系统的信号流图与梅森公式

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系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即

图6-29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1)

在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。(2)

模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。(3)

模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。(4)

模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。见例6-17)。(5)

在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。(6)

在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。

图6-30

(a)

模拟图；(b)

信号流图

图6-31

(a)

模拟图；(b)

信号流图

例6-17

试将图6-19，图6-20，图6-21，图6-22所示各形式的模拟图画成信号流图。

解：与图6-19，图6-20，图6-21，图6-22相对应的信号流图分别如图6-32中(a)，(b)，(c)，(d)所示。信号流图实际上是线性代数方程组的图示形式，即用图把线性代数方程组表示出来。有了系统的信号流图，利用梅森公式，即可很容易地求得系统函数H(s)。这要比从解线性代数方程组求H(s)容易得多。信号流图的优点是：(1)

用它来表示系统，要比用模拟图或框图表示系统更加简明、清晰，而且图也易画。(2)

下面将会知道，信号流图也是求系统函数H(s)的有力工具。亦即根据信号流图，利用梅森(Mason)公式，可以很容易地求得系统的系统函数H(s)。例6-18

已知系统的信号流图如图6-33(a)所示。试画出与之对应的模拟图。解：根据模拟图与信号流图的转换规则，即可画出其模拟图，如图6-33(b)所示。于是可求得此系统的传输函数(请读者求之)为

四、信号流图的名词术语下面以图6-32(a)为例，介绍信号流图中的一些名词术语。1节点表示系统变量(即信号)的点，如图中的点F(s),s2X(s),sX(s),X(s),Y(s)；或者说每一个节点代表一个变量。该图中共有5个变量，故共有5个节点。2支路连接两个节点之间的有向线段(或线条)称为支路。每一条支路代表一个子系统，支路的方向表示信号的传输(或流动)方向，支路旁标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。例如图中的1,均为相应支路的传输函数。

图6-32

(a)

直接形式的信号流图；(b)

并联形式的信号流图

(c)

级联形式的信号流图；(d)

混联形式的信号流图3激励节点代表系统激励信号的节点，如图中的节点F(s)。激励节点的特点是，连接在它上面的支路只有流出去的支路，而没有流入它的支路。激励节点也称源节点或源点。4响应节点代表所求响应变量的节点，如图中的节点Y(s)。有时为了把响应节点更突出地显示出来，也可从响应节点上再增加引出一条传输函数为1的有向支路，如图6-32(a)中最右边的虚线条所示。

图6-335混合节点若在一个节点上既有输入支路，又有输出支路，则这样的节点即为混合节点。混合节点除了代表变量外，还对输入它的信号有求和的功能，它所代表的变量就是所有输入信号的和，此和信号就是它的输出信号。6通路从任一节点出发，沿支路箭头方向(不能是相反方向)连续地经过各相连支路而到达另一节点的路径称为通路。7环路若通路的起始节点就是通路的终止节点，而且除起始节点外，该通路与其余节点相遇的次数不多于1，则这样的通路称为闭合通路或称环路。如图6-32(a)中共有两个环路：。环路也称回路。8开通路与任一节点相遇的次数不多于1的通路称为开通路，它的起始节点与终止节点不是同一节点。9前向开通路从激励节点至响应节点的开通路，也简称前向通路。如图6-32(a)中共有三条前向通路：;。10互不接触的环路没有公共节点的两个环路称为互不接触的环路。在图6-32(a)中不存在互不接触的环路。11自环路只有一个节点和一条支路的环路称为自环路，简称自环。12环路传输函数环路中各支路传输函数的乘积称为环路传输函数。13前向开通路的传输函数前向开通路中各支路传输函数的乘积，称为前向开通路的传输函数。五、

梅森公式(Mason’sFormula)从系统的信号流图直接求系统函数的计算公式，称为梅森公式。该公式如下：

(6-34)此公式的证明甚繁，此处略去。现从应用角度对此公式予以说明。式中

(6-35)Δ称为信号流图的特征行列式。式中：为第i个环路的传输函数，i为所有环路传输函数之和；为两个互不接触环路传输函数的乘积，为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和；为三个互不接触环路传输函数的乘积，为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和；为由激励节点至所求响应节点的第k条前向开通路所有支路传输函数的乘积；为除去第k条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。求的公式仍然是式(6-35)。例6-19

图6-34(a)所示系统。求系统函数。解：1求Δ(1)

求：该图共有5个环路，其传输函数分别为，，故

图6-34

(2)

求:该图中两两互不接触的环路共有3组：故该图中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有；…。故得2求(1)

求：该图共有3个前向通路，其传输函数分别为

(2)

求:除去前向通路中所包含的支路和节点后，所剩子图如图6-34(b)所示。该子图共有两个环路，故

故

除去,前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有故得

3求H(s)例6-20图6-35(a)所示系统。求系统函数。解(1)

求。该系统共有5个环路：,故该系统共有4组两两互不接触的环路：故

图6-35该系统中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有。故得

该系统从F(s)到共有两个前向通路，即F(s)→4→A(s)→B(s)→1→Y(s)；F(s)→5→G(s)→Q(s)→A(s)→B(s)→1→Y(s)。故有求的子信号流图如图635(b)所示，故有因除去与前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有故得故得

(2)

求。Δ的求法与结果完全同