高二数学人教A版选修1-2作业2-2-2反证法

第二章2.2请同学们认真完成练案[6]A级基础巩固一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(C)A．有两个内角是直角 B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角[解析]“最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”，因此它的反面应是“至少有两个”．2．如果两个数之和为正数，则这两个数(D)A．一个是正数，一个是负数 B．都是正数C．不可能有负数 D．至少有一个是正数[解析]两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负．3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的正确反设为(D)A．自然数a、b、c都是奇数B．自然数a、b、c都是偶数C．自然数a、b、c中至少有两个偶数D．自然数a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数[解析]恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(B)A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(3) D．abc(a＋b＋c)≤eq\f(1,3)[解析]∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2≥3．5．用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是(A)A．假设a，b，c都是奇数B．假设a，b，c至少有两个是奇数C．假设a，b，c至多有一个是奇数D．假设a，b，c不都是奇数[解析]由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“a，b，c中至多有两个是奇数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”，故选A．6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是(C)A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．二、填空题7．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于__eq\f(1,3)__．[解析]假设a、b、c都小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c＜1，故a、b、c中至少有一个数不小于eq\f(1,3)．8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是__异面__．[解析]假设AC与BD共面于平面α，则A、C、B、D都在平面α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面．三、解答题9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．[解析]假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，则eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b．而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，则有a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)．即(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0．所以eq\r(a)＝eq\r(c)，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．B级素养提升一、选择题1．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(A)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[解析]至少有一个实根的否定为：没有实根．2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件[解析]若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P＜0，Q＜0，R>0，即a＋b＜c，b＋c＜a，两式相加得b＜0，这与已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0．3．(多选题)下列命题适合用反证法证明的是(ABD)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x、y∈R，且x＋y>2，求证：x、y中至少有一个大于1[解析]A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明，故选ABD．4．(多选题)“已知函数f(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).”用反证法证明这个命题时，下列假设不正确的是(ACD)A．假设|f(1)|≥eq\f(1,2)且|f(2)|≥eq\f(1,2)B．假设|f(x)|＜eq\f(1,2)且|f(2)|＜eq\f(1,2)C．假设|f(1)|与|f(2)|中至多有一个不小于eq\f(1,2)D．假设|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不大于eq\f(1,2)[解析]由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．假设|f(1)|＜eq\f(1,2)且|f(2)|＜eq\f(1,2)，故选ACD．二、填空题5．命题“x，y是实数，若(x－3)2＋eq\r(y－2)＝0，则x＝3且y＝2”用反证法证明时应假设为__x≠3或y≠2__．[解析]“x＝3且y＝2”的否定为“x≠3或y≠2”．6．已知f(x)＝x2－mx＋3－m，若在区间[1,2]内至少存在一点c，使f(c)>0，则m的取值范围为__(－∞，2)__．[解析]由f(1)≤0且f(2)≤0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－2m≤0,7－3m≤0))，∴m≥2，∴若在区间[1,2]内至少存在一点c，使f(c)>0，则m的取值范围为m＜2．三、解答题7．已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．用反证法证明：方程f(x)＝0没有负数根．[解析]假设x0为方程f(x)＝0的负根，则有ax0＋eq\f(x0－2,x0＋1)＝0，即ax0＝eq\f(2－x0,x0＋1)＝eq\f(3－1＋x0,x0＋1)＝－1＋eq\f(3,x0＋1)，显然x0≠－1．1°当0>x0>－1时，1>x0＋1>0，eq\f(3,1＋x0)>3，－1＋eq\f(3,1＋x0)>2．而eq\f(1,a)＜ax0＜1，这是不可能的，即不存在0>x0>－1的解．2°当x0＜－1时，x0＋1＜0，eq\f(3,1＋x0)＜0，－1＋eq\f(3,1＋x0)＜－1．而ax0>0，矛盾，即不存在x0＜－1的解．综上所述方程f(x)＝0没有负数根．8．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且eq\r(a)和eq\r(b)都是无理数，求证：eq\r(a)＋eq\r(b)是无理数．[解析]解法一：假设eq\r(a)＋eq\r(b)为有理数，令eq\r(a)＋eq\r(b)＝t，则eq\r(b)＝t－eq\r(a)，两边平方，得b＝t2－2teq\r(a)＋a，∴eq\r(a)＝eq\f(t2＋a－b,2t)．∵a、b、t均为有理数，∴eq\f(t2＋a－b,2t)也是有理数．即eq\r(a)为有理数，这与已知eq\r(a)为无理数矛盾．故假设不成立．∴eq\r(a)＋eq\r(b)一定是无理数．解法二：假设eq\r(a)＋eq\r(b)为有理数，则(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))＝a－b．由a>0，b>0，得eq\r(a)＋eq\r(b)>0．∴eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\f(a－b,\r(a)＋\r(b))．