浙江省宁波市高三上学期一模（期中）数学试题

绝密★启用前宁波市2023学年第一学期高考模拟考试高三数学试卷全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1､已知（，为虚数单位），若是实数，则（）A.B.C.D.2.设集合，集合，则（）A.B.C.D.3.若是夹角为60°的两个单位向量，与垂直，则（）A.B.C.D.4.已知数列为等比数列，且，则（）A.的最小值为50B.的最大值为50C.的最小值为10D.的最大值为105.已知函数的零点分别为，则（）A.B.C.D.6.设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（）A.B.0C.D.7.已知二面角的大小为，球与直线AB相切，且平面PAB，平面ABC截球O的两个截面圆的半径分别为1，，则球半径的最大可能值为（）A.B.C.3D.8.已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（）A.0个B.1个C.2个D.无数个二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.10.设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（）A.B.C.的面积为D.11.函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则（）A.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称B.函数在上单调递减C.若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是D.若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是12.已知函数：，对任意满足的实数，均有，则（）A.B.C.是奇函数D.是周期函数三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则___________.14.已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为___________.15.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是___________.16.已知抛物线Γ：与直线围成的封闭区域中有矩形ABCD，点A，B在抛物线上，点C，D在直线上，则矩形对角线BD长度的最大值是___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）证明：A=2B（2）若，求的面积.18.（12分）已知数列满足，且对任意正整数m，n都有（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.19.（12分）如图，已知正方体的棱长为4，点E满足，点F是的中点，点G满足（1）求证：B､E､G､F四点共面；（2）求平面EFG与平面夹角的余弦值.20.（12分）已知函数（e为自然对数的底数，）.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，21.（12分）某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：性别速度合计快慢男生65女生55合计110200（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？（2）现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为附：0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63522.（12分）已知双曲线C：的焦距为6，其中一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，M为线段PQ上与端点不重合的任意一点，过点M且与平行的直线分别交另一条渐近线和C于点（1）求C的方程；（2）求的取值范围.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.B3B4.C5.D6.C7.D8.B二､多选题：本题共4小题，每小题5分､共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABD10.BC11.ABD12.AC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.15.16.4四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）因为，由正弦定理得，即，即，故，因为，所以，所以，因此（2）因为，故，由得，因为，故，所以.18.（1）由对任意整数均有，取，得，当时，，当时，，符合上式，所以.（2）当为偶数时，当为奇数时，；综上所述：19.（1）法1：如图，以为原点，方向分别为轴正向，建立空间直角坐标系，则，因为，所以，所以四点共面.（2）由（1）知，，设平面的法向量为，由，即，解得，取，同理可得平面的法向量，设平面与平面夹角为，则.（1）法2：如图，取中点，分别连接，因为为中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，由知，由知，所以，所以，所以，所以四点共面.20.（1），当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，，只需证，即证，设，则，则在上递减，在上递增，，又，故，证毕21.（1）.故有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.（2）（i）由题知，随机变量的所有可能取值为，所以的分布列为123所以.（ii）不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结.令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，，所以，所以，显然，故.另一方面，对个