微积分基础公式宝典课件

微积分基础公式[宝典课件目录极限与连续导数与微分积分与原函数中值定理与泰勒公式不定积分与定积分常微分方程与级数01极限与连续VS对于给定的数列，如果当n趋于无穷大时，数列的项x(n)趋于某一确定的数a，则称a为数列的极限。极限的性质极限具有唯一性、有界性、局部保号性、局部不等式性质、迫敛性等性质。极限的数列定义极限的定义与性质对于两个收敛的序列，可以像普通算术一样进行四则运算。极限的四则运算如果lim(x→x0)f(x)=A，且lim(x→x0)g(x)=B，那么lim(x→x0)f(x)g(x)=A×B。极限的乘法法则极限的运算连续复利的定义连续复利是指在极短的时间间隔内（例如瞬间）进行复利计算。连续复利公式连续复利的公式为F=P×e^(rt)，其中F为终值，P为本金，r为年利率，t为时间（单位为年）。连续复利公式02导数与微分导数是函数值随自变量改变的速度，是函数变化的局部线性近似。导数是函数值随自变量改变的速度，体现函数变化的局部性质。导数定义基于极限，核心是局部逼近思想。导数性质包括可加性、可导性、可线性组合等。总结词详细描述导数的定义与性质总结词导数计算涉及基本导数公式和求导法则。详细描述导数计算包括幂函数、指数函数、三角函数等基本导数公式，以及链式法则、乘积法则、幂函数求导法则等。导数的计算总结词微分是函数值随自变量改变的近似值，是函数变化的局部线性近似。要点一要点二详细描述微分定义基于极限，核心是局部逼近思想。微分性质包括可加性、可微性、可线性组合等。微分与导数关系密切，微分是导数的逆运算。微分的定义与性质03积分与原函数积分的定义积分是求和的无限累加，它可以将一个函数转化为一个直线的面积或者一个曲线下方的面积。积分的性质积分的性质包括可加性、可减性、可乘性和可除性，这些性质在计算积分时非常有用。积分的定义与性质积分计算的方法包括换元法、分部积分法和部分分式法等，这些方法可以用于计算不同类型的积分。积分计算的方法常见函数的积分包括正弦函数、余弦函数、指数函数、幂函数等，这些函数的积分在微积分中非常重要。常见函数的积分积分的计算原函数的概念原函数是指一个函数f(x)的导数等于另一个函数g(x)，即f'(x)=g(x)，那么f(x)就叫做g(x)的原函数。原函数的性质原函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和对称性等，这些性质在解决微分方程等问题时非常重要。原函数的概念与性质04中值定理与泰勒公式罗尔定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，则必存在ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。应用：证明某些特殊函数在特定区间内至少存在一个零点。拉格朗日中值定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则必存在ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。应用：揭示函数在区间内的变化率与其在区间端点上的函数值之间的关系。柯西中值定理若函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，且g'(x)≠0,则必存在ξ∈(a,b)，使f'(ξ)/g'(ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。应用：研究复合函数的导数和微分中值定理。中值定理及其应用VS如果函数f(x)在包含x0的某个邻域内具有直到n+1阶的导数，则对任意x∈包含x0的邻域内，有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+...+f(n)(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x)。应用：近似计算、误差估计、方程根的近似解、不等式的证明、函数的极值研究等。麦克劳林公式当函数f(x)具有直到n阶导数时，若f(x0)=f'(x0)=...=f(n-1)(x0)=0，且f(n)(x0)\neq0，则存在某个ξ∈(x0,x)，使得f(n)(ξ)=(-1)^n/n!，进而得到f(x)=(-1)^n/n!*Rn(x)。应用：研究高阶导数的零点，探讨高阶导数的符号和性质。泰勒公式泰勒公式及其应用麦克劳林公式：若函数f(x)具有直到n阶导数，且f(0)=f'(0)=...=f(n-1)(0)=0，则必有某个ξ∈(0,x)，使得f(n)(ξ)=(-1)^n/n!，进而得到f(x)=(-1)^n/n!*Rn(x)。应用：研究高阶导数的零点，探讨高阶导数的符号和性质。麦克劳林公式及其应用05不定积分与定积分不定积分是微积分学中的一个重要概念，它是一组函数的总和，这些函数具有相同的导数。不定积分的定义不定积分具有一些重要性质，例如，常数倍的积分值相同，加减函数的积分值也相同。不定积分的性质不定积分的定义与性质换元法通过引入新的变量来简化积分计算的方法。常见函数的积分表列出了一些常见函数的积分表达式，方便直接使用。分部积分法通过将函数分解为两个部分来简化积分计算的方法。不定积分的计算定积分的定义定积分是另一种类型的积分，它表示一个函数在一个区间上的总值。定积分的性质定积分具有一些重要性质，例如，常数倍的积分值相同，加减函数的积分值也相同。此外，定积分的值只取决于被积函数的类型和积分的区间，而与积分的具体表达式无关。定积分的定义与性质06常微分方程与级数常微分方程是描述一个变量随时间变化的方程，其中包含未知函数及其导数。常微分方程定义线性方程、非线性方程、时变方程、常系数方程等。常见类型分离变量法、降阶法、代入法、积分变换法等。解法常微分方程及其解法123级数是无穷多个数相加，每一项都有一个系数，系数可以是正数、负数或零。级数定义几何级数、调和级数、正项级数、交错级数等。常见类型收敛性、发散性、绝对收敛、条件收敛等。级数性质级数的定义与性质01柯西准则、比值法、根值法等。判断收敛性02裂项相消、错位相减、倒序相