b
p
8.△/WC内接于OO,8ZZL/IC于点。,交。。于点£连接4F,£AEB=2(ABE.
(1)如图1,求证:/4C=BC-
(2)如图2,作射线CO,交线段8。于点尸,求证:DE=DF;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接80并延长,交OO于点G,连接4G,交弦BE
于点”连接EG、CH,若EG=DH,53=15,求线段C〃的长.
9.AB,片。为0。的弦,AB^AC.
(1)如图(1),求证:N员4。=Nd。;
(2)如图(2),6。为。O的弦,过点。作04的垂线交。。于点£连接CE求证:
BD=CE-
(3)如图(3),在(2)的条件下,连接8交工6于点F,连接OF,AE,若。尸1
AB,尸。=5,5A^=30,求的长.
DD
10.如图,已知为。。的直径,C为。。上一点,8G与。。相切于点8交/C的延
长线于点。(点。在线段6G上),SC=8,tan/8OC=得.
O
(1)求。。的直径;
(2)当OG="|时,过G作GEIIAD,交员4的延长线于点E,证明GE与OO相切.
11.如图1,在△/8C中,AB=AC,。。是△/SC的外接圆,过C作CO//Z8,CD交
。。于D,连接力。交8c于点E,延长OC至点F,使CF=AC,连接AF.
(1)求证:4尸是。。的切线;
(2)求证:A伊-BR=BE,EC;
(3)如图2,若点G是的内心,BOBE=64、求8G的长.
12.如图所示,已知△S8C是等边三角形,以为直径作。O,交8c边于点。交AB
边于点£作。ELZ8垂足为点尸.
(1)求证:。尸是O。的切线;
(2)若△48C的边长为2,求。尸的长度.
13.如图,在Rta/SC中,/C=90°,/。平分NMC,交S8于点二MADE
的外接圆。。与边相交于点F,过点尸作力8的垂线交片。于户,交48于例,交。O
于点G,连接GE.
(1)求证:8c是OO的切线;
(2)若sin/G=&②=16,求O。的直径.
b
14.如图,在△/I8C中,AB=AC,以Z8为直径的。。分别交工C,8c于点。,E,点F
在工。的延长线上,连接6尸,(BAC=2(CBF.
(1)求证:直线8厂是。。的切线;
(2)若04=67=3,求△SC厂的面积.
15.问题:如图1,。。中,S6是直径,4C=8C,点。是劣弧8c上任一点(不与点8、
C重合),求证:包铲为定值.
思路:和差倍半问题,可采用截长补短法,先证明△/C虑△88.按思路完成下列证
明过程.
证明:在片。上截取点£使/E=8。,连接C£
运用:如图2,在平面直角坐标系中,OO与x轴相切于点片(3,0),与y轴相交于
B、C两点,且8c=8,连接48、O}B.
(1)。8的长为
(2)如图3,过/、s两点作oa与V轴的负半轴交于点例,与。出的延长线交于点
N,连接力用、MN,当。Q的大小变化时,问员W-6N的值是否变化,为什么?如果
不变,请求出8/W-8N的值.
参考答案
1.证明:⑴如图1,连接OC,OD,
.•.8是弧8的中点,
'1-CD=BE>
,NCOB=ZDOB,
■1,OC=OD,
081CD,
即ABLCD;
解:(2)如图2连接ZC,㈤,4。,
设/FCD=x,
•:/_FAE=2(FCD、
Z_FAE=2x,
又/_EAD=/_FCD=x、
ZDAB=NFAE—/_EAD=x,
•・・48是直径,ACLCD,
••.4?垂直平分8,
FC-FD,ZCAB-ZDAB-x,
/.ZFCD=ZFDC—x,
・•.NCAD=ZDFE=2/_FCD=2x,
又(DEF=(CAD=2x,
.・.ZDFE=ZDEF,
:.DF=DE、
•:DF=CF、
.・.CF=DE;
解:⑶如图3,连接4?交々于。,过尸作/W厂交力。于用,
则/例/7?=90°,
设CG=2a,
垂直平分8,
.t.AC=AD-2ct+5,
/_ADC=/_ACD=9QQ-x,
ZADF=ZADC-ZFDC=90°-2x,
:./_FMD=90°-ZADF=2%,
ZMFA=ZFMD-ZDAB=2x-x=x,
/MFA—/_DAB—xy
:.AM=MF,
AM-MF-m,贝ijZ?/W=2a+5-/7?,
•/ZACF=ZACD-ZFCD=90°-2x,
又//尸G=45°,
/_CGF-/_CAB^-ZAFG=45°+x,
ZCFG=180°-ZCGF-ZACF=45°+x,
/.ZCGF=ZCFG,
CG=CF=2(7,
DF—DE=2a
一:D心D%M户,
.-.m2+4a2=(2O+5-/77)20,
■:/_AEC=/.ADC-2x,
LAFE=(CFB=90°-lx,
AAFE=AAEC,
:.AF=AE,
..乂在)的中垂线上,
同理,。在宁的中垂线上,
所以是&的中垂线,
:.FQ=EQ=^=2,
•••SAMFD4MD,FQ=1HF,DF,
:.2am=3(2牛5-rri)②,
联立①②得,
16a2-10(7-75=0,
・5战15
.・a巧或不
•/a>0,
a=—,m=—,
24
•:ORIDE,
15
OE=qDE=a=万,
■■DG=7DE2-EG2=V25-9=4,
连接如图4,
OA=OE,
ZOEA=ZBAE-2x,
・..ZOED=Z/4FO-ZCED-ZOEA=90-x+2x-2x=90°-x,
:./_EOR=90°一(OER=x、
在RtZXOG。中,
DG二4二1
ton/OCT=tanx=CG=3+5'2
又tanZEOR=tanx=器,,
:.OR=2ER=5.
图4
A
图3
图2
图1
2.(1)证明:连接oa
••.8C为。。的直径,BA平分2CBF,ADLBF,
,NZ06=/MC=9O°,/_DBA=/_CBA\
-:/_OAC/.OCA,
ZDAO—ZDAB+/_BAO=/_BAO^/_OAC—90°,
.・・。/为。。的切线.
(2)解:':BD=],tan//l5£?=2,
:.AD=2,
/45=VAD2+BD2=V22+12=脏'
.*.cosZDBA=^-\
5
•・•/IS为。。的直径,
:.^ACB=90°,
.../。力6/8=90°.
•.28=N£
.•./6NC4O=90°,
---OA=OC,
/_CAO^/.ACO,
,/日N48=90°,
OEIIAC,
ZACD=ZE,
AAC!>/.ACO=9GQ,
,/。8=90°,
.1.OCLDE,
是o。的切线;
(2)解:•.Y8为。。的直径,
.•.N"6=90°,
OEIIAC,
:.£OFB=£ACB=90",
AB—8,AC=4,
•1•BC=VAB2-AC2=V82-42=4V3.
■:ACIIOF,OA=OB,
:.CF=BF=》C=2M,
B=/_E,/_ACB=ZCFE,
:AACBsXCFE、
,ACBC
"CF"EE'
,4_W3
-2«=EF,
:.EF=6.
4.(1)证明:连接OB、OD,如图1所示:
■:AB=DB,AO=DO,60=8。,
:.^ABO^^DBO(SSS),
;.2ABO=ZDBO,
*.*OA=OB、ZBDC—ZBACy
ZABO-ZBAC=ZBDC,
ZDBO=ZBDC,
,OBIIDE,
':BEVDC,
BE]OB,
・・.8万是。。的切线;
(2)解:延长80交工。于点尸,如图2所示:
由(1)可知,2ABO=2DBO,
,:AB=BD、
:.BFLAD,AF=DF=^AD=3,
■:ZBAF=ZBCE,LAFB=£E=9b,BE=2CE,
XABFsXCBE,
.BFBEQ
AFCE
BF=2AF=&
在白△/8尸中,由勾股定理得:AB=VAF2+BF2=732+62=3^5,
.e.BD=AB—
5.(1)证明:连接
\'BC=ACi
/ABC=/A,
■:BO=DO,
/_ABC=ABDO,
.1.Z/l=ZBDO,
.'.DOUAC,
又.:EFIAC、
AEDO=AEFC=9GQ,
:.OD]_EF,
是。。半径,
•••)是OO的切线;
(2)解:•.•8C=10,
OD—OC—5
在RtzXQO中,
••・sin/E端小
■W0E专
,EC=0E£C差+5岑,
■:ODIIAC,
:.4EDOSXEFC,
,ODOE
"FC"EC'
25
,5~T
"FC-45'
V
:.FC=9.
Z5=ZD,
':AC=AD,
/_D=/.ACD,
AB=/.ACD,
■:OA=OC,
/.BAC=/.OCA,
.•./8为。。的直径,
:.^ACB=90°,
.-.Z^+Z5/40=90°,
OC4=90°,
08=90°,
0clCD,
・・.CO是。。的切线;
解:(2)/)连接OC,
■:^ACB=90°,/45=J10.sin8=^S,
10
在Rt^/ICS中,AC=AB»3\ryB,
•,."c=VI511
22=22=31
在"△"C8中,BC=7AB-AC7(Vio)-i
■1•OB=CO,
NOCB=/_B,
,.28=/。,
ZOCB-ZD,
ZCBO=ZDBC,
:.4COBSXDCB、
,OB_BC
一而而
:.C^=OB»BD,
•••/8=万,
:.OA=08=虫2
2_
.-.BD=32x-p==^!^-,
V105
:.AD=BD-AB=4^;
5
//)连接co,
■:CD=2CE,
设CE=k,
.CD=BC=2k,
:.DE=3k,
ZE=Z8,ZOCB-N8=N
:ADA—XCOB,
.AD_DE_3k
"OC"BC"2k'
设。。的半径为乙
:.ADA,
37
.1.BD=A[>AB=尹2r=-^r,
,:XCOBsXDCB,
.OB二BC
"BC"BO"
:.BC^=OB。BD,
(2N)2=rx^r,
BC=2k=迎£
2
V14
•••cos5=BC_2r_V14-
AB=2r=4
7.解:(1)-:ACIIOM,
:ABODSXBAC、
,QDQB1
"AC"AB
:.OD=—AC.
2
连接oc
zOAC=/BOM,zACO=NCOM,
■:OA=OC,
/OAC—ZACO,
ZBOM=ZCOM,
在△OCM与△08例中,
'OC=OB
.ZBOM=ZCOM,
OM=OM
△OCM^£\OBM(5AS);
又•.■例8是。。的切线,
:.AOCM=AOBM=90°,
,用C是。。的切线;
(2)-:MB,〃C是。。的切线,
:.OM1BC,
:.^ODB=^ODC=90°,
■:OCLMC,
.,./。。例=90°,
.1.ZCOM=Z.DCM,
:.XMCD^XCOD、
,ODCD9CD
----=----,即Bn----=----
CDMDCD16
CD=BD=12,
在中,。8=心口2+0口2={122+92=15,
.•.sin//纥=毁旦
OB5
3
:.3\V\Z_APC=sin/48C=y;
(3)如图2,
由(2)知/8=30,OM=25,8例=20,00=08=15,
..QQ.153
,而WT
・•.o例上取点。,使廖皓
(JUb
-.OD=9,。为定点,
•.•空镖《,且/OOQ=NQO用,
OQ0M5
△ODQsXOQW恒成立,
2
.•.求必升抵欣?的值最小,相当于求O6QN最小,
5
当。、Q、M共线时,OQ+QN最小,
:.NG^—MQ=DN,作DH'ON于息H,可得。A=9x2=2,Z?//=9x—=—,
55555
.zu1二272472
555
•••DN=VNH2+DH2=
即■的最小值为写
b5
8.解:(1)证明:该上ABE=m,
/_AEB=2乙ABE,
.・./_AEB=2m,
ZACB=ZAEB=2/77,
•:BD1AD,
:./_BDA=/_BDC=9h,
:〃BAD=9U°-m,/.CBD=90°-2/77,
・・.N/8C=90°-m,
:.乙BAD=(ABC、
=CB\
(2)连接CEOB,如图:
设£OCB=n,
•:OB=OC,
.0.ZOBC-ZOCB—/?,
80c=180。-2n,
:.^BAC=90°-n,
ZABE=n,
ZACE-NABE-n=/_OCB,
而N的二NC4gAC=BC,
:./\FBC^!\EAC{AAS),
/.CF=CE,
•••CDIEF、
・•.DF=DE\
(3)连接/月CG,延长C尸交48于/,过C作CM18G于",过〃作“K1CG
于珞如图:
・・.8G为直径,
:./_BAH=90°,
:./_EHG=(AHB=/_BAC、
・・.四边形/8CG内接于OO,
:.Z_KGH=/_ABC,
ZEHG=ZKGH,
•:/_HEG=Z.HKG=9b°,HG=GH,
•,AEHSXKGH<AAS),
/.EG=HK,
•「EG=HD,
HK=HD,
・•,CH平分(DCG,
-CLLAB,
:"ACL=2BCL,
:./_FCH=A5°,
由(2)可知,Z^C=90°-2/7,£HCB=450+n,
BH=纥,
:.^BAH^/\CBM{AAS),
CM=AH-BL=AL,
.,.tanZ/5£?=-^-,
设。W=4a,贝iJ8/U=8a
设贝ijOC=。8=8。-/?,
中,cW+oi/uOC2可得z9=3a
4.
.e.tanZ/WOC=tanZBCD--,
3
设8=6力贝ij。尸=34BF=5t,
S&BCF=]5,
:.—»BF»CD=15
2
t—1,
:,AD=4,DH=2,
■-CH=VCD2+DH2=2Vw-
9.解:(1)连接O8、oc,
图1
•••BO=CO,AO=AOyAB=AC,
:./\ABO^!\ACO(SSS),
r.N8/40=/C4O;
(2)点。是圆心,
•1-AD=AE>
■:AB=AC,
•■•BA=CA.
■1-BD=CE>
BD=CE\
(3)连接AD,过点。作。用1/IC于点M,
图2
在△乐?尸和△,!尸中,
•1,ZBFD=ZCAF,ZBDC=ZCAB,
;.4BDM4CAF,
,DFBD
"AF'AC"
由(1)知:/_BAO=/_CAO,AO=AO,AOFA=AOMA=90°,
:.^AOF^/\AOM{ASA),
AF=AMy
-:AB=AC1BD=CE、
由(2)知,XADB9XAEC(SSS),
…$4AEC=S&ADB=30,
,.巫山,AC=AB,
AFAC
,DFDB
"AF"AB'
在和△/比?中,/_OFA=ZOMA,
贝ijBD=DE,
,DFDE
"AF"AB'
':AF-AM,
,DFJE
•项话,
:.DE=6.
10.解:(1),•・/8为。。的直径,C为。。上一点,
:.^ACB=90°,
•••8G与。。相切于点8,
:.^ABD=90°,
ABDC+ABAC,N/8C+/&4c=90°,
ZBDC=ZABC,
4
;tan/8DC=±,
3
4
/.tanZ/45C=—.
3
AC=8,
.AC_A
"BC-1'
"BC"I'
BC—6,
•・•由勾股定理得:48=。
・・・。。的直径为10;
(2)过点。作DF1GE于F,过点。作OHLGE于H交工。于M,
GEWAD,
ZG=NBDC、
4.
.'.tanZG=tanZ5DC=—,
3
・,.设DF—4x,FG=3x,
•.3.
,由勾股定理得:(4x)2+(3x)2=尊,
4
解得:x=~2^
DF=4x=2,
GEIIAD,DF1GE,OH1GE,
:.DF=MH=2、OMIAM,
又二。为中点,
OM=—BC=3,
2
.1.OH=5,
又,:。。的直径为10,从而半径r=5,
OH=r,
.•.FG与。。相切.
11.解:(1)如图1,连接04,
图1
■:AB=AC,
•"AB~AC'Z.ACB=Z.B,
:.OALBC,
■:CA=CF,
ZCAF=ZCFA,
■:CDIIAB,
ZBCD=ZB,
AACB=/.BCD,
:.^ACD=ZC//H-Z64=2/CAF,
■:/_ACB=/.BCD,
:.(ACD=2(ACB,
ZCAF=ZACB,
:.AFHBC,
:.OA]_AF,
・••工厂为。。的切线;
(2)-:/_BAD=ABCD=/_ACB,
i\AB〜ACBA,
,AB_BE
'BC'AB'
,.A序=BC»BE=BE[BB-CE)=B^+BE»CE,
:.A"BR=BE・EC;
(3)由(2)知:AB^=BC*BE,
.:B6BE=64,
AB—8,
如图2,连接2G
图2
:BAG=BAD^/_DAG、/_BGA=/_GAC^Z,ACBy
.「点G为内心,
.0./_DAG—/_GAC,
又0/4G=NG4G//C8,/_BAD=/_ACB、
NBAG—/_BGAy
BG-AB=8.
12.(1)证明:如图,连接。。
•1-OD=OC,
ZC=zODC,
•.•△/SC是等边三角形.
B—/_C—60°,
/_ODC,
:.ABHOD,
r.//孙NO。尸=180°,
■:DFLAB,
/_AFD=/_ODF=90。,
FD]OD,
一.•点。在OO上.
・・.OF是。。的切线;
(2)解:•・•△Z8C的边长为2,
OC=1,
在△O0C中,OD=OC,zC=60°
.•.△O0C是等边三角形.
OD—DC—1,
/.BD=BC-DC=1,
DFIAB、
:"DFB=90°,
:./_BDF=30°,
•••BF-|BD-1,
在中,DF2=BD2-BF2=1AM,
44
DF平.
13.解:(1)连接O。,
•:ADLDE,
••/三是。。的直径,即点。在片三上,
又•.・工。是NMC的平分线,
/_CAD—/_BAD,
•:OA=OD,
Z_BAD—/_ADO,
:.CAD=Z.ADO,
:.OD\\AC,
・・.NO08=NC=9O°,
;,OD_LBC,
.•.8。是。。的切线;
(2)\'ODWAC.
NDOB—/EAF,
•/ZG=ZEAF,
/_DOB=ZG,
4
二.sin/008=sin/G=—,
5
4
/.tanZ。。6=ton/G=—,
3
没OD=3k,贝iJ8O=4Zr,OB=
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