小学奥数所有公式

小学奥数公式

和差问题的公式

(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数

和倍问题的公式

和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数)

差倍问题的公式

差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数)

植树问题的公式

1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数－1)

株距＝全长÷(株数－1)

⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数＋1)

株距＝全长÷(株数＋1)

2封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

盈亏问题的公式

(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

相遇问题的公式

相遇路程＝速度和×相遇时间

相遇时间＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及问题的公式

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

流水问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2

水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

浓度问题的公式

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润与折扣问题的公式

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)1每份数×份数＝总数

总数÷每份数＝份数

总数÷份数＝每份数

21倍数×倍数＝几倍数

几倍数÷1倍数＝倍数

几倍数÷倍数＝1倍数

3速度×时间＝路程

路程÷速度＝时间

路程÷时间＝速度

4单价×数量＝总价

总价÷单价＝数量

总价÷数量＝单价

5工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作效率＝工作时间

工作总量÷工作时间＝工作效率

6加数＋加数＝和

和－一个加数＝另一个加数

7被减数－减数＝差

被减数－差＝减数

差＋减数＝被减数

8因数×因数＝积

积÷一个因数＝另一个因数

9被除数÷除数＝商

被除数÷商＝除数

商×除数＝被除数

小学数学图形计算公式

1正方形

C周长S面积a边长

周长＝边长×4

C=4a

面积=边长×边长

S=a×a

2正方体

V:体积a:棱长

表面积=棱长×棱长×6

S表=a×a×6

体积=棱长×棱长×棱长

V=a×a×a

3长方形

C周长S面积a边长

周长=(长+宽)×2

C=2(a+b)

面积=长×宽

S=ab

4长方体

V:体积s:面积a:长b:宽h:高

(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2

S=2(ab+ah+bh)

(2)体积=长×宽×高

V=abh

5三角形

s面积a底h高

面积=底×高÷2

s=ah÷2

三角形高=面积×2÷底

三角形底=面积×2÷高

6平行四边形

s面积a底h高

面积=底×高

s=ah

7梯形

s面积a上底b下底h高

面积=(上底+下底)×高÷2

s=(a+b)×h÷2

8圆形

S面积C周长∏d=直径r=半径

(1)周长=直径×∏=2×∏×半径

C=∏d=2∏r

(2)面积=半径×半径×∏

9圆柱体

v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长

(1)侧面积=底面周长×高

(2)表面积=侧面积+底面积×2

(3)体积=底面积×高

（4）体积＝侧面积÷2×半径

10圆锥体

v:体积h:高s;底面积r:底面半径

体积=底面积×高÷3

总数÷总份数＝平均数

和差问题的公式

(和＋差)÷2＝大数

(和－差)÷2＝小数

和倍问题

和÷(倍数－1)＝小数

小数×倍数＝大数

(或者和－小数＝大数)

差倍问题

差÷(倍数－1)＝小数

小数×倍数＝大数

(或小数＋差＝大数)

植树问题

1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数－1)

株距＝全长÷(株数－1)

⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数＋1)

株距＝全长÷(株数＋1)

2封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

盈亏问题

(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间

相遇时间＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

流水问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2

水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润与折扣问题

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)常用数据①1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111123456×9＋7=11111111234567×9＋8=1111111112345678×9＋9=111111111②9×9＋7=8898×9＋6=888987×9＋5=88889876×9＋4=8888898765×9＋3=888888987654×9＋2=88888889876543×9＋1=88888888③19＋9×9=100118＋98×9=10001117＋987×9=1000011116＋9876×9=100000111115＋98765×9=10000001111114＋987654×9=1000000011111113＋9876543×9=100000000111111112＋98765432×9=10000000001111111111＋987654321×9=100000000001×1=111×11=121111×111=123211111×1111=123432111111×11111=123454321111111×111111=123456543211111111×1111111=123456765432111111111×11111111=123456787654321111111111×111111111=12345678876543211111111111×1111111111=12345678987654321=

=225

=625

=1225

=2025

=3025

=4225

=5625

=7225

=9025142857×2=285714142857×3=428571142857×4=571428142857×5=714285142857×6=857142142857×7=99999912345679×9=111111111加法中的速算（1）加法交换律（2）加法结合律（3）互补数

如果两个数的和是整十、整百、整千…那么这样的两个数叫做互为补数。减法中的速算（1）一个数减去几个数的和，可以用这个数依次减去和里面的各个加数。（2）一个数减去两个数的差，可以用这个数先减去差里的被减数，再加上减数；或用这个数加上差里的减数，再减去被减数。（3）一个数里连续减去几个数，可以交换减数的位置，差不变。加减法混合运算的性质：（1）交换的性质：在加减法混合运算式题中，带着数字前面的运算符号，交换加减数的位置顺序进行计算，其结果不变。（2）结合的性质：在加减混合运算式题中，可以把加数、减数用括号结合起来，当加号后面添括号时，原来的运算符号不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数。如：===在加减混合运算中，根据运算定律和运算性质可以归纳为：括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号。注：号是指数字前面的运算符号。如果我们能够灵活运用运算定律和运算性质计算，会使计算做得又对又快。乘法中速算乘法中的速算，要运用以下定律：（1）乘法交换律

（2）乘法结合律

（3）乘法分配律

（4）乘法性质①两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得的积相减。②一个数与两个数的商相乘，可用这个数先与商里的被除数相乘，再除以商里的除数；或用这个数先除以商里的除数，再与商里的被除数相乘。（5）积的变化规律

（6）特殊数字的乘积5×2=10

25×4=100

125×8=1000

625×16=10000

37×3=111

75×4=300375×8=3000除法中的速算除法中的速算，要根据以下各种性质：（1）两个数或几个数的积除以一个数，可以先用积里的任何一个因数除以这个数，所得的商再与其他因数相乘。

==（2）一个数除以两个数的积，可以用这个数依次除以积里的各个因数。（3）一个数除以两个数的商，可以用这个数除以商里的被除数，再乘以商里的除数；或者用这个数乘以商里的除数，再除以商里的被除数。（4）两个或几个数的和除以一个数，可以把和里的各个数分别除以这个数，再把它们的商相加。（5）两个数的差除以一个数，可以用被减数、减数分别除以这个数，再把所得的商进行相减。（6）商不变的性质：如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

（7）乘除法混合运算的交换性质：在乘除混合运算中，带着数字前面的运算符号交换乘数、除数的位置，结果不变。在乘法、除法和乘除法混合运算中，根据运算的定律和运算性质，可以归纳为：括号前面是乘号，去掉括号不变号；乘号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是除号，去掉括号要变号；除号后面添括号，括号里面要变号；注：号是指数字前面的运算符号。等差数列求和数列是指按一定规律顺序排列成一列数。如果一个数列中从第二个数开始，每一个数减去前一个数所得的差都是相等的话，我们就把这样的一列数叫做等差数列。等差数列中的每一个数都叫做项，第一个数叫第一项，通常也叫“首项”，第二个数叫第二项，第三个数叫第三项……最后一项叫做“末项”。等差数列中相邻两项的差叫做“公差”。等差数列中项的个数叫做“项数”。

=×n÷2n=÷＋1=（n－1）×＋

和倍问题己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫和倍问题。解答和倍问题，一般是先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定总和相当于标准数的多少倍，然后用除法求出标准数，再求出其他各数。为了帮助我们理解题意弄清数量关系，从而找到解题的途径，最好采用画线段图的方法。和倍应用题的解法可以牢记以下几个公式：和÷（倍数＋1）=1倍数（较小数）1倍数×倍数=几倍的数（较大的数）或

和－小数=大数差倍问题己知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数的应用题叫差倍问题。解答差倍问题，一般以较小数作为标准数（一倍数），再根据大小两数之间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍，然后用除法先求出较小数，再求出较大数。解答这类问题，先画线段图，帮助分析数量关系。差÷（倍数－1）=1倍数（较小的数）1倍数×倍数几倍的数（较大的数）或

较小数＋差=较大的数和差问题和差问题是根据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用题。解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式。可以选择大数作为标准数。以小数作为标准数，从和里减去两数的差，恰好是小数是2倍，除以2就可以求出小数；若以大数作为标准数，把小数加上两个数的差，正好是两个数，除以2就可以求出大数。解答和差问题的基本公式是：（和－差）÷2=较小数（和＋差）÷2=较大数和－小数=大数

或：大数－差=小数和－大数=小数

或：小数＋差=大数九、年龄问题己知两个人或几个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系；或己知某些人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这种题称为年龄问题。年龄问题的特点是：（1）两人的年龄之差是不变的，称为定差。（2）两个人的年龄同时都增加同样的数量。（3）两个年龄之间的倍数关系，随着年龄的增长，也在发生变化。年龄问题的解题方法是：几年后=大小年龄之差÷倍数差－小年龄几年前=小年龄－大小年龄差÷倍数差平均数求平均数必须知道总数和份数，可以写成公式：平均数=总数÷份数

总数=平均数×份数份数=总数÷平均数相遇问题走路、行车等匀速运动中的速度、时间和路程三者关系的应用题叫行程问题。行程问题根据题目的内容、性质所需要解答案的问题，又分为相遇问题、追及问题、火车过桥问题等。解答各类行程问题的基础，要掌握速度、时间和路程三种量之间的关系：

路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间相遇问题的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而行，或同时同地相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系：

速度和×相遇时间=路程路程÷速度和=相遇时间速度÷相遇时间=速度和速度和－速度甲=速度乙追及问题运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发的，这样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。追及问题的基本数量关系是：追及时间=追及路程÷速度差追及路程=速度差×追及时间速度差=追及路程÷追及时间行船问题船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。船在流水中行程问题，叫做行船问题（也叫流水问题）。船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：顺水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速由于顺水速度是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和差问题，所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2水速=（顺水速度－逆水速度）÷2因为行船问题也是行程问题，所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。顺水路程=顺水速度×时间逆水路程=逆水速度×时间过桥问题过桥问题的一船的数量关系是：路程=桥长＋车长车速=（桥长＋车长）÷通过时间通过时间=（桥长＋车长）÷车速车长=车速×通过时间－桥长桥长=车速×通过时间－车长植树问题在首尾不相接的路线上植树，段数与棵数关系可分为三类：（1）两端都种树

段数=棵数－1（2）一端种一端不种段数=棵数（3）两端都不种

段数=棵数＋1在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）段数=棵数还原问题还原问题又叫逆推问题。己知一个数的结果，再经过逆运算反求原数，叫做还原问题。解决这类题要从结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算（即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）。方阵问题很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件求总人数，这类题叫方阵问题。在解决方阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最外层人数，最里层人数，总人数）之间的关系。要开动脑筋，可用多种方法来解题。方阵问题的基本特点是：（1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2，每一层就少8。（2）每层人数=（每边人数－1）×4（3）每边人数=每层人数÷4＋1（4）实心方阵人数=每边人数×每边人数===4×（最外层一边人数－层数）×层数

=4×（n-K）×K

=幻方与数阵幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。这相相等的和叫“幻和”。数阵有三种基本类型：（1）封闭型，（2）辐射型（3）综合型解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答解数阵类型题的解题关键。有时，数阵问题的答案不是唯一的。奇数与偶数加法：偶数＋偶数=偶数奇数＋奇数=偶数偶数＋奇数=奇数减法：偶数－偶数=偶数奇数－奇数=偶数偶数－奇数=奇数乘法：偶数×偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数盈亏问题解盈亏问题通常是比较法和对应法结合使用。公式是：人数=两次分配结果差÷两次分配数差牛吃草问题牛吃草问题涉及三种数量：A.原有的草。B.新长出的草。C.牛吃掉的草。牛吃草问题解法一般分为三步：一、求新生的草量；二、求原有草量；三、求出最终的问题。还原问题解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是做同原来相反的运算，原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘。假设问题假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依据题目中的己知条件或结论作出某种设想，然后按照己知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。余数问题一个带余数除法算式包含4个数：被除数÷除数=商……余数。它们的关系也可表示为：被除数=除数×商＋余数，或（被除数－余数）÷除数=商。一笔画和多笔画（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后能以这个点为终点画完此图。（2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。乘法原理如果完成一件事需要个步骤，在第一个步骤中有种不同方法，在第二个步骤中有种不同方法，…在第个步骤中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。加法原理如果完成一件事有几类方法，在第一类方法中有种不同的选择，在第二类方法中有种不同选择…在第类方法中有种不同的选择，那么完成这件事共有种不同的方法。排列一般地说，从个不同的元素中任取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。一般地，从个不同的元素中任取出个元素，排成一列的问题，可以看成是从个不同元素中取出个，排在个不同的位置上的问题，每个排列共需要步，每一步又有若干种不同的方法，排列数可以这样计算：

组合一般地说，从从个不同的元素中任取出个元素组成一组，叫做从个不同元素中取出个元素中一个组合，所有组合的个数，用符号表示。因此我们可以得到组合公式：抽屈原则抽屉原则：把n+1（或更多）个苹果放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。我们把这个结论称为抽屉原则一。由此我们可以得到抽屉原则二。

把（m×n+1）个（或更多个）苹果放进n个抽屉里，必须一个抽屉里有（m+1）个（或更多的）苹果。说明：应用抽屉原则解题，要从最坏的情况去思考。列方程解应用题列方程解应用题的一般步骤是：1、根据据题意设某一个示知数为；2、依题意找出题中相等的数量关系；3、根据相等的数量关系列出方程；4、解方程；5、检验并写出答案。整除的特征

7整除。分解因式把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。一个自然数的约数的个数，恰为质因数的指数加1后的乘积。一个数的完全平方数，各个质因数的个数，恰好是平方前这个数各个质因数个数的2倍。一个完全平方数各个质因数的个数都是偶数。最大公约数与最小公倍数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。求两个数的最大公约数一般有三种方法：（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除法求几个数的最小公倍数的方法也有三种：（1）分解质因数法（2）短除法（3）分数的比较分母相同的分数比较大小，分子大的分数比较大。分子相同的分数比较大小，分母大的分数反而小。分子和分母都不相同的分数比较大小，可以把它们转化成分母相同的分数比较大小；也可以把它们转化成分子相同的分数比较大小。用“第三个数”——比较大小用“第三个数”——1比较大小一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数大。一个真分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于真分数的分子），所得的新分数比原分数小。一个假分数的分子、分母都减去同个自然数（这个自然数小于假分数分母），所得的新分数比原分数大。一个假分数的分子、分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数小。（对折后剪的次数）×2＋1=得到的段数。最大最小1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。2、运用规律。（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。3、考虑极端情况。如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。比较大小

估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的“放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：一是分组（分段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种方法是按近似数乘除法计算法则，比要求的精确度多保留一位，进行计算。钟表问题1解答钟表问题，我们首先想办法把有些能转化成相遇或追及问题的转化为相遇或追及问题来解答。2解答钟表上的时间快慢问题，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就可以求出这一时间段内的误差。圆的计算1解答较复杂的分数应用题，一定要找准单位“1”，如果单位“1”的量是变化的，就要从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将己知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。2还可以借助线段图来帮助理解题意，列式解答。3对较复杂的分数应用题，还可以列方程来解答。利润问题1商品定价高了，就可能卖不掉，那么就要降低利润（甚至亏本）减价出售，减价也叫打折扣，减价20﹪，就是按定价的1-20﹪=80﹪出售，通常也叫做打八折出售。2利润问题和商品出售问题与我们平时的生活实际的联系是十分密切的，解答利润问题你必须理解以下的关系式。（1）利润=卖价－成本（2）利润的百分数=（卖价－成本）÷成本×100﹪（3）卖价=成本×（1＋利润率）（4）成本=卖价÷（1＋利润率）工程问题1在解答工程问题时，常把“一项工程”看作单位“1”，根据工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系进行解题。2解题时，要善于运用常见的数学思想方法—如假设法、转化法、代换法。数进制1将任意一个P进制的数改写成十进制的数，只要写成，计算其相应的结果。2将任意一个十进制数化为P进制数都可以用P去除这个数，记下余数，直至商为0，然后将余数自下而上依次排列。3二进制的妙用，在日常生活中经常会碰到，应灵活运用。圆柱和圆锥圆柱体的侧面积=圆柱体的表面积=圆锥体的体积=比和比例1、解答按比便分配的应用题，关键是根据题目的己知条件，找出部分量与总量之间的关系。把己知数量与份数对应起来，转化为求一个数的几分之几来做。即按以下公式2、对通过增减数量来改变原来的比例关系的题目，解答时要抓住不变的量来解题。1.从1开始连续n个自然数的平方和公式

有时候小升初考试会把题目变形为：把原来式子中的1,2,3,4，……变成2，4,6，8……

这里需要把2的平方提出来，然后转化为该公式

2。从1开始连续n个自然数的立方和公式

这个公式考的不多，但部分学校小升初或者某些竞赛会考。反正公式也不是太复杂，记住吧。

3.平方差公式

这个公式几乎在各种竞赛，小升初考试中都有涉及，包括速算与巧算，平方数，数论、和差等专题中出现。是一个非常好用的公式。

4.完全平方公式

这个公式用的也不是太多，它主要考察孩子对多个因数之间的乘法分配率的应用。常用在速算与巧算中。式子中的加减号放在一起，意思是指，当左边去加号，右边亦取加号，当左边是减号，右边也取减号。而且还要注意ab的前面有个2.5．1/A(A+1)=1/A-1/(A+1) 例如1/3*4=1/3–1/4一、青蛙爬井问题公式解法爬到井口天数=（总距离－变前距离）÷变后距离+1（注意：结果为小数：去小数后再加1）若为复合形式：变前距离=每一次上爬距离变后距离=每一次上爬和下滑的差÷每一次上爬和下滑的天数和特别注意：（若休息时间单独占天数，保持既不上爬也不下滑的状态）变后距离=每一次上爬和下滑的差÷每一次上爬、休息和下滑的天数和二、店主损失问题店主损失＝商品进价+找给顾客钱数其他都是扰乱题的因素！思维发散：如果问题问的是，买商品的人得到多少钱？就应该是85加售价15元的汽水，100元。顾客收益＝商品售价+找给顾客钱数三、鸡兔同笼问题鸡数＝(兔脚数×总头数－总脚数)÷(兔脚数－鸡脚数)兔数＝(总脚数－鸡脚数×总头数)÷(兔脚数－鸡脚数)史上最简单最牛的鸡兔同笼的新解法题目：鸡兔同笼，头15、脚40，问几鸡几兔？我们家的鸡和兔都是经过严格训练的，当我吹哨，所有的鸡兔都抬起两只脚。鸡只有2脚，只能一屁股坐在地上。现在站在地上的只有兔子了，每只兔子是用2条腿站着的。现在还剩10条腿，可以算出兔子有5只了！！！！！40—15=2525—15=1010÷2=5兔数=（总脚数—2倍总头数）÷2鸡数=总头数—兔数四、行程问题基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇时间相遇路程÷相遇时间＝速度和

追及问题：追及时间＝追及路程÷速度差追及路程＝速度差×追及时间速度差＝追及路程÷追及时间（时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。）流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间逆水行程=（船速-水速）×逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

火车问题：基本数量关系是火车速度×时间=车长+桥长1）超车问题（同向运动，追及问题）路程差＝车身长的和超车时间＝车身长的和÷速度差2）错车问题（反向运动，相遇问题）路程和＝车身长的和错车时间＝车身长的和÷速度和

3）过人（人看作是车身长度是0的火车）4）过桥、隧道（桥、隧道看作是有车身长度，速度是0的火车）【一般行程问题公式】平均速度×时间=路程；路程÷时间=平均速度；路程÷平均速度=时间。【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答：（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。【同向行程问题公式】追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。【列车过桥问题公式】（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；速度×过桥时间=桥、车长度之和。【行船问题公式】（1）一般公式：静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；船速-水速=逆水速度；（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。（2）两船相向航行的公式：甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度（3）两船同向航行的公式：后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）。五、牛吃草问题设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。六、工程问题【工程问题公式】（1）一般公式：工效×工时=工作总量；工作总量÷工时=工效；工作总量÷工效=工时。（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。）（从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同）七、植树问题（1）不封闭线路的植树问题：间隔数+1=棵数；（两端植树）路长÷间隔长+1=棵数。或间隔数-1=棵数；（两端不植）路长÷间隔长-1=棵数；路长÷间隔数=每个间隔长；每个间隔长×间隔数=路长。（2）封闭线路的植树问题：路长÷间隔数=棵数；路长÷间隔数=路长÷棵数=每个间隔长；每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。（3）平面植树问题：占地总面积÷每棵占地面积=棵数（4在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵数－1）×边数封闭的圆形道路上植树是属于一端种树，一端不种树的情况。敲时钟和上下楼梯属于两端都种树的情况。锯木头和剪绳子也属于植树问题，是属于两端都“不种树”的情况。木头或绳子的总长是总距离；锯木头或剪绳子的次数是种树棵数；锯下或剪下的每段木头或绳子的长度是间隔距离；锯成或剪成了多少段是间隔数。锯的次数＝段数－1段数＝锯的次数＋1在正多边形周围摆花盆：（1）每个角上都摆的情况：总盆数＝（每边数－1）×边数每边数＝总盆数÷边数＋1边数＝总盆数÷（每边数－1）（2）每个角上都不摆的情况：每边数×边数＝总盆数总盆数÷边数＝每边数总盆数÷每边数＝边数八、剪绳问题：一根绳对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段九、年龄问题：年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄

几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差十、盈亏问题基本题型：①一次有余数，另一次不足；

基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；

基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数十一、浓度问题：溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度溶液的重量×浓度=溶质的重量溶质的重量÷浓度=溶液的重量溶液稀释与溶液混合在浓溶液里加入水将它稀释为稀溶液，称为溶液的稀释。在浓溶液里加入含有相同溶质的稀溶液，称为溶液的混合。在溶液稀释与溶液混合的过程中，溶液中溶质的质量分数变了，但稀释前浓溶液里所含溶质的质量与稀释后稀溶液里所含溶质的质量相等；混合溶液中溶质的质量等于浓溶液中溶质质量与稀溶液中溶质质量之和。抓住这一点，就抓住了这类计算的关键。其实溶液的稀释也可以看作是溶液的混合，即把水看作是溶质质量分数为0％的稀溶液。这样就可以合并成为一个问题来讨论了。有关溶液混合的计算公式是：m(浓)×c％(浓)+m(稀)×c％(稀)=m(混)×c％(混)由于m(混)=m(浓)+m(稀)，上式也可以写成：m(浓)×c％(浓)+m(稀)×c％(稀)=[m(浓)+m(稀)]×c％(混)此式经整理可得：m(浓)×[c％(浓)-c％(混)]=m(稀)×[c％(混)-c％(稀)]十二、和差倍问题（和差问题

和倍问题

差倍问题）

已知条件：几个数的和与差;几个数的和与倍数;几个数的差与倍数。

公式适用范围：已知两个数的和，差，倍数关系【和差问题公式】(和－差)÷2=较小数

较小数＋差=较大数

和－较小数=较大数

(和＋差)÷2=较大数

较大数－差=较小数

和－较大数=较小数【和倍问题公式】和÷(倍数＋1)=小数和÷(倍数＋1)=小数

小数×倍数=大数

和－小数=大数【差倍问题公式】差÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数

小数＋差=大数【平均数问题公式】总数量÷总份数=平均数。关键问题

求出同一条件下的和与差

和与倍数

差与倍数和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数十三、方阵问题：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多8（每边多2）4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15方阵最外层总人数=（最外层每边人数－1）×4十四、【求分率、百分率问题的公式】比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率；增长数÷标准数=增长率；

减少数÷标准数=减少率。

或者是

两数差÷较小数=多几（百）分之几（增）；

两数差÷较大数=少几（百）分之几（减）。十五、【增减分（百分）率互求公式】

增长率÷（1+增长率）=减少率；

减少率÷（1-减少率）=增长率。十六、【求比较数应用题公式】

标准数×分（百分）率=与分率对应的比较数；

标准数×增长率=增长数；

标准数×减少率=减少数；

标准数×（两分率之和）=两个数之和；

标准数×（两分率之差）=两个数之差。

十七、【求标准数应用题公式】

比较数÷与比较数对应的分（百分）率=标准数；

增长数÷增长率=标准数；

减少数÷减少率=标准数；

两数和÷两率和=标准数；

两数差÷两率差=标准数；

十八、【利率问题公式】利率问题的类型较多，现就常见的单利、复利问题，介绍其计算公式如下。

（1）单利问题：

本金×利率×时期=利息；

本金×（1+利率×时期）=本利和；

本利和÷（1+利率×时期）=本金。

年利率÷12=月利率；

月利率×12=年利率。

（2）复利问题：

本金×（1+利率）存期期数=本利和。

例如，“某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”

解（1）用月利率求。

3年=12月×3=36个月

2400×（1+10．2％×36）

=2400×1．3672

=3281．28（元）

（2）用年利率求。

先把月利率变成年利率：

10．2‰×12=12．24％

再求本利和：

2400×（1+12．24％×3）

=2400×1．3672

=3281．28（元）十九、、利润与折扣问题

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－5%)小学数学利润应用题解题公式一、名词解释

进价：指商店做买卖买进来是多少钱。又叫进货成本价、拿货批发价。进价包括每件商品的进价，进货数量×每件单价=总进价。

售价：每件商品的售出价，商店又习惯叫定价。每件商品明码标出的零售价叫单位售价，一批卖出很多可以计算总售价。

利润：又叫进销差价，售价-进价=利润。销售一件商品叫单位利润（指每件零售价-每件进货价），销售很多件商品叫总利润，指（每件零售价-每件进货价）×销售数量

利润率：利润÷进价×100%

二、基本公式（标注为红色）

不要记那么多公式，都是变形的。只记最主要的基本公式。（如每件1元买进来，1.20元卖出去，每件的利润则为0.20）

售价-进价=利润

1.20-1.00=0.20

进价+利润=售价

1.00+0.20=1.20

售价=进价×（1+利润率）

1.00×（1+20%）=1.20

利润=进价×利润率

1.00×20%

=0.20总进价=销售数量×单位进价

100×1.00=100元

总售价=销售数量×单位售价

100×1.20=120元

总利润=销售数量×单位利润

100×0.20=

20元

利润率=利润/进价

=（售价-进价）÷进价=0.20÷1.00=20%

说明：①利润率中的“率”字，是比率的意思，用%号表示。

②在日常计算中，为图简便，习惯用百位或十位小数如0.1，0.01等表示，最后得出结果再变成百分数%。

③利润率是利润与进价的比率。

三、打折公式

商店为了促销，调整商品的单位售价叫打折。一般进了货之后，把售价先定得高一些，过一段时间滞销不好卖了再打折，以迎合顾客的心理。（折扣率如75%即七五折）

原售价×折扣率=打折后的售价

打几折＝（新售价÷原售价）×100%

折扣＜1

折扣率=(1+打折后的新利润率)÷(1+打折前的老利率）四、商品损耗公式

购进商品（运输）损耗=购进总价×购进损耗率

商品销售损耗

=销售总价×销售损耗率五、运费公式

每千克运费=路程（千米）×{（每吨每千米运费）÷1000}六、涨跌金额公式：

商品涨跌总金额＝（售价变动前的销售单价×涨跌百分比）×销售数量七、销售单件商品利润率（同前述“利润率”）八、销售多件商品利润率=（销售数量×单位利润）÷（销售数量×单位进价）=总利润÷总进价

总进价（销售数量×单位单价）100100×1.00=100元

总售价（销售数量×单位单价）120100×1.20=120元总利润（即总进销差价）（销售数量×单位利润）20100×0.20=20元

利润率（进销差价率）

20%

20÷100×100%=20%九、举例：

某商场按每台5000元的价格进了80台电脑，第一个月按20%的利润定价出售，共卖出50台；第二个月按第一个月定价的75%全部售完。这批电脑共赢利多少元？

已知条件：单位单价5000/台；进货总数量80台；分两批销售共80台

①第一个月每件零售定价：

5000元/台×（1+20%）=6000元/台

②第一个月总售价：

50×6000/台=300000元

③第二个月每件零售定价：

6000/台×75%=4500元/台

④第二个月总售价：

（80-50）×4500/台=1=35000

⑤两个月卖出的总售价：

300000+135000=435000元

⑥总进价80×5000/台=400000元

⑦总利润：435000-400000=35000元二十、比例应用题公式

比例尺=图上距离÷实际距离

图上距离=实际距离*比例尺

实际距离=图上距离÷比例尺

积一定，两个相关联的量成反比例；

商一定，两个相关联的量成正比例

时间一定，速度之比=路程之比

速度一定，时间之比=路程之比

路程一定，速度之比=时间之比在反比二十一、容斥原理1．关键提示：容斥原理关键内容就是两个公式，考生只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型。另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。2．核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C例题1：2004年真题某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是()。A．22B．18C．28D．26解析：设A＝第一次考试中及格的人（26），B＝第二次考试中及格的人（24）显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28，则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22所以，答案为A。例题2：2004年山东真题某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有（）人A.57B.73C.130D.69解析：设A＝会骑自行车的人（68），B＝会游泳的人（62）显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73，则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57所以，答案为A。例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？解析：设A＝看过2频道的人（62），B＝看过8频道的人（34）显然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人（11）则根据公式A∪B＝A＋B－A∩B＝96－11＝85所以，两个频道都没有看过的人数＝100－85＝15所以，答案为15。例题4：2005年真题对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A．22人B．28人C．30人D．36人解析：设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩CC∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）＝148－（100＋18＋16－12）＝26所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22二十二、抽屉原理

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=n/m个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。二十三、握手问题假设有n个人去握手第1个人需要握手n-1次第2个人需要握手n-2次第3个人需要握手n-3次。。。。第n-2个人需要握手2次第n-1个人需要握手1次最后一个不需要握手共需要(n-1)+(n-2)+(n-3)+.....+2+1+0=n(n-1)/2二十四、装卸工问题一个车队有三辆汽车，担负着五家工厂的运输任务，这五家工厂分别需要7、9、4、10、6名装卸工，共计36名。如果安排一部分装卸工跟车装卸，则不需要那么多装卸工，而只需要在装卸任务较多的工厂再安排一些装卸工就能完成装卸任务，那么在这种情况下，总共至少需要（）名装卸工才能保证各厂的装卸需求。A.26 B.27 C.28 D.29［解析］典型装卸工问题，将最大的三个数相加7＋9＋10＝26即可。选择A。“装卸工问题核心公式”：如果有M辆车和N（N≥M）个工厂，所需最少装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的M个工厂所需的装卸工人数之和。六年级数学难题两袋大米共重120千克，从甲袋取出20%，乙袋取出3分之1，这时甲袋剩下的大米是原来两袋重量的2分之1.从乙袋取出大米多少千克？解:这时甲袋剩下的大米是原来两袋重量的2分之1即甲袋还剩下120*1/2=60

从甲袋取出20%

那么原来甲袋有60/(1-20%）=75

原来共重120

那么原来乙袋是120-75=45

乙袋取出1/3

即45/3=15得解

答从乙袋取出大米15千克小学奥数知识点及公式总汇1．和差倍问题 22．年龄问题的三个基本特征：3．归一问题的基本特点：4．植树问题5．鸡兔同笼问题6．盈亏问题 37．牛吃草问题8．周期循环与数表规律9．平均数10．抽屉原理 411．定义新运算12．数列求和13．二进制及其应用 514．加法乘法原理和几何计数15．质数与合数 616．约数与倍数17．数的整除 718．余数及其应用19．余数、同余与周期20．分数与百分数的应用 821．分数大小的比较 922．分数拆分23．完全平方数24．比和比例 1025．综合行程26．工程问题27．逻辑推理 1128．几何面积29．立体图形30．时钟问题—快慢表问题 1231．时钟问题—钟面追及32．浓度与配比33．经济问题 1333．经济问题34．简单方程35．不定方程36．循环小数 14和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2．年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4．植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数＋1棵距×段数=总长棵数=段数－1棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5．鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6．盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7．牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；8．周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平年：一年有365天。①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；9．平均数基本公式：①平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②10．抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。②k=n/m个物体：当n能被m整除时。理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。11．定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12．数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an=a1+（n－1）d；通项＝首项＋（项数一1)×公差；数列和公式：sn,=(a1+an)×n÷2；数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；项数公式：n=(an+a1)÷d＋1；项数=（末项-首项）÷公差＋1；公差公式：d=（an－a1））÷（n－1）；公差=（末项－首项）÷（项数－1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13．二进制及其应用十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20注意：An不是0就是1。十进制化成二进制：①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。14．加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2.......+mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

15．质数与合数质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<an。求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16．约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公约数有：1、2、3、6；那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12的倍数有：12、24、36、48……；18的倍数有：18、36、54、72……；那么12和18的公倍数有：36、72、108……；那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法

17．数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；二、整除判断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5.能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6.能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7.能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。18.余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。余数的性质：①余数小于除数。②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。19．余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod

m)，读作a同余于b模m。二、同余的性质：①自身性：a≡a(modm)；②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。20．分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21．分数大小的比较基本方法：①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22.分数拆分