5.3.1样本事件与空间

5.3.1样本事件与空间TOC\o"13"\h\z\u题型1样本点与样本空间 2题型2事件类型的判断 6题型3随机事件的概率 11知识点一.随机试验的概念和特点1.随机试验∶我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示.2.随机试验的特点∶①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.知识点二.样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点用ω表示样本点样本空间把由所有样本点组成的集合称为样本空间通常用大写希腊字母Ω表示有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…ωn，则称样本空间Ω={ω1，ωΩ={ω1，ω2，…知识点三.随机事件1.不可能事件∶在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果.2.必然事件∶在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中一定会发生的结果.3.随机事件∶如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集，而且∶若试验的结果是A中的元素，则称A发生（或出现等）；否则，称A不发生（或不出现等）.在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果.注意：（1）不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件。（2）任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生。4.事件的表示∶不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件．通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的韦恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件.知识点四.随机事件的概率（1）我们将不可能事件∅发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，即P（∅）=0,P(Ω)=1.任意事件A的概率为∶0≤P（A）≤1.(2)事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0（如图）.题型1样本点与样本空间【方法总结】1.样本空间只与问题的背景有关，根据问题的背景明确试验的每个可能的基本结果；2.根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有样本点，用集合表示成样本空间.也可以借助树状图、列表等方法帮助我们列出试验的所有可能结果.【例题1】（2023上·高一课时练习）高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】B【分析】根据题意结合列举法运算求解.【详解】从A，B，C，D，E五人中选两人，不同的选法有：A,B,所以样本空间中样本点的个数为10．故选：B.【变式11】1．（2023上·高一课时练习）做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出：(1)试验的样本空间Ω；(2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点；(3)事件“出现点数相等”包含的样本点；(4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)【分析】列举法写出样本点即可.【详解】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．（2）“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).（3）“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).（4）“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).【变式11】2．（2023下·山东菏泽·高一校考阶段练习）已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动．(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作．设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，记事件M=“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，试用所给字母写出事件M包含的样本点；【答案】(1)分别抽取3人，2人，2人(2)答案见解析【分析】（1）利用分层抽样的定义结合已知条件求解即可，（2）根据题意利用列举法求解【详解】（1）由题意知，高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者人数之比为180:120:120=3:2:2，又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学．故应从高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）M=A,B，A,C，A,D，A,E，A,F，A,G，B,C，B,D，B,E，B,F，B,G，C,D，C,E，C,F，C,G【变式11】3．（2023·高一课时练习）从A、B、C、D、E这5名学生中任意抽取3人参加学校组织的座谈会．(1)写出该试验的样本空间；(2)写出事件“A被选中”包含的样本点．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用列举法直接求解样本空间；（2）利用列举法直接求解样本点.【详解】（1）该试验的样本空间为：Ω={(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E)}（2）事件“A被选中”包含6个样本点，分别为(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E)．【变式11】4.（2023·高一课时练习）做试验“从-1，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x,y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)写出这个试验样本点的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．【答案】(1)答案见解析(2)6(3)(2,-1)，(2,1)【分析】（1）根据样本空间的定义求解；（2）直接计数可得；（3）由（1）可得．【详解】（1）这个试验的样本空间Ω={(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,2),(2,-1),(2,1)}（2）易知这个试验的样本点的总数是6．（3）“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点为：(2,-1)，(2,1).题型2事件类型的判断【方法总结】判断一个事件是哪类事件要看两点一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.【例题2】（2022上·黑龙江牡丹江·高二校考阶段练习）以下事件是随机事件的是（

）A．标准大气压下，水加热到100°C，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯C．长和宽分别为a,b的矩形，其面积为【答案】B【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为a,b的矩形，其面积为D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．【变式21】1．（多选）（2022·高一课时练习）（多选）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是（

）A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张红色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件【答案】ABC【分析】由随机事件、不可能事件、必然事件的概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D不正确.故选：ABC.【变式21】2．（2021上·高一课时练习）在12件同类产品中，有10件正品，2件次品.从中任意抽出3件.下列事件中:①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品.随机事件有，必然事件有，不可能事件有.【答案】①②④③【分析】根据正品和次品产品的数目，结合事件的概念，即可得出答案.【详解】对于①，由题意知，抽出的3件可能都是正品，故①是随机事件；对于②，由题意知，抽出的3件可能包含次品，也可能不包含次品，故②是随机事件；对于③，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，故③是不可能事件；对于④，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，即至少有一件正品，故④是必然事件.故答案为：①②；④；③.【变式21】3．（2023上·高一课时练习）判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．①“抛一石块，下落”；②“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；③“某人射击一次，中靶”；④“如果a>b，那么a-b>0”；⑤“掷一枚硬币，出现正面”；⑥“导体通电后，发热”；⑦“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；⑧“某机在1分钟内收到2次呼叫”；⑨“没有水分，种子能发芽”；⑩“在常温下，焊锡熔化”．【答案】事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是随机事件．【分析】利用必然事件、不可能事件、随机事件的意义逐一判断各个命题作答.【详解】依题意，事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是随机事件.【变式21】4．（2020·安徽·）从4名男生，2名女生中随机抽取3人，则下列事件中的必然事件是（

）A．至少有2名男生 B．至少有1名男生C．3人都是男生 D．有2名女生【答案】B【分析】从4名男生，2名女生中随机抽取3人，显然必有1名男生，根据这个事实对四个选项逐一判断.【详解】从4名男生，2名女生中随机抽取3人，有可能2名女生1名男生，选项A、C错误；也有可能3人全是男生，选项D错误，只要选项B是必然事件.故选:B【点睛】本题考查了对必然事件的理解.解题的关键是对问题的隐含事实的认识.【变式21】5．（2020·江西·南昌县莲塘第三中学）下列事件中是随机事件的个数有

①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据随机事件就是在指定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断，得到答案.【详解】由题意，随机事件就是在指定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点可能发生，也可能不发生，所以是随机事件，②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定发生的事件，不是随机事件；③某人买彩票中奖，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾，此事一定不发生，不是随机事件.故选C.【点睛】本题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念及判断，其中熟记随机事件的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.【变式21】6．（2020下·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．任一事件的概率总在0,1内 B．不可能事件的概率一定为0C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】D【分析】结合概率的定义和性质一一判断选项即可．【详解】解：任一事件的概率总在0,1内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．故选：D．【点睛】本题主要考查概率的定义与性质，属于基础题．题型3随机事件的概率【方法总结】1.概率的性质必然事件Ω的概率P（Ω）=1。不可能事件∅的概率P（∅）=0。随机事件A的概率P（A）∈（0，1）。2.概率的意义概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的。【例题3】（2020下·江苏常州·高一统考期末）抛掷一枚硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（

）A．110 B．19 C．1【答案】D【分析】由正面向上或正面向下可能性相同可求出所求概率.【详解】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同，则概率为12故选:D．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题.【变式31】1．（2020下·山东青岛·高二校考期中）分别独立的扔一枚骰子和硬币，并记下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果中含有“1点或正面向上”的概率为（

）A．512 B．12 C．7【答案】C【分析】列出所有的基本事件，再结果中含有“1点或正面向上”的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求得.【详解】分别独立的扔一枚骰子和硬币,所以的基本事件是：1正面向上，1反面向上，2正面向上，2反面向上，3正面向上，3反面向上，4正面向上，4反面向上，5正面向上，5反面向上，6正面向上，6反面向上.共12个基本事件.含有“1点或正面向上”有1正面向上，1反面向上，2正面向上，3正面向上，4正面向上，5正面向上，6正面向上，共7个基本事件，结果中含有“1点或正面向上”的概率为：712故选：C.【点睛】本题主要考查的是随机事件概率的求解，古典概型的概率求解，利用列举法求解是解题的关键，是基础题.【变式31】2．（2022·新疆·塔城市第三中学）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是A．1999 B．11000 C．999【答案】D【详解】每一次出现正面朝上的概率相等都是12【变式31】3．（2020·北京市第四十三中学高一阶段练习）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签