第1章 利息的基本概念0

金融数学考情分析1．考查内容（1）利息理论（分数比例约为30%）（2）利率期限结构与随机利率模型（分数比例16%）（3）金融衍生工具定价理论（分数比例26%）（4）投资理论（分数比例28%）2．考试方式考试采用闭卷方式进行，题型为客观题（一般30题单项选择），考试时间为3小时，满分100分，最后按10分制计，6分以上（包括6分）为及格。3．讲解内容（1）结合最新大纲讲解知识点（2）结合经典例题及历年考试真题剖析常考考点4．指定教材及推荐教辅（1）指定参考书：《金融数学》，徐景峰主编，杨静平主审，中国财政经济出版社，2010年（2）推荐教辅：《金融数学过关必做1000题（含历年真题）》，圣才学习网主编，2011年第一篇

利息理论

第1章利息的基本概念

【考试要求】

1.1利息度量

实际利率单利和复利实际贴现率名义利率和名义贴现率利息力

1.2利息问题求解

价值等式投资期的确定未知时间问题未知利率问题

【要点详解】

§1.1利息度量

1．实际利率

（1）本金：每项业务开始时投资的金额。（2）积累值（或终值）：业务在一定时间后回收到的总金额。（3）积累函数a（t）：是指0时刻的本金1在时刻t的积累值。显然，a（0）=1，且a（t）通常为单增函数。（4）总量函数A（t）：是指本金为k的投资在时刻t≥0时的积累值。显然，A（t）=k·a（t）。（5）折现函数a-1（t）：积累函数a（t）的倒数。

特别地，把一期折现因子a-1（1）简称为折现因子，并记为v。（6）现值（或折现值）：是指为在t期末得到某个积累值，而在开始投资的本金金额。

显然，a-1（t）是在t期末支付1的现值。

（7）把从投资日起第n个时期所得到的利息金额记为In，则：

注意：In是指一个时间区间上所得利息的量，而A（n）则是在某一特定时刻的积累量。

（8）实际利率

①对于一个度量期：某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比。通常用字母i来表示实际利率。

②对于多个度量期：把从投资日算起第n个度量期的实际利率记为in，则：

【例题1.1】已知A（t）=t2+2t+3，要使in≤10%，则n至少等于（）。[2008年春季真题]

A．18

B．19

C．20

D．21

E．22

【答案】D

【解析】由已知A（t）=t2+2t+3，得：令in≤10%，得：即n2－20n－8≥0，

解得：n≥20.39，故取n=21。

2．单利和复利

（1）单利

如果一单位本金在t时的积累值a（t）=1+i·t，那么就说该比投资以每期单利i计息，并将这样产生的利息称为单利。

（2）复利

如果一单位本金在t时的积累值a（t）=（1+i）t，那么就说该笔投资以每期复利i计息，并将这样产生的利息称为复利。

（3）①以每期单利i计息时，第n期的实际利率为

显然，常数的单利意味着递减的实际利率。

②以每期复利i计息时，第n期的实际利率为

显然，常数的复利意味着常数的实际利率。

【例题1.2】某人初始投资额为100，假定年复利为4%，则这个人从第6年到第10年的5年间所赚利息为（）。[2008年春季真题]

A．26

B．27

C．28

D．29

E．30

【答案】A

【解析】从第6年到第10年的5年间所赚利息为：

100[（1+0.04）10－（1+0.04）5]=26

3．实际贴现率

（1）某一度量期的实际贴现率：是指该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。通常用字母d来表示实际贴现率。

（2）对于有多个度量期的情形，可以分别定义各个度量期的实际贴现率，令dn为从投资日算起第n个时期的实际贴现率，则

（3）三个重要关系

①实际利率i与实际贴现率d的关系：

②实际贴现率d与实际利率i的关系：

③贴现率d与折现因子v的关系：

d=iv

（4）单贴现、复贴现

①对于单贴现，第n期的实际贴现率为：显然，常数的单贴现率意味着单增的实际贴现率。

②对于复贴现，第n期的实际贴现率为：

显然，常数的复贴现率意味着常数的实际贴现率。

【例题1.3】已知年利率为9%，为了在第三年末得到1000元，分别用单利和复利进行计算，在开始时必须投资（）元。

A．785.0；768.0

B．786.2；770.2

C．787.4；772.2

D．788.6；774.3

E．789.7；776.5

【答案】C

【解析】①按单利计算：②按复利计算：

4．名义利率与名义贴现率

（1）定义：在一个度量期中利息支付不止一次或在多个度量期利息才支付一次，称相应的一个度量期的利率和贴现率为“名义”的。记i（m）为每一度量期付m次利息的名义利率，d（m）为每一度量期付m次利息的名义贴现率。（2）三个重要关系

①名义利率i（m）与实际利率i之间的关系：

②名义贴现率d（m）与实际贴现率d之间的关系：

③名义利率i（m）与名义贴现率d（m）之间的关系：

【例题1.4】假定名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%，则1000元在3年末的积累值为（）元。[2008年春季真题]

A．1065.2

B．1089.4

C．1137.3

D．1195.6

E．1220.1

【答案】D

【解析】1000元在3年末的积累值为：

【例题1.5】已知在未来三年中，银行第一年的实际利率为7.5%，第二年按计息两次的名义利率12%计息，第三年按计息四次的名义利率12.5%计息，某人为了在第三年未得到500000元的款项，第一年初需要存入银行多少？（）[2011年春季真题]

A．365001

B．365389

C．366011

D．366718

E．367282

【答案】C

【解析】设第一年初需存入银行X元，则得：X=366010.853。

【例题1.6】已知，则m=（）。

A．30

B．33

C．35

D．37

E．40

【答案】A

【解析】由已知条件，得：

又由，可得：故m=30。

5．利息力

（1）定义：对利息在各个时间点上的度量称为利息力。即定义

为t时刻的利息力。由δt的定义可知，δt为t时每一单位资金的变化率。（2）应用：（3）在利息力为常数的情况下，δ与i的关系为：

【例题1.7】已知0时刻在基金A中投资一元到t时刻的积累值为1.5t+1，在基金B中投资一元到3t时刻的积累值为9t2-3t+1元，假设在t时刻基金B的利息力为基金A的利息力的两倍，则0时刻在基金B中投资10000元，在7t时刻的积累值为（）。[2011年春季真题]

A．566901

B．567902

C．569100

D．570000

E．570292

【答案】D

【解析】由题意知，

又因为

即

解得t=8/7，因此

【例题1.8】已知，则第10年的d（2）等于（）。[2008年春季真题]

A．0.1671

B．0.1688

C．0.1715

D．0.1818

E．0.1874

【答案】D

【解析】由已知条件得：，所以，

又，故。

【例题1.9】己知δt=abt，其中a>0，b>0为常数，则积累函数a（t）为（）。[2008年春季真题]

【答案】E

【解析】

【例题1.10】甲基金以月度转换12%的利率积累，乙基金以利息力δt=t/6积累，期初存入两支基金相等的金额，则两支基金金额相等的下一个时刻为（）。[2008年春季真题]

A．1.4328

B．1.4335

C．1.4362

D．1.4371

E．1.4386

【答案】A

【解析】不妨设期初存入的金额为1，则甲基金的积累值为：乙基金的积累值为：由S1（t）=S2（t），得：，解得：t=1.4328。

【例题1.11】基金A在利息力函数δt=a+bt下积累，基金B在利息力函数δt=g+ht下积累，在t＝0和t＝n时，基金A与基金B价值相等。已知a＞g＞0，h＞b＞0，计算n=（）。

【答案】C

【解析】t＝n时，基金A的积累值为：，基金B的积累值为：，已知t＝n时基金A与基金B价值相等，即：解得：。

§1.2利息问题求解

1．价值等式

通常，一个简单的利息问题包括以下四个基本量：（1）最初投资的本金；（2）投资时期的长度；（3）利率；（4）本金在投资期末的积累值。如果已知其中的任何三个，就可以建立一个价值等式，由此等式确定第四个量。

【例题1.12】甲基金按6%的年利率增长，乙基金按8%的年利率增长，在第20年的年末两个基金之和为2000，在第10年末甲基金是乙基金的一半，则第5年年末两基金之和为（）。[2008年春季真题]

A．652.86

B．663.24

C．674.55

D．682.54

E．690.30

【答案】E

【解析】设甲、乙基金分别为P、R，则有：解方程组，得：故第5年年末两基金之和为：

【例题1.13】某账户在2008年1月1日有一笔存款，4月1日取走50元，7月1日存入100元，9月1日存入30元，到了2009年1月1日，账户内金额为1051元，该年度的基金收益率为1.12%。则2008年1月1日的存款及2008年度获得的利息分别为（）元。

A．955；10

B．960；11

C．965；12

D．970；13

E．975；14

【答案】B

【解析】设2008年1月1日的存款为A元，又i=0.0112，由题意，得：解之，得：A=959.95≈960；故2008年度获得的利息为：1051－960－100－30+50=11（元）。

2．投资期的确定

（1）年数：在实际问题中常常会遇到投资时期不为整数个度量期的情况，通常定义：

由于一般在投资期不足一个度量期的情况下，通常使用单利来计息，因此计算利息的基本公式可表示为：利息=金额×利率×年数（2）对国际金融领域来说，目前常用的方法有以下三种：

①严格单利法（英国法）。计算公式为：

②常规单利法（欧洲大陆法，常记为“30/360”）。计算公式为：天数=360（Y2－Y1）＋30（M2－M1）＋（D2－D1）（1.10）其中：Y1为第一日期的年份；Y2为第二日期的年份；

M1为第一日期的月份；M2为第二日期的月份；

D1为第一日期的日期；D2为第二日期的日期。

③银行家规则（欧洲货币法，常记为“实际/360”）。计算公式为：

【例题1.14】王女士在2008年3月13日存入1000元，于2008年的11月27日取出，利率为单利8%。则分别按英国法和银行家规则计算其利息金额为（）元。

A．53.8；54.6

B．54.8；55.6

C．55.8；56.6

D．56.2；57.6

E．56.8；57.6

【答案】E

【解析】①按英国法计算：天数=31+30+31+30+31+31+30+31+14=259（天），年数=259/365=0.71。故利息金额为：I1=1000×8%×0.71=56.8（元）；

②按银行家规则计算：天数=259天，年数=259/360=0.72。故利息金额为：I2=1000×8%×0.72=57.6（元）。

3．未知时间问题

（1）对于只有一次付款的未知时间问题，常用的方法有：

①使用计算机或具有指数和对数函数的计算器，此方法是最简单和最有效的；

②利用复利函数表；

③级数展开法；

④对整数时期用复利，对非整数时期用单利近似。（2）不同时刻的多次付款情形，可以利用等时间法：设在t1，t1，…，tn时分别付出s1，s1，…，sn，在等时间法下的t近似为：

【例题1.15】在第n年末付款n，第2n年末付款2n，第mn年末付款mn。则按等时间法确定的t的近似值为（）。

【答案】C

【解析】

4．未知利率问题

（1）单次付款的未知利率问题可直接由价值等式，借助具有指数函数和对数函数的计算器来得到利率的数值解。（2）多次付款的未知利率问题特殊情况下可用代数方法解价值方程；一般情况，有以下两种方法：

①线性插值法：先利用复利表，确定两个