2021年中考数学热身一次函数的应用含解析

一次函数的应用

课前热身

1.为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时,

水价为每吨1.2元，超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水

x吨（x>10）,应交水费y元，则y关于x的函数关系式是.

2.弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系图象如图所示，由图象可知不挂物体时弹簧的长

3.蜡烛在空气中燃烧的长度与时间成正比，加入一支原长15cm的蜡烛燃烧4分钟后，其长度

为13cm,请写出剩余长度y（cm）与燃烧时间x（分钟）的关系式为.

4.如图，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（千克）的关

系，由图中可知行李的质量，只要不超过一千克，就可以免费托运.

5.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费

0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费.

（1）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式：

①用水量小于等于3000吨：

②用水量大于3000吨.

（2）某月该单位用水3200吨，水费是元；若用水2800吨，水费元.

（3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水几吨？

6.杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“爱家”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供

了如下信息：

①买进每份0.20元，卖出0.30元；

②在一个月内（以30天计），其中有20天每天可以卖出200份，其余的10天每天就只能卖出

120份；

③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸以每份0.10元退回给

报社.

（1）填表：

一个月每天买进该晚报的份数100150

当月利润（元）

（2）设每天从报社买进晚报x份（120WxW200）时，月利润为y元，试写出y和x的函数关

系式，并求月利润的最大值.

二、中考演练

7.从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若

时间t>3（分）时，电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是—.

8.在一定范围内，某种产品购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系式，若购买1000吨，每

吨800元，购买2000吨时，每吨700元，一客户购买4000吨单价为元.

9.汽车工作时油箱中的燃油量y（升）与汽车工作时间t（小时）之间的函数图象如下中图所

示，汽车开始工作时油箱中有燃油—升，经过一小时耗尽燃油，y与t之间的函数关系式

10.如图所示的折线ABC为某地出租汽车收费y（元）与乘坐路程x（千米）之间的函数关系式

图象，当x23千米时，该函数的解析式为—，乘坐2千米时，车费为元，乘坐8千米

时，车费为一元.

11.一根弹簧的原长为12cm,它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长"I'cm,写出挂

重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（）

A.y=*x+12（0<xW15）B.y=*x+12（0^x<15）

C.y=*x+12（0WxW15）D.y=yx+12（0<x<15）

12.中国电信公司最近推出的无线市话小灵通的通话收费标准为：前3分钟（不足3分钟按3分

钟）为0.2元；3分钟后每分钟收0.1元，则一次通话实际那为x分钟（x>3）与这次通话的

费用y（元）之间的函数关系是（）

A.y=0.2+0.lxB.y=0.lxC.y=-0.1+0.lxD.y=0.5+0.lx

13.巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A

地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图.若返回时，上、下坡速

度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（）

A.45.2分钟B.48分钟C.46分钟D.33分钟

14.附加题：将长为30cm,宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部

分的宽为3cm.设x张白纸粘合后的总长度为ycm,写出y与x的函数关系式，并求出当x=20

时，y的值.

H

15.某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨.该市的C县和D县分别储存化

肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县，已知C、D两县运化肥到A、B两县的运费（元/

吨）如下列表所示：

目的地运费出发地CD

A3540

B3045

（1）设C县到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变

量x的取值范围；

（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案.

一次函数的应用

参考答案与试题解析

课前热身

1.为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时,

水价为每吨1.2元，超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水

x吨(x>10),应交水费y元，则y关于x的函数关系式是y=l.8x-6.

【考点分析】根据实际问题列一次函数关系式.

【专题】函数思想.

【考点剖析】根据水费y=10吨的水费+超过10吨的水费得到.

【解答】解：依题意有y=L2X10+(x-10)XI.8=1.8x-6.

所以y关于x的函数关系式是y=l.8x-6(x>10).

故答案为：y=l.8x-6.

【点评】此题考查的知识点是根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是根据题意，找

到所求量的等量关系是解决问题的关键.本题水费y=10吨的水费+超过10吨的水费.

2.弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系图象如图所示，由图象可知不挂物体时弹簧的长

度为10cm.

【考点分析】一次函数的应用.

【考点剖析】根据图象，列出直线解析式后，求直线与y轴交点即可.

f5k+b=12.5

【解答】解：设解析式为y=kx+b,把（5,12.5）（20,20）代入得：｛网,cc，

I20k+b=20

解之得：|心一］；5,即y=0.5X+10,当x=0时，y=10.即不挂物体时弹簧的长度为10cm.

lb=10

【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的功底.

3.蜡烛在空气中燃烧的长度与时间成正比，加入一支原长15cm的蜡烛燃烧4分钟后，其长度

为13cm,请写出剩余长度y（cm）与燃烧时间x（分钟）的关系式为产15Tx.

【考点分析】根据实际问题列一次函数关系式.

【考点剖析】蜡烛点燃后所剩长度=原来长度-X分钟点燃的长度，把相关数值代入即可求解.

【解答】解：•.•一支原长15cm的蜡烛燃烧4分钟后，其长度为13cm,

•••1分钟燃烧0.5cm,

；.x分钟可燃烧0.5xcm,

1

.,.y=15-yx（0WtW30）.

故答案为：y=15-yx.

【点评】本题考查列一次函数关系式，得到蜡烛点燃后所剩长度的等量关系是解决本题的关键.

4.（2021秋•富顺县校级期末）如图，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运

行李的质量x（千克）的关系，由图中可知行李的质量，只要不超过20千克,就可以免

费托运.

【考点剖析】免费托运即是y=0,所以只要利用待定系数法求出解析式，解方程即可.

【解答】解：设一次函数的解析式为丫=1«+13,

由图象过点(30,300)和(50,900)得

(300=30k+b

l900=50k+b，

解得：

lb=-600

解析式为y=30x-600,

当y=0时，x=20,即重量不超过20千克可免费托运.

故答案为：20.

【点评】此题主要考查了一次函数的简单应用，理解免费的意义得到y=0是解题关键.

5.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费

0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费.

(1)写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式:

①用水量小于等于3000吨y=0.5x(xW3000)

②用水量大于3000吨y=0.8x-900(x>3000)

(2)某月该单位用水3200吨，水费是1660元；若用水2800吨,水费1400元.

(3)若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水几吨?

【考点分析】一次函数综合题.

【专题】代数综合题.

【考点剖析】(1)题目给出了每吨的不同收费，根据具体的情况，写出不同的函数关系式，

注意要由自变量的取值范围；(2)计算水费时要根据不同的情况，代入相应的函数关系式计

算即可；

(3)要首先判断此月超过3000吨，可代入第二个函数关系式进行求解.

【解答】解：(1)①y=0.5x(xW3000)；

②y=3000X0.5+(x-3000)X0.8=1500+0.8x-2400=0.8x-900(x>3000)；

(2)当x=3200时，y=3000X0.5+200X0.8=1660,

当x=2800时，

y=0.5X2800=1400；

(3)某月该单位缴纳水费1540>1500元，说明该月用水已超过3000吨，

.1.1540=0.8x-900,

解得x=3050(吨).

答：该单位用水3050吨.

【点评】本题考查了一次函数的综合应用；当标准不一样时要分段写出函数关系式，计算时还要

特殊注意使用相应的关系式是正确解答此类问题的关键.

6.杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“爱家”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供

了如下信息:

①买进每份0.20元，卖出0.30元;

②在一个月内(以30天计)，其中有20天每天可以卖出200份，其余的10天每天就只能卖出

120份；

③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸以每份0.10元退回给

报社.

(1)填表：

一个月每天买进该晚报的份数100150

当月利润(元)

(2)设每天从报社买进晚报x份(120WxW200)时，月利润为y元，试写出y和x的函数关

系式，并求月利润的最大值.

【考点分析】一次函数的应用.

【专题】综合题.

【考点剖析】(1)当每天进报纸是100份时，根据有20天每天可以卖出200份，其余的10天

每天就只能卖出120份可知道报纸都能卖出，从而求得利润；当进150份报纸时，有10天卖出

120份，所以有剩下的报纸，再根据当天卖不掉的报纸以每份0.10元退回给报社可求出利润.

(2)设每天从报社买进晚报x份(120WxW200)时，利润y=20天全卖掉情况的利润+10天卖

掉120份的利润-10天中每天卖不掉的报纸赔的钱，根据此关系式可列出函数式.

【解答】解：(1)一个月每天买进该晚报的份数为100时：30X(0.30-0.20)X100=300

(元).

一个月每天买进该晚报的份数为150时：20X(0.30-0.20)X150+10X(0.30-0.20)X

120-10X(0.20-0.10)X(150-120)=390(元).

故答案为：300,390.

（2）设每天从报社买进晚报x份（120WxW200且为整数）时，

y=20（0.30-0.20）x+10X（0.30-0.20）X120-10（x-120）（0.20-0.10）=x+240.

当x取最大值时，y取到最大值.

x的最大值为200,

.,.y=200+240=440.

月利润的最大值为440.

【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意列出函数式，以及根据函数式的特点和自变量的取

值范围求出最值.

二、中考演练

7.从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若

时间t>3（分）时，电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是y=t-O.6.

【考点分析】函数关系式.

【考点剖析】根据题意可得需付电话费=3分内收费+3分以外的收费，把相关数值代入即可求解.

【解答】解：3分钟内收费2.4元，3分以外的收费为（t-3）Xl=t-3,

则电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是：y=2.4+t-3=t-0.6.

故答案为：y=t-0.6.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，解决本题的关键是得到超过3分钟的电

话付费的等量关系.

8.在一定范围内，某种产品购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系式，若购买1000吨，每

吨800元，购买2000吨时，每吨700元，一客户购买4000吨单价为500元.

【考点分析】一次函数的应用.

【考点剖析】首先设出一次函数的解析式，再利用待定系数法求出解析式，最后将y=4000代入

解析式就可以求出单价.

【解答】解；设购买量y吨与单价x元之间的一次函数关系式为y=kx+b,由题意，得

1800k+b=1000

l700k+b=2000,

解得：

lb=9000

解析式为：y=-Wx+9000.

当y=4000时,

4000=-Wx+9000,

解得x=500.

故答案为：500.

【点评】此题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，利用函数的解析式和函数值

求自变量的值的运用.解答时求出函数的解析式是关键.

9.汽车工作时油箱中的燃油量y（升）与汽车工作时间t（小时）之间的函数图象如下中图所

示，汽车开始工作时油箱中有燃油50升,经过5小时耗尽燃油,y与t之间的函数关系

式是y=-10t+50(0WtW5)

【考点分析】一次函数的应用.

【考点剖析】利用图象可得到汽车开始工作时油箱中燃油数量以及耗尽燃油时间，再利用待定系数

法求一次函数解析式即可.

【解答】解：由图象可得到：汽车开始工作时油箱中有燃油50升，经过5小时耗尽燃油,

设y与t之间的函数关系式为：y=kt+b,

fb=50

15k+b=0,

解得：依;°

lb=50

；.y与x之间的函数关系式是：y=-10t+50(0WtW5).

故答案为：y=-10t+50(0WtW5).

【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用，利用数形结合得到

是解题关键.

10.如图所示的折线ABC为某地出租汽车收费y(元)与乘坐路程x(千米)之间的函数关系式

图象，当x23千米时，该函数的解析式为乘坐2千米时，车费为3元,乘坐8

千米时，车费为8元.

【考点剖析】观察图象可设当x23千米时，该函数的解析式为y=kx+b,由点B(3,3)与点

C(5,5)在其函数图象上，利用待定系数法即可求得该函数的解析式；观察图象即可求得乘坐

2千米时的车费，将x=8代入所求函数，即可求得乘坐8千米时的车费.

【解答】解：设当x23千米时，该函数的解析式为y=kx+b,

•.•点B(3,3)与点C(5,5)在其函数图象上,

.(3k+b=3

*■l5k+b=5'

解得：［眈，

Ib=0

当x>3千米时，该函数的解析式为：y=x；

观察图象可得：坐2千米时，车费为3元，

当x=8时，y=x=8,

•••乘坐8千米时，车费为8元.

故答案为：y=x,3,8.

【点评】此题考查了一次函数的应用问题.题目比较简单，解题的关键是认真观察图象，根据

图象解题，注意待定系数法的应用.

11.一根弹簧的原长为12cm,它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长acm,写出挂

重后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式是()

A.y=yx+12(0<xW15)B.y=-^x+12(0Wx<15)

11

C.y=-^x+12(0WxW15)D.y=5x+12(0<x<15)

【考点分析】根据实际问题列一次函数关系式.

【专题】常规题型.

【考点剖析】根据函数的概念：函数中的每个值x,变量y按照一定的法则有一个确定的值y

与之对应，解答即可.

【解答】解：设挂重为x,则弹簧伸长为ax,

挂重后弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式是：y=p+12(0WxW15).

故选C.

【点评】本题考查根据实际问题列一次函数关系式的问题，解题关键在于根据题意列出等式，然

后再变形为要求的形式.

12.中国电信公司最近推出的无线市话小灵通的通话收费标准为：前3分钟（不足3分钟按3分

钟）为0.2元；3分钟后每分钟收0.1元，则一次通话实际那为x分钟（x>3）与这次通话的

费用y（元）之间的函数关系是（）

A.y=0.2+0.lxB.y=0.lxC.y=-0.1+0.lxD.y=0.5+0.lx

【考点分析】根据实际问题列一次函数关系式.

【考点剖析】话费=三分钟以内的基本话费0.2+超过3分钟的时间X0.1,把相关数值代入即

可求解.

【解答】解：根据题意可知：超过3分钟的话费为0.IX（x-3）,

则通话时间x分钟（x>3）与通话费用y之间的函数关系是：y=0.2+0.1（x-3）=0.lx-

0.1.

故选C.

【点评】本题考查根据实际问题列一次函数关系式的知识，解决本题的关键是理解话费分为规

定时间的费用+超过规定时间的费用.

13.巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A

地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图.若返回时，上、下坡速

度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（）

A.45.2分钟B.48分钟C.46分钟D.33分钟

【考点分析】一次函数的应用.

【考点剖析】由图象可知校车在上坡时的速度为200米每分钟，长度为3600米；下坡时的速度

为500米每分钟，长度为6000米；又因为返回时上下坡速度不变，总路程相等，根据题意列出

各段所用时间相加即可得到答案.

【解答】解：由上图可知，上坡的路程为3600米，速度为200米每分钟；

下坡时的路程为6000米，速度为6000+(46-18-8X2)=500米每分钟；

由于返回时上下坡互换，变为上坡路程为6000米，所以所用时间为30分钟；

停8分钟；

下坡路程为3600米，所用时间是7.2分钟；

故总时间为30+8+7.2=45.2分钟.

故选A

【点评】此题主要考查学生对分段问题的处理功底和往返问题的理解.

14.附加题：将长为30cm,宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部

分的宽为3cm.设x张白纸粘合后的总长度为ycm,写出y与x的函数关系式，并求出当x=20

时，y的值.

【考点分析】根据实际问题列一次函数关系式.

【专题】几何图形问题.

【考点剖析】白纸粘合后的总长度=x张白纸的长-（X-1）个粘合部分的宽，把相关数值代

入即可求