专题06平面向量的概念与线性运算（知识梳理精讲）

专题06平面向量的概念与线性运算知识点一平面向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．题型1：平面向量的基本概念例1．（1）、（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则C． D．若，则【答案】D【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；由单位向量对于可知，，故B正确；因为，所以，故C正确；因为两个向量不能比较大小，故D错误；故选：D（2）、（2021上·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，真命题的个数是（

）①任一向量与它的相反向量不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③若，则；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用零向量、相等向量与向量的模的定义逐一判断即可.【详解】对于①，因为零向量与它的相反向量相等，所以①不是真命题；对于②，根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，所以②是真命题；对于③，当时，满足，但，所以③不是真命题；对于④，只要模相等，方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，所以④不是真命题.综上，只有②是真命题，即真命题的个数是.故选：B.（3）、（2023下·四川眉山·高一校考期中）（多选题）给出下列命题，其中假命题为（

）A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；C．若与同向，且，则；D．为实数，若，则与共线.【答案】ACD【分析】根据向量的相关概念，向量共线及向量相等，逐个分析判断即可【详解】对于A，两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以它们不一定是共线向量，所以A错误，对于B，当是不共线的四点，若，则四边形是平行四边形，若四边形是平行四边形，则，所以是四边形为平行四边形的充要条件，所以B正确，对于C，当与同向，且时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误，对于D，为实数，若，则与不一定共线，如时，与是任意的，所以D错误，故选：ACD1．（2023下·上海浦东新·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；B．若，且与的方向相同，则C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；D．若，则与方向相同或相反【答案】B【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断.【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；对于B，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得=，故B正确；对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误.故选：B.2．（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）下列命题不正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则【答案】A【分析】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；D选项，由向量相等的定义知D正确.故选：A3．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）（多选题）下列命题中正确的是（

）A．单位向量的模都相等B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；向量不能够比较大小，故C错误；根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.故选：AD.知识点二平面向量的线性运算（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律②结合律减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则数乘求实数与向量的积的运算（1）（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；当时，（2）共线向量基本定理如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．题型2：平面向量的线性表示例2．（1）、（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，在平行四边形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解.【详解】因为为平行四边形，所以.故选：B.（2）、（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的运算法则可得结果.【详解】,故选：B.（3）、（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值.【详解】∵，∴，又，∴，∵B，P，D三点共线，∴，∴.故选：A.1．（2011上·陕西·高一统考期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.对于B，因为，故，故B正确.对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.对于D，因为交于，故不成立，故D错误，故选：D.2．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在中，为边上的中线，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.【详解】因为，所以由已知可得，，所以，，所以，.故选：A.3．（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知△ABC中，M为BC边上一个动点，若，则的最小值为．【答案】16【分析】根据已知结合图形可得出，进而根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】

由已知可得，共线，所以，，使得，所以有，整理可得，.又，不共线，所以有，则有.显然，所以，，当且仅当，即时等号成立.所以，的最小值为16.故答案为：16.题型3：平面向量共线的应用例3．（1）、（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（

）A．8 B．10 C．13 D．16【答案】D【解析】由题意，如下示意图知：，且，又，所以，故且，故，仅当，即时等号成立.所以的最小值是16.故选：D（2）、（2022上·陕西渭南·高三校考期末）如图所示，中为重心，过点，，，则．【答案】3【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论；【详解】设根据题意，；，，，三点共线，则存在，使得，即，即，，整理得，所以；故答案为：31．（2023·山西·高三校联考阶段练习）如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，因为N，P，C三点共线，所以，解得，所以，所以.故选：B.2．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得出，由得，因为三点共线，所以，解得.故选：D.知识点三平面向量的基本定理和性质（1）平面向量基本定理如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若，则．推论2：若，则．（2）三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在，使得．题型4：平面向量基本定理及应用例4．（1）、（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D.【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；故选：C.（2）、（2023上·江西·高一统考期中）已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则.【答案】【分析】根据向量平行的定义，列出关于的方程，最后求解方程得出答案.【详解】由得，，解得.故答案为：.（3）、（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可.【详解】因为，故同向.对于A:，方向相反,A选项错误；对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误；对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确；对于D:,不能确定的方向，D选项错误.故选：C．1．（2023·上海·高三专题练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】依题意，不共线，A选项，不存在使，所以和可以组成基底.B选项，不存在使，所以和可以组成基底.C选项，，所以和不能构成基底.D选项，不存在使，所以和可以组成基底.故选：C2．（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量不共线，，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线【答案】C【分析】根据向量共线定理进行判断即可.【详解】因为不共线，，，，易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；而，所以A，B，D三点共线，故C正确.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知是两个非零向量，且｜＋｜＝｜｜＋｜｜，则下列说法正确的是

（）A．＋＝ B．＝C．与共线反向 D．存在正实数λ，使＝λ【答案】D【分析】根据共线向量的性质判断即可得解.【详解】因为是两个非零向量，且｜＋｜＝｜｜＋｜｜，则与共线同向，故D正确.故选：D题型5：平面向量的综合应用例5．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知不共线．(1)若，求证：三点共线；(2)若向量与共线，求实数的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明，可得三点共线；（2）利用向量共线的条件，设，列方程组求实数的值．【详解】（1）证明：，，则有，可得且为公共点，所以三点共线.（2）向量与共线，则存在唯一实数，使得，可得，即，解得.例6．（2022·高一课前预习）如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则(1)与的模相等的向量有多少个？(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与共线的向量．【答案】(1)三个(2)，(3)，，【分析】（1）（2）（3）根据平行四边形的性质、共线向量、向量的模的定义判断即可；【详解】（1）解：在平行四边形中，为对角线的交点，所以，且，所以与的模相等的向量有，，三个向量．（2）解：与的模相等且方向相反的向量为，.（3）解：与共线的向量有，，.1．（2022下·陕西西安·高一统考期中）设是不共线的两个向量．(1)若，求证：三点共线；(2)若与共线，求实数的值．【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.（2）由共线性质求出参数即可.【详解】（1）证明:因为，而所以，所以与共线，且有公共点，所以三点共线（2）