2024年中考数学总复习第五部分真题分类汇编第三章函数第5节二次函数的实际应用第2课时几何图形面积问题

3.5二次函数的实际应用第2课时几何图形面积问题1.(2023·天津)如图，要围一个矩形菜园ABCD,共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m,其余的三边②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m²:其中，正确结论的个数是()A.0房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB=m时，羊圈的面积最大.3.(2022·新疆)如图，用一段长为16m的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最三、解答题4.(2023·山东潍坊)工匠师傅预备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少?5.(2023·黑龙江大庆)某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC,AF:BF=3:4,点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BEIIJIIMNICD,制造窗户框的材料总长为16米(图中全部黑线的长度和),设BF=x米，BE=y米.(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大),并计算窗户的最大面积.6.(2023·江苏徐州)如图，正方形纸片ABCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y.(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.7.(2023·山东菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校内，打算用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图所示),花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120(2)在花园面积最大的条件下，A,B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校方案购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹?8.(2022·辽宁沈阳)如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD,铁(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米?木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口(另选材料建出入门).求鸡场面积的最大值.行加长改造(如图①,改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1),同时，再建筑一个周长为12m的矩形水池EFGH(如图②,以下简称水池2).【建立模型】数解析式为：y₂=-x²+6x(0<x<6),【问题解决】(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是_(可省略单位),水池2面积(5)假设水池ABCD的边AD的长度为b(m),其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3),则水池3的总面积y₃(m²)关于x(m)(x>0)的函数解析式为：y₃=x+b(x>0).若水池3与水池2的面积相等时，x(m)有唯一值，求b的值.11.(2022·江苏无锡)某农场方案建筑一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm(如图).(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?12.(2022.湖南湘潭)为落实国家《关于全面加强新时代大中学校劳动教育的意见》,某校预备在校内里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙，围成I、Ⅱ两块矩形劳动实践基地。某数学爱好小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不铺张篱笆墙),请依据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①,全部利用围墙的长度，但要在I区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积(2)方案二：如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长?此时最大面积为多少?一、选择题1.(2023·天津)如图，要围一个矩形菜园ABCD,共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m²;③菜园ABCD面积的最大值为200m².其中，正确结论的个数是()A.0B.1【答案】C【分析】设AB的长为xm,矩形ABCD的面积为ym²,则BC的长为(40-2x)m,依据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别依据AD的长不能超过26m,二次函数的最值，解一元二次方程求解即可.y=x(40-2x)=-2x²+40x=-2(x-10)²+③菜园ABCD面积的最大值为200m²,原说法正确；综上，正确结论的个数是2个，【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，精确     理解题意，列出二次函数解析式是解题的关二、填空题2.(2023·辽宁沈阳)如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD,已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB=m时，羊圈的面积最大.【分析】设AB为xm,则BC=(60-2x)m,依据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解.【详解】解：设AB为xm,面积为Sm²,即AB=15m时，羊圈的面积最大，故答案为：15.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其中要留意应当在自变量的取值范围内求最大值(或最小值),也就是说二次函数的最值不肯定在：时取得.3.(2022·新疆)如图，用一段长为16m的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最【答案】32【分析】设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(16-2x)米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解.【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(16-2x)米，∴当x=4时，S取最大值，最大值为32,故答案为：32.【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，依据已知条件列出函数解析式是解题的关键.三、解答题4.(2023-山东潍坊)工匠师傅预备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，45°,再推断出四边形AMPF和四边形BCQN都是矩形，从而可得PM=AF=BC=QN=1米，AM=【详解】解：如图，连接CF,分别交MH于点P,交GN于点Q,又∵AB|DE,AB与DE之间的距离为2米，AF=BC=1米，关键.料总长为16米(图中全部黑线的长度和),设BF=x米，BE=y米.(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大),并计算窗户的最大面积.(2)依据(1)中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答.【详解】(1)∵四边形BCDE是矩形，(2)设面积为S,【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键.6.(2023·江苏徐州)如图，正方形纸片ABCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y.(2)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10?(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由，(2)当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10;(3)存在，最小值为8.【分析】(1)先证出四边形EFGH为正方形，用未知数x表示其任一边长，依据正方形面积公式即可解决问(2)代入y值，解一元二次方程即可；(3)把二次函数配方化为顶点式，结合其性质即可求出最小值.【详解】(1)解：∵在正方形纸片ABCD上剪去4个全等的直角三角形，∠EHG=90°,四边形EFGH为正方形，(2)解：令y=10,得2x²-8x+16=10,整理，得x²-4x+3=0,故当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10;(3)解：存在.正方形EFGH的面积y=2x²-8x+16=2(x-2)²+8(O≤x≤4);∴当x=2时，y有最小值8,即四边形EFGH的面积最小为8.【点睛】本题考查二次函数的应用.解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只需把二次函数表达式配方化为顶点式，即可求解.7.(2023·山东菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校内，打算用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图所示),花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；(2)在花园面积最大的条件下，A,B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校方案购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹?【答案】(1)长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米(2)最多可以购买1400株牡丹【分析】(1)设长为x米，面积为y平方米，则宽,可以得到y与x的函数关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可；(2)设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为(1200-a)平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答.【详解】(1)解：设长为x米，面积为y平方米，则宽,答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米.(2)解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为(1200-a)平方米，由题意可得25×2a+15×2(1200-a)≤50000即牡丹最多种植700平方米，700×2=1400(株),答：最多可以购买1400株牡丹.【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要8.(2022·辽宁沈阳)如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD,铁丝恰好全部用完.(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米?(2)矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米.【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米.【分析】(1)设AB的长为x厘米，则有厘米，然后依据题意可得方1,进而求解(2)由(1)可设矩形框架ABCD的面积为S,则50,然后依据二次函数的性质可进行求解.厘米，由题意得：答：AB的长为8厘米或12厘米.(2)解：由(1)可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：故答案为：150.【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系.9.(2022-山东威海)某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25m,木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口(另选材料建出入门).求鸡场面积的最大值.【答案】288m²【分析】设与墙平行的一边为xm(x≤25),则与墙垂直的一边长；设鸡场面积为ym²,依据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后依据二次函数的性质求出最值即可.(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是,此时的x(m)值是：(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，x(m)的取值范围是(4)在1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；(5)假设水池ABCD的边AD的长度为b(m),其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3),则水池3的总面积y₃(m²)关于x(m)(x>0)的函数解析式为：y₃=x+b(x>0).若水池3与水池2的面积相等时，x(m)有唯一值，求b的值.【答案】(1)3<x<6;9【分析】(1)将函数解析式化为顶点式即可解决问题；(2)交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；(3)观看函数图象，结合点C,点E的坐标可得结论；(4)求出面积差的函数关系式，依据二次函数的性质求解即可；(5)依据面积相等列出一元二次方程，依据△=0,求出b的值即可.【详解】(1)∵y₂=-x²+6x=-(x-3)²+9∴抛物线的顶点坐标为(3,9),对称轴为x=3,∵水池2的面积随EF长度的增加而减小，∴EF长度的取值范围是3<x<6;水池2面积的最大值是9m²;(2)由图象得，两函数交于点C,E,所以，表示两个水池面积相等的点是C,E;∴x的值为1或4,(3)由(2)知，C(1,5),E(4,8),又直线在抛物线上方时，0<x<1或4<x<6,所以，水池1的面积大于水池2的面积时，x(m)的取值范围是0<x<1或4<x<6,M=(-x²+6x)-(x+4)=-x²+5·,,(5)∵水池3与水池2的面积相等，【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，娴熟把握二次函数图象与性质是解答本题的关键.11.(2022·江苏无锡)某农场方案建筑一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm(如图).(1)若矩形养殖场的总面积为36m²,求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?【分析】(1)由BC=x,求得BD=3x,AB=8-x,利用矩形养殖场的总面积为36m²,列一元二次方程，解方(2)设矩形养殖场的总面积为S,列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再依据二次函数的性质求解即可.【详解】(1)解：∵BC=x,矩形CD