微专题3-1三角函数的周期性与解三角形（两大核心考点）原卷版

微专题31三角函数的周期性与解三角形（两大核心考点）【考点目录】考点一：三角函数的周期性考点二：解三角形考点一：三角函数的周期性1．三角函数的周期性周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．一．解答题（共13小题）1．（2024•上海）已知，．（1）设，求解：，，的值域；（2），的最小正周期为，若在，上恰有3个零点，求的取值范围．2．（2023秋•安徽期中）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）已知，且，求的值．3．（2023秋•杭州期末）设函数；（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在上的最大值．4．（2023秋•重庆月考）求下列函数的周期．（1）；（2）．5．（2023春•泉州期末）设函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值．6．（2023春•泉州期中）已知函数．的最小正周期为．（Ⅰ）求的值和单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的值域．7．（2023春•泗水县期中）已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．求：（1）的最小正周期；（2）在区间的取值范围．8．（2023秋•普陀区校级期中）已知．（1）函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；（2）已知，，求函数，的值域．9．（2023春•黄浦区期末）已知定义在上的函数，满足，当时，．（1）若函数的最小正周期为，求证：，为奇函数；（2）设，若，函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围．10．（2023春•南海区月考）已知函数，该函数我们可以看作是函数与相加，利用这两个函数的性质，我们可以探究的函数性质．（1）求出的最小正周期；（2）写出的所有对称中心（不需要说明理由）；（3）求使成立的的取值的集合．11．（2022秋•奉贤区校级月考）已知．（1）若的周期是，求，并求此时满足条件的角的集合；（2）若，，求的值域．12．（2022春•杨浦区校级期中）已知函数，是周期为的周期函数，当时，．（1）求的值；（2）当时，求的表达式；（3）设，求方程的解集．13．（2021春•徐汇区校级月考）设函数．（1）求的最小正周期；（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时，的最小值（a）．考点二：解三角形1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b2Ra：b：c＝sinA：sinB：sinCasinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=cosB=cosC=解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角求第三边和其他两角2．三角形面积公式（1）S=12a•ha（ha表示边（2）S=12absinC=12acsinB=（3）S=12r（a+b+c）（3．解三角形常用结论名称公式变形内角和定理A+B+C＝πA22A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=正弦定理asinAR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，sinA=b＝2RsinB，sinB=c＝2RsinC，sinC=射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式S△=12aha=12bhS△=12absinC=12acsinBS△=12（a+b+c（r为△ABC内切圆半径）sinA=sinB＝2SsinC=一．解答题（共37小题）1．（2023•上海）在中，角、、所对应的边分别为、、，其中．（1）若，，求边长；（2）若，，求的面积．2．（2022•新疆模拟）设的内角，，所对边的长分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，为的中点，求的长．3．（2023•定西模拟）在中，角，，所对的边分别为．（1）证明：；（2）若，求的面积．4．（2023•临汾模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）若，求的面积．5．（2023•常州模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，面积为，满足．（1）证明：；（2）求所有正整数，的值，使得和同时成立．6．（2023春•彭泽县校级期中）内角，，的对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，，求的值．7．（2023春•黔西南州期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，（1）求；（2）若，且，求的面积．8．（2023秋•浙江月考）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且满足（1）求；（2）若，面积为，求的周长．9．（2023秋•洪山区月考）已知，，分别是三角形三个内角，，的对边，已知，，．（1）求的值；（2）求的周长．10．（2023春•承德期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，当的面积最大时，求内切圆的面积．11．（2023春•韩城市校级期中）已知中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若的面积，且，求的周长．12．（2023春•大通县期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且的面积为，，．（1）求的周长；（2）求角的度数．13．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，．（1）若，求、；（2）若，求．14．（2021•上海）在中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．15．（2023•河东区二模）中，角，，所对边分别为，，，且，，．（Ⅰ）求边及的值；（Ⅱ）求的值．16．（2023•和平区一模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求的大小；（2）若．（ⅰ）求的面积；（ⅱ）求．17．（2022•兴庆区校级一模）在中，，，分别为内角，，的对边，若．（1）求；（2）若，求周长的取值范围．18．（2023•广州一模）记的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）证明：；（2）若，求的面积．19．（2023•泉州模拟）在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且边上的高为，求的周长．20．（2023•杭州一模）已知中角、、所对的边分别为、、，且满足，．（1）求角；（2）若，边上中线，求的面积．21．（2023•深圳二模）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）证明：；（2）若，，，求的长度．22．（2023•晋中二模）的内角，，的对边分别为，，，其中，且满足．（1）求的外接圆半径；（2）若的平分线交于点，且，求的面积．23．（2023•湖北模拟）在锐角中，角，，所对的边分别是，，，满足．（1）求证：；（2）求的取值范围．24．（2023•沙坪坝区校级模拟）记三个内角分别为，，，其对边分别为，，，且满足，其中，，依次成等比数列．（1）求；（2）已知的面积为，求的周长．25．（2023•南关区校级模拟）已知中角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若，且的面积为，求周长．26．（2023•湖南模拟）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足．（1）求证：；（2）求的最大值．27．（2023•嘉兴二模）在中，角，，所对的边分别是，，．已知．（1）若，求；（2）求的取值范围．28．（2023•咸阳模拟）的内角，，的对边分别为，，，已知，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的周长．29．（2023•铜川二模）在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）证明：；（2）若，当角取得最大值时，求的面积．30．（2023•九江二模）在锐角中，角，，所对的边为，，，已知，．（1）求；（2）求的取值范围．31．（2023•泰州模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）若，求的面积．32．（2023•辽宁模拟）在中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积．33．（2023•广西模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求．（2）若点在边上，且，求．34．（2023•九龙坡区校级开学）在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的最大值．35．（2023•