6.2.4向量的数量积（8大题型）

向量的数量积1、了解向量数量积的物理背景，即物体在力的作用下产生位移所做的功；2、掌握向量数量积的定义及投影向量，会计算平面向量的数量积；3、掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式；4、会利用向量数量积的有关运算进行进行或证明。一、向量的数量积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角．（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．2、向量的数量积的定义（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；（2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；3、向量在上的投影向量（1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．（2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．（3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积3、向量数量积的物理背景如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。二、平面向量数量积的性质与运算律1、平面向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则（1）；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；（4）cosθ＝；（5）2、平面向量数量积满足的运算律（1）；（3）(λ为实数)；（3）；（4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．（5）平面向量数量积运算的常用公式三、求平面向量数量积的方法（1）定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；（2）运算律转化法：由可得如下运算公式：；；；（3）利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。题型一平面向量数量积的概念【例1】（2023·高一单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（）A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直【答案】C【解析】对于任意得两个非零向量，，其中.若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确；若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确；若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误；若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确.故选:C.【变式11】（2023·四川乐山·高一期末）（多选）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（）A．B．C．若，，则D．，则【答案】BD【解析】对于A：表示与共线的一个向量，表示与共线的一个向量，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：因为，即，又，所以，即向量与在向量方向上的投影相同，故C错误；对于D：若，则，即，所以，则，故D正确；故选：BD【变式12】（2023·全国·高一专题练习）下列结论中正确的有．①“与共线”是“存在实数使”的必要非充分条件②；③或；④；⑤，其中；⑥若，则为钝角；【答案】①⑤【解析】对于①，当时，与共线，不存在实数使，反之，存在实数使，则与共线，因此“与共线”是“存在实数使”的必要非充分条件，①正确；对于②，当时，，而为非零向量，，②不正确；对于③，当时，，此时均为非零向量，③不正确；对于④，是与共线的向量，是与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等，④不正确；对于⑤，由平面向量数量积的运算律知，，成立，⑤正确；对于⑥，当时，，因此当时，可能为，⑥不正确，所以结论中正确的有①⑤.【变式13】（2023·四川成都·高二成都七中校考期中）（多选）下列说法正确的是（）A．对任意向量，都有B．若且，则C．对任意向量，都有D．对任意向量，都有【答案】AD【解析】，，可得，故选项A正确；由可得，又，可得或，故选项B错误；,所以不一定成立，故选项C错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D正确；故选：AD.题型二平面向量数量积的运算【例2】（2024·山东济南·高二期末）在三角形中，，，，则（）A．10B．12C．D．【答案】A【解析】记，则，，，．故选：A.【变式21】（2024·全国·高一课时练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（）A．B．C．D．12【答案】A【解析】依题意，，所以.故选：A【变式22】（2023·山西运城·高一统考期中）设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则．【答案】5【解析】由已知，．【变式23】（2023·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则．【答案】【解析】在中，由，得，则，又，所以，解得．题型三平面向量模的相关运算【例3】（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，，且，的夹角为，则（）A．1B．C．2D．【答案】D【解析】由题意得，所以，故，故选：D【变式31】（2023·四川甘孜·统考一模）已知平面向量，且与的夹角为，则（）A．B．4C．2D．0【答案】C【解析】因为，所以，故选：C.【变式32】（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知向量的夹角为，，则.【答案】【解析】由题意可得：，所以.【变式33】（2023·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知向量、满足，，则.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴．题型四平面向量的夹角问题【例4】（2023·河南焦作·高一校考阶段练习）设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由等式，两边平方得：，则，且，所以.，即.故选：B.【变式41】（2023·宁夏吴忠·高一期末）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由题意可得，故，，，故，由于，故，故选：C.【变式42】（2023·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）在平行四边形中，，，若，，则与夹角的余弦值是.【答案】【解析】如图，在平行四边形中，，，若，则，，设与夹角为θ，由，得，∴，解得．∴与夹角的余弦值是．【变式43】（2023·安徽芜湖·高一无为襄安中学校考期中）已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，（1）求实数的值；（2）求向量与的夹角．【答案】（1）；（2）【解析】（1）若向量与共线，则存在实数，使得，则，则；（2）由（1）知，，，，，所以，且，所以.题型五平面向量的垂直问题【例5】（2023·山东青岛·高一统考期中）已知非零向量满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量与向量垂直，所以，所以，因为向量与向量垂直，所以，所以，所以，即，所以，又，所以，即与的夹角为.故选：C【变式51】（2023·贵州遵义·高一统考期末）（多选）已知单位向量，，则使成立的充分条件是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】因为，为单位向量，所以，若，则，即，即，所以或，则或，故使成立的充分条件可以是、.故选：AC【变式52】（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）（多选）是边长为2的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的是（）．A．为单位向量B．C．D．【答案】BD【解析】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，，，所以，即不是单位向量，故选项A错误；因为，，所以，故选项B正确；由，得，，故，夹角为，故选项C错误；因为，故D正确．故选：BD．【变式53】（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）已知，，与的夹角是.（1）计算；（2）当k为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】（1），，与的夹角是，则，即有；（2）由可得，即，即，解得.则当k为时，；、综上，（1），（2）.题型六求平面向量的投影向量【例6】（2023·河北·高一校联考阶段练习）设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，在上的投影向量为．故选：D．【变式61】（2023·天津·高一蓟州区第一中学校联考期中）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，在上的投影向量为，故选：C【变式62】（2023·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）已知非零向量，满足，则在上的投影向量为．【答案】【解析】由题意可知，，且，整理为，即，即在上的投影向量为.【变式63】（2023·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则．【答案】【解析】在上投影向量为，即，故.题型七由数量积判断多边形形状【例7】（2023·四川自贡·高一校考期中）若四边形满足，，则该四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．直角梯形【答案】C【解析】因，所以，故，且，故四边形为平行四边形，由得，即，所以平行四边形对角线互相垂直，故四边形为菱形.故选：C【变式71】（2023·北京·高一校考期中）在平行四边形中，，则平行四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，所以，即，所以平行四边形为矩形.故选：B【变式72】（2023·山东青岛·高一统考期中）在中，，若，则下列结论正确的为（）A．一定为钝角三角形B．一定不为直角三角形C．一定为锐角三角形D．可为任意三角形【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状，故可为任意三角形，故选：D【变式73】（2023·福建泉州·高一校联考期中）中，，，则为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解析】∵因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则在的平分线上，又，∴的角平分线垂直于，根据等腰三角形三线合一定理得到为等腰三角形，且，又∵，则，则，又，所以，所以，可得，所以是等腰直角三角形，故选：D.题型八平面向量数量积的最值【例8】（2023·河北衡水·高一武邑中学校考期末）如图，在边长为的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，其中为在上的投影，又因为点为边长为的等边中线上的动点，点为的中点，当点与点重合时，为等边三角形，此时有最大值，所以，当点与点重合时，此时有最小值，，所以，又，所以，即．故选：B．【变式81】（2023·北京西城·高一统考期末）已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设的中点为，因为，，所以，，，因为，所以.故选：A【变式82】（2023·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）已知正方形的边长为，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（）A．B．