6.2.16.2.26.2.3向量的加法运算向量的减法运算向量的数乘运算（6大题型）

6.2.1&6.2.2&6.2.3空向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘运算1、借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算及运算法则，并理解向量加法的几何意义；理解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性；2、借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、理解减法的几何意义；掌握平面向量的减法运算及运算法则；3、了解向量数乘的概念；理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算；理解并掌握向量共线定理及其判定方法；一、向量的加法运算1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线OC就是a与b的和【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；（2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．4、向量加法的运算律结合律：a＋b＝b＋a交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)二、向量的减法1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.（1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；（2）－(－a)＝a；（3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；（4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量．2、向量的减法（1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.（2）几何意义：以O为起点，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．三、向量的数乘运算1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.四、向量共线1、向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．【注意】（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.题型一向量的加法运算【例1】（2023·广东佛山·高二南海执信中学校考开学考试）如图，已知，求作.（1）；（2）【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】（1）在平面内任取一点，如图所示作则.（2）在平面内任取一点，如图所示作则.【变式11】（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由向量的运算法则，可得.故选：D.【变式12】（2023·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）向量（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故选:C【变式13】（2023·广东·高三统考学业考试）设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则①；②；③中成立的序号为．【答案】②【解析】如图，因为四边形为平行四边形，所以连接对角线交于点，则为的中点，根据向量的加法运算法则可得，在中，,在中，,所以.题型二向量的减法运算【例2】（2023·全国·高一课时练习）如图，已知向量，，求作．【答案】，图见解析【解析】如图所示，在平面内任取一点O，从同一点O出发作，．作，则．【变式21】（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）在平行四边形中，O为对角线的交点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在平行四边形中，O为对角线的交点，易知，所以．故选：D【变式22】（2023·江苏南通·高三统考期中）在中，为的中点，记，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选：A.【变式23】（2023·高一课时练习）下面四个式子不能化简成的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于A，，点D和A的位置不详，不可继续计算，错误；对于B，，正确；对于C，，正确；对于D，，正确；故选：A.题型三向量的数乘运算【例3】（2023·重庆綦江·高一校考期中）化简为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据向量的四则运算可知，.故选：D【变式31】（2023·海南儋州·高一校考阶段练习）化简：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）.（2）.（3）.【变式32】（2023·全国·高一课时练习）求下列未知向量．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，.（2）因为，所以，.【变式33】（2023·浙江·高一校联考阶段练习）设是平行四边形的对角线的交点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，，故选：A．题型四已知向量表示其他向量【例4】（2023·江西赣州·高一校联考期末）在中，点满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，．故选：C．【变式41】（2023·山东聊城·高一统考期中）如图所示，已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故选：D【变式42】（2023·浙江台州·高一校联考期中）如图，在中，，若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：C.【变式43】（2023·河南周口·高一太康县第一高级中学校考阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.【答案】，，【解析】∵，∴；又，；∴.题型五向量运算在几何中的应用【例5】（2023·天津河西·高一统考期中）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形【答案】A【解析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.故选：A【变式51】（2023·广东汕头·高一校考期中）在四边形中，，，，则四边形的形状是（）A．梯形B．菱形C．平行四边形D．矩形【答案】A【解析】因为，，，所以.所以.所以且，所以四边形为梯形..故选：A【变式52】（2023·河南驻马店·高一校联考期中）在中，，则是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因为，，，，所以，所以是等边三角形．故选：A．【变式53】（2023·山东泰安·高一校考阶段练习）若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（）A．正三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解析】由于，，，则，即，所以△ABC为等腰直角三角形．故选：D．题型六向量共线证明三点共线【例6】（2023·贵州遵义·高一校考阶段练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（）A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【答案】A【解析】对A，,所以，则三点共线，A正确；对B，,则不存在任何，使得，所以不共线,B错误；对C，,则不存在任何，使得，所以不共线，C错误；对D，,则不存在任何，使得，所以不共线，D错误；故选:A.【变式61】（2023·山东东营·高一东营市第一中学校考阶段练习）若，则共线的三点是.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以与共线，因为与有公共端点，所以三点共线.【变式62】（2023·安徽合肥·高一统考期中）设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为.【答案】【解析】因为三点共线，故,则，使得，又，故，则，解得.【变式63】（2023·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则.【答案】1【解析】依题意得，，由三点共线可知，存在，使得，即，由于，是两个不共线的向量，则，解得.题型七根据向量共线求参数【例7】（2023·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）设向量，不平行，向量与平行，则实数（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由向量与平行，得，而向量不平行，于是，所以.故选：A【变式71】（2023·安徽淮南·高一淮南第三中学校考期末）已知向量不共线，且向量与共线，则实数的值为（）A．或B．或1C．或2D．1或2【答案】C【解析】若向量与共线，则存在实数，使得，又因为向量，不共线，所以，解得或.故选：C.【变式72】（2024·青海西宁·高三统考期末）已知向量，不共线，，，，则（）A．B．C．6D．【答案】A【解析】因为，所以，，则，解得.故选：A.【变式73】（2023·山西运城·高一统考期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（）A．1B．C．1或D．1或【答案】A【解析】因为向量与方向相同，所以存在唯一实数，使，因为向量，不共线，所以，解得或（舍去），故选：A题型八向量共线定理推论【例8】（2023·全国·高一随堂练习）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则．【答案】【解析】因为E为AD的中点，所以，因为B，D，C三点共线，所以，所以，解得．【变式81】（2022·陕西渭南·高三校考期末）如图所示，中为重心，过点，，，则．【答案】3【解析】设根据题意，；，，，三点共线，则存在，使得，即，即，，整理得，所以.【变式82】（2023·全国·高一课时练习）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，，设，，则，，因为，所以，解得，所以，即，故选：C.【变式83】（2023·广西玉林·高一博白县中学校考开学考试）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G