高考数学人教B版一轮复习训练4-1任意角的概念与弧度制任意角的三角函数

核心考点·精准研析考点一象限角与终边相同的角

1.若角α是第二象限角,则QUOTE是 ()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角2.(2019·长春模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=QUOTEx上,则角α的取值集合是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE3.下列各角中,与角330°的终边相同的是 ()A.150° B.390° C.510° D.150°4.与2010°终边相同的最小正角是________. 导学号

【解析】1.选C.因为α是第二象限角,所以QUOTE+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以QUOTE+kπ<QUOTE<QUOTE+kπ,k∈Z.当k为偶数时,QUOTE是第一象限角;当k为奇数时,QUOTE是第三象限角.综上,QUOTE是第一或第三象限角.2.选D.因为直线y=QUOTEx的倾斜角是QUOTE,所以终边落在直线y=QUOTEx上的角的取值集合为{α|α=kπQUOTE,k∈Z}.3.选B.与角330°的终边相同的角为α=k·360°+330°(k∈Z),令k=2,可得α=390°.4.因为2010°=(6)×360°+150°,所以150°与2010°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与2010°终边相同,故与2010°终边相同的最小正角是150°.答案:150°1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间.(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.3.求QUOTE或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示.(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论,得到QUOTE或nθ(n∈N*)所在的象限.提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角.【秒杀绝招】结论法解T1,若角α是第一(或二)象限角,则QUOTE是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,则QUOTE是第二或第四象限角.排除法解T2,终边在直线上,是kπ,终边在射线上是2kπ,排除A,B;直线y=QUOTEx的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除C,所以选D.考点二弧度制、扇形的弧长及面积公式

【典例】1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12cm,则弧长l=________cm.

2.已知扇形的周长为20cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为________.

【解题导思】序号联想解题1由扇形的圆心角想到弧长公式l=|α|·r2由扇形的周长想到扇形面积公式S=QUOTElr,周长=l+2r,转化为函数求最值【解析】1.设扇形的半径为rcm,如图.由sin60°=QUOTE得r=4QUOTEcm,所以l=|α|·r=QUOTE×4QUOTE=QUOTEπ(cm).答案:QUOTEπ2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=202r,所以扇形的面积S=QUOTElr=QUOTE(202r)·r=r2+10r=(r5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α=2(rad).答案:2有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.1.已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.【解析】设圆心角是θ,半径是r,则QUOTE解得QUOTE(舍去)或QUOTE所以扇形的圆心角为QUOTErad.2.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?【解析】设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40.又S=QUOTEθr2=QUOTEr(402r)=r(20r)=(r10)2+100≤100,当且仅当r=10时,Smax=100,此时2×10+10θ=40,θ=2,所以当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.考点三任意角三角函数的定义及应用

命题精解读考什么:(1)三角函数符号判断,比较大小、解不等式,运用定义求值等等.(2)考查数学抽象,逻辑推理,数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.怎么考:与直线、诱导公式、三角恒等变换等结合考查判断符号、求三角函数值等等.学霸好方法1.三角函数值符号的判断方法(1)先分别判断每个三角函数值的符号.(2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号.2.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置.(2)根据不等式组定出角的范围.(3)求交集,找单位圆中公共的部分.(4)写出角所满足的范围.三角函数符号判断【典例】(2019·衡水模拟)若sinθ·cosθ<0,QUOTE>0,则角θ是 ()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选D.由QUOTE>0,得QUOTE>0,所以cosθ>0.又sinθ·cosθ<0,所以sinθ<0,所以θ为第四象限角.知道哪些三角函数符号,可确定角所在象限?提示:知sinθ,cosθ,tanθ中两个的符号,可确定角所在象限.比较大小、解不等式【典例】1.设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则 ()A.c>b>a B.b>c>aC.a>b>c D.c>a>b2.(2020·长春模拟)已知α,β是第一象限角,且sinα>sinβ,则 ()A.α>β B.α<βC.cosα>cosβ D.tanα>tanβ【解析】1.选A.b=cos55°=sin35°>sin33°=a,c=tan35°>sin35°=b,所以c>b>a.2.选D.因为α,β是第一象限角,所以sinα>0,sinβ>0,又sinα>sinβ,所以sin2α>sin2β>0,所以1cos2α>1cos2β,所以cos2α<cos2β,所以QUOTE>QUOTE>0,所以tan2α>tan2β,因为tanα>0,tanβ>0,所以tanα>tanβ.三角函数式如何比较大小?提示:对于较为简单的三角不等式,在单位圆中,利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态,注意实线与虚线),再通过大小找到其所满足的角的区域,由此写出不等式的解集.运用定义求值【典例】1.(2019·南昌模拟)已知角α的终边在直线y=x上,且cosα<0,则tanα=________.

2.(2019·许昌模拟)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=QUOTEx,则tanα=________. 导学号

【解析】1.如图,由已知,角α的终边在第二象限,在其终边上任取一点P(x,y),则y=x,由三角函数的定义得tanα=QUOTE=QUOTE=1.答案:12.因为α是第二象限角,所以cosα=QUOTEx<0,即x<0.又cosα=QUOTEx=QUOTE,解得x=3,所以tanα=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE如何运用三角函数定义求三角函数值?提示:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.1.若tanα>0,则 ()A.sin2α>0 B.cosα>0C.sinα>0 D.cos2α>0【解析】选A.因为tanα>0,所以α∈QUOTE(k∈Z)是第一、三象限角.所以sinα,cosα都可正、可负,排除B,C.而2α∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),结合正、余弦函数图象可知,A正确.取α=QUOTE,则tanα=1>0,而cos2α=0,所以D不正确.2.若角θ的终边经过点P(QUOTE,m)(m≠0)且sinθ=QUOTEm,则cosθ的值为________.

【解析】由已知r=QUOTE,所以sinθ=QUOTE=QUOTEm,因为m≠0,所以m=±QUOTE,所以r=QUOTE=2QUOTE,所以cosθ=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.函数y=lgsinx+QUOTE的定义域为________.

【解析】要使函数有意义,则有QUOTE即QUOTE解得QUOTE(k∈Z),所以2kπ<x≤QUOTE+2kπ,k∈Z.所以函数的定义域为QUOTE.答案:QUOTE1.已知点MQUOTE在函数y=log3x的图象上,且角θ的终边所在的直线过点M,则tanθ= ()A.QUOTE B.±QUOTE C.3 D.±3【解析】选C.因为点MQUOTE在函数y=log3x的图象上,所以a=log3QUOTE=1,即MQUOTE