2020高考数学（理）通用版课时跟踪检测（十三）函数模型及其应用

课时跟踪检测（十三）函数模型及其应用1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝logeq\f(1,2)x解析：选B由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2．(2019·襄阳四中月考)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：选C根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.3．(2019·泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利 B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损 D．略有亏损解析：选D设买入股票时的价格为m(m>0)元，先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m<m，所以该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损，故选D.4．(2019·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A．8 B．9C．10 D．11解析：选C设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n<eq\f(1,1000)，得n≥10，所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C.5．(2019·山西三区八校模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0<a<12)，不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是()解析：选B设AD长为x，则CD长为16－x.又因为要将P点围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.则矩形ABCD的面积为x(16－x)．当0<a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64.当8<a<12时，u＝a(16－a)．u＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64，0<a≤8，,a16－a，8<a<12，))分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近．故选B.6．(2019·广东佛山一中月考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟 B．3.75分钟C．4.00分钟 D．4.25分钟解析：选B由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，所以当t＝3.75时，可食用率p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.7．(2019·绵阳诊断性测试)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A．13立方米 B．14立方米C．15立方米 D．16立方米解析：选C设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，0≤x≤10，,30＋5x－10，x>10，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，0≤x≤10，,5x－20，x>10.))易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15，故选C.8．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝eq\f(x,4)，Q＝eq\f(a,2)eq\r(x)(a>0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为()A.eq\r(5) B．5C.eq\r(2) D．2解析：选A设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,2)·eq\r(20－x).令y≥5，则eq\f(x,4)＋eq\f(a,2)eq\r(20－x)≥5对0≤x≤20恒成立．∴aeq\r(20－x)≥10－eq\f(x,2)，∴a≥eq\f(1,2)eq\r(20－x)对0≤x≤20恒成立．∵f(x)＝eq\f(1,2)eq\r(20－x)的最大值为eq\r(5)，且x＝20时，aeq\r(20－x)≥10－eq\f(x,2)也成立，∴amin＝eq\r(5).故选A.9．(2019·南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年后，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f(x)的图象大致为()解析：选D设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x年后，绿化面积g(x)＝a(1＋18%)x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y，则y＝f(x)＝eq\f(gx,a)＝(1＋18%)x＝1.18x，因为y＝1.18x为底数大于1的指数函数，故可排除A、C，当x＝0时，y＝1，可排除B，故选D.10．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10eq\f(x,25)＋500C．y＝eq\f(1,1000)(x－50)3＋625 D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]解析：选C由题意知，拟定函数应用满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y＝(x－50)2＋500先减后增，不符合要求；B中，函数y＝10eq\f(x,25)＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D中，函数y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y＝eq\f(1,1000)(x－50)3＋625是由函数y＝x3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.11．(2019·福建三明期末)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度为T，则T－Ta＝(T0－Ta)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,h)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40℃降温到32℃时，还需要________分钟．解析：88℃的速溶咖啡放在24℃的房间中，降到40℃需要20分钟，则由题意知Ta＝24，T0＝88，T＝40，t＝20，可得40－24＝(88－24)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(20,h)，解得h＝10，此杯咖啡从40℃降温到32℃时，可得32－24＝(40－24)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,10)，解得t＝10.答案：1012．(2019·湖南重点中学联考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年．(参考数据：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30)解析：设公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是n，则130×(1＋12%)n－2016>200，化为(n－2016)lg1.12>lg2－lg1.3，所以n－2016>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)＝eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，即n>2019.8，所以n＝2020，即开始超过200万元的年份为2020年.答案：202013．(2019·河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数且a>0)，广告效应D＝aeq\r(A)－A.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)解析：由题意得D＝aeq\r(A)－A＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(A)－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)，且A≥0，∴当eq\r(A)＝eq\f(a,2)，即A＝eq\f(a2,4)时，D最大，最大为eq\f(a2,4).答案：eq\f(a2,4)14．(2019·湖北七州联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt，P0为过滤前的污染物数量．如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．解析：由题设可得(1－0.1)P0＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln0.9；又(1－0.19)P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，故－kt＝ln0.81＝2ln0.9＝－10k，故t＝10，应填10.答案：1015．(2019·江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4eq\r(2a)，Q＝eq\f(1,4)a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？解：(1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f(50)＝80＋4eq\r(2×50)＋eq\f(1,4)×150＋120＝277.5.(2)由题知，f(x)＝80＋4eq\r(2x)＋eq\f(1,4)(200－x)＋120＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥20，,200－x≥20，))解得20≤x≤180，故f(x)＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250(20≤x≤180)．令t＝eq\r(x)，则t2＝x，t∈[2eq\r(5)，6eq\r(5)]，y＝－eq\f(1,4)t2＋4eq\r(2)t＋250＝－eq\f(1,4)(t－8eq\r(2))2＋282，当t＝8eq\r(2)，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．16．(2019·福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144，,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500，))且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不