2022届吉林省长春市中考数学押题试卷及答案解析

2022届吉林省长春市中考数学押题试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）计算〃一2）2的值是（）

A.-2B.2或-2C.4D.2

2.（3分）人体中红细胞的直径约为0.0000077〃?，用科学记数法表示数的结果是（）

A.0.77X10-5mB.0.77X106/7nC.7.7X10-5机D.7.7X10%

3.（3分）如图，是一个几何体的表面展开图,则该几何体是（)

A.三棱柱B.四棱锥C.长方体D.正方体

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.（w+n）2=m2+n2B.（x3）2=x5

C.5x-2x=3D.(a+b)(a-b)=a2-b2

5.（3分）如果式子标7有意义，那么x的取值范围在数轴上表示为（)

A.-4-2024B.-4-2024

6.（3分）如图，AB为半圆。的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点尸在

半圆上，斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则线段BQ的长为（）

7.（3分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点

A与2之间的距离为lOcvn,双翼的边缘AC=20=54。”,且与闸机侧立面夹角/PCA=

ZBDQ=30a.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

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图1图2

A.（54V3+10）c/nB.（54或+10）。〃C.64cmD.54cm

8.（3分）如图，四边形O4B尸中，NQ4B=/B=90°,点A在x轴上，双曲线过点

凡父AB于点E,连接班%=9SMEF=4,贝ljk的值为（）

u

A.6B.8C.12D.16

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分,共18分）

9.（3分）比较大小：-3/_______-2V3.

10.（3分）因式分解：mM-9机=_______.

11.（3分）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程.

已知：如图1,AMON.

求作：射线OP,使它平分NMOM

M

£

由2卜N

作法：如图2,

（1）以点0为圆心，任意长为半径作弧交OM于点A,交ON于点B；

（2）连结4B；

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1

（3）分别以点A,B为圆心，大于TB的长为半径作弧，两弧相交于点P；

2

（4）作射线0P.

所以，射线0P即为所求作的射线.

请回答：该尺规作图的依据是.

12.（3分）如果从某个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的内角

和是•

13.（3分）如图，将矩形纸片A8CD折叠，使得点A和点C重合，折痕是EF,连结EC.若

14.（3分）如图，抛物线y=』+bx+c（c>0）与），轴交于点C,顶点为4,抛物线的对称轴

交x轴于点E,交于点。，tan/AOE=|.直线04与抛物线的另一个交点为B.当

三、解答题（本大题共10小题，共78分）1

15.（6分）先化简，再求值：—7+;--,其中工=遮一1.

x-11-x

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16.(6分)甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是:

每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局；若两人出的牌不同，则A胜B,8胜C,

C胜A.

(1)用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；

(2)求出现平局的概率.

17.(6分)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架,

其中方程术是重要的数学成就.书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒

一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一

斗，价格是50钱；普通酒一斗•，价格是10钱.现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、

普通酒各多少？请你建立适当的数学模型，解决上面问题.

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18.(7分)如图，已知RtZ\ACE中，ZA£C=90°,CB平分NACE交AE于点B,AC边

上一点O,。。经过点8、C,与AC交于点D,与CE交于点F

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)若cos/4=g,AE=8,则。。的半径长为.

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19.（7分）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情

况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.

收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如

下：

甲788674817576877075907579817074808669

8377

乙937388817281948377838081708173788280

7040

整理、描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

成绩x40WxW4950WxW5960WxW6970WxW7980WxW8990WxW

人数100

部门

甲0011171

乙______________________________

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70--79分为生产技能良好，60--69分

为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

部门平均数中位数众数

甲78.377.575

乙7880.581

得出结论：a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为；b.可以推断出部

门员工的生产技能水平较高，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理

性）

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20.(7分)如图，在6X7的网格图中，每个小正方形的边长为1,ZVIBC的顶点均为格点

图①

(1)在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出△ABC的高CM；

(2)在图②中，连结点3与格点。.点P是8c的中点，点。为8。上的一动点，当^

CP。的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点P、。的位置，并画出△CPQ.

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21.(8分)甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地.甲车先出发匀速驶向8地，40〃?加

后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时.由于满载货物，为了

行驶安全，速度减少了50h皿,结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程供而)

与乙车行驶时间x(〃)之间的函数图象如图所示

(1)«的值是,甲的速度是km/h.

(2)求乙车距A地的路程y与x之间的函数关系式；

(3)若甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中

可以通话的总时长为多少小时？

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22.（9分）已知△A8C和△AOE是等腰直角三角形，NABC=NA£>£=90°,点F为CE

中点，连结OF、BF.

【感知】如图①，当点。在AC上，点E在A8上时，易证：DF=BF,DFLBF.

【探究】如图②，将从图①中的位置绕着点A逆时针旋转45°,此时【感知】

中的结论还是否成立？说明理由.

【应用】如图③，^/\ADE从图①中的位置绕着点A逆时针旋转90°,过点F作FG

于点G,若AB=6,AD=26则线段FG的长为.

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23.(10分)如图，B£＞是菱形A8CO的对角线，AB=BD=2cm.动点P从点A出发，沿折

线AB-8C以lc〃?/s的速度向终点C运动，当点P出发后，且不与点B重合时，过点P

作尸。〃2。交折线AO-QC于点Q.以PQ为边作正三角形尸QE,且点E与8。始终在

PQ的同侧.设正三角形PQE与△A3。重叠部分图形的面积为S点P运动的时

间为，(s).

(1)当点E落在BO上时，求r的值.

(2)当点尸在A8边上时，求S与f之间的函数关系式.

(3)当点E落在/BOC的平分线上时，直接写出f的值.

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24.（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（机，2）（其中加为常数），点8与点A

关于y轴对称.在实数范围内定义函数y=｛：2（其中加为常数）的图象

为G.

（1）当点（-1,2）在G上时，求〃?的值；

（2）当点B在G上时，求机的值；

（3）mW0时，连结A8,当G与线段AB恰好有两个公共点时.，m=.

（4）当y最小值的取值范围是-2Wy出/<-1时，直接写出，”的取值范围.

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2022届吉林省长春市中考数学押题试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）计算J（一2/的值是（）

A.-2B.2或-2C.4D.2

【解答】解：7^2）2=2,

故选：D.

2.（3分）人体中红细胞的直径约为0.0000077〃?，用科学记数法表示数的结果是（）

5

A.0.77X10B.0.77X10-6〃？c.7.7X10/nD.7.7X10%

【解答】解：0.0000077=7.7X10%.

故选：D.

3.（3分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（)

A.三棱柱B.四棱锥C.长方体D.正方体

【解答】解：由图得，这个几何体为三棱柱.

故选：A.

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.(»?+«)2=序+〃2B.(%3)2=/

C.5x-2x=3D.Ca+b)(a-b)=a2-b1

【解答】解：A、（〃汁〃）2=〃?2+2优〃+〃2,故本选项错误;

B、（x3）2=x6,故本选项错误;

。、5x-2x=3x,故本选项错误；

D、（4+。）（a-b）=a2-b2,故本选项正确;

故选：D.

5.（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示为（）

—■!--------->・1・・・>

A.-4-2024B.-4-2024

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-------------1----->

C.-4-2024-20

【解答】解：由题意可知I：2x+4N0,

.•.4-2,

故选：A.

6.（3分）如图，AB为半圆。的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在

半圆上，斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则线段BQ的长为（）

71

c.一D.1

4

【解答】解：连接AQ,BQ,

VZP=45°,

.•.NQAB=NP=45°,ZAQB=90°,

.•.△A5Q是等腰直角三角形.

：A8=2,

.,.2B<22=4,

:.BQ=V2.

故选：A.

7.（3分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点

A与2之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=B£>=54a〃，且与闸机侧立面夹角/PCA=

NBDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

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图1图2

A.(540+10)””B.(54V2+10)c/nC.64cmD.54cm

【解答】解：如图所示，过4作AE_LCP于E,过8作8口L。。于尸，则

Rt"CE中，AE=1/1C=IX54=27(cm),

同理可得，BF=27cm,

又,点A与B之间的距离为10cm,

.•.通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm）,

故选：C.

8.（3分）如图，四边形0AB尸中，ZOAB=ZB=90°,点4在x轴上，双曲线）=亍过点

2

->SMEF=4,贝ljk的值为()

C.12D.16

【解答】解：如图，过尸作FCLO4于C,

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・.BF2

•——，

OA3

：.0A=30CfBF=20C

，若设F("z,n)

则0A=3m,BF=2m

•：S&BEF=4

4

ABE=-

m

4

则E(3m,n——)

在双曲线丫=5上

4

Amn=2>m(.n----)

m

.•・"?/?=6

即k=6.

故选:A.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）比较大小：-3V2<-2V3.

【解答】解：：（3&）2=18,（2遮）2=12,

-3V2<-2>/3.

故答案为：<.

10.（3分）因式分解：-9，w=〃？（〃-3）（〃+3）.

【解答】解：原式（n~-9）

—m（"-3）（n+3）.

故答案为：m（n-3）（n+3）.

11.（3分）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程.

已知：如图1,AMON.

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求作：射线OP,使它平分NMON.

(1)以点。为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A,交ON于点5；

(2)连结力B；

(3)分别以点A,B为圆心，大于工B的长为半径作弧，两弧相交于点P；

2

(4)作射线OP.

所以，射线。尸即为所求作的射线.

请回答：该尺规作图的依据是线段垂直平分线的判定；等腰三角形三线合一.

【解答】解：利用作图可得到。4=。8,PA=PB,

利用等腰三角形的性质可判定OP平分/A。艮

故答案为：线段垂直平分线的判定；等腰三角形的三线合一.

12.(3分)如果从某个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的内角

和是540°.

【解答】解：•••多边形从一个顶点出发可引出2条对角线，

-3=2,

解得〃=5,

二内角和=(5-2)*180°=540°.

故答案为：540°.

13.(3分)如图，将矩形纸片A8CQ折叠，使得点A和点C重合，折痕是EF,连结EC.若

【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，

：.CD=AB=2,AZ)=BC=4,Z£>=90°,

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:将矩形纸片A8CQ折叠，使得点A和点C重合,

：.\E=CE,

：.DE=AD-AE=4-CE,

VCE2=DE2+CD2,

即CE2=（4-CE）2+22,

；.CE=2.5,

故答案为2.5.

14.（3分）如图，抛物线y=/+法+c（c>0）与y轴交于点C,顶点为A,抛物线的对称轴

交x轴于点E,交BC于点。，tan/AOE=|.直线0A与抛物线的另一个交点为B.当

【解答】解：由tan/A0E=9，可设A、8点坐标分别为（2如3〃1）、（2〃，3〃）,

'JAD//OC,

：./ADB=NOCB,ZDAB^ZCOA,

:./XBADs丛BOC.

①当点A在线段。8上时，如图1所示.

•；OC=2AD,

二。点为线段BC的中点,

VC（0,c）,B⑵，3〃），

0+2九

:・D点横坐标为一--=/?,

2

由题意知A、。点均在抛物线的对称轴上,

♦・7?=2m,

二•B点坐标为(4m,6m),

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VA,3在抛物线上，且抛物线对称轴为x=2m,

f3m=4m2+2bm+c

.・.有.6m=16m24-4bm+c,

.

Jm-0m

.b

i或

解

得<b-0

—,

-o

Icc

I

：o

•’

c>

•c=9

-•

：2，

②当点8在线段QA上时，如图2所示.

,:0C=2AQ,

J0B=2AB.

VC(0,c),B(2c3n),

1+2

.•・。点横坐标为Wx2〃=3〃，

由题意知A、。点均在抛物线的对称轴上，

4

点坐标为(-m,2m),

TA,3在抛物线上，且抛物线对称轴为x=2叩

f3m=4m2+2bm+c

16^4,工

.•.有QQ2m=qm2++c,

b

l—2=2m

9

=-

.ofme-4

r/m.o-9

o=

IC227

Vc>0,

._27

・・c一子

927

综上所述：c的值为a或万.

927

故答案为：&或万.

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y.

二

三、解答题(本大题共10小题，共78分)1

%21

5(6分)先化简，再求值：—+—,M4-A=V3—1.

【解答】解：原式=¥，一0r

X—1X—1

_(x+l)(x-l)

X-1

=x+l,

当》=>/5—1时，原式=6.

16.(6分)甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是:

每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局若两人出的牌不同，则A胜8,B胜C,

C胜A.

(1)用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果;

(2)求出现平局的概率.

【解答】解：(1)画树状图得:

甲4BC

/1\/1\

乙ABCABC/BC

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则共有9种等可能的结果;

(2)•••出现平局的有3种情况，

.••出现平局的概率为：7=

17.(6分)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架,

其中方程术是重要的数学成就.书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒

一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一

斗，价格是50钱；普通酒一斗，价格是10钱.现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、

普通酒各多少？请你建立适当的数学模型，解决上面问题.

【解答】解：设买美酒x斗，普通酒y斗，

依题意，得：(50x^10y=30>

解得：d

答：买美酒0.25斗，普通酒1.75斗.

18.(7分)如图，已知中，/AEC=90°,平分NACE交AE于点B,AC边

上一点O,经过点8、C,与AC交于点£),与CE交于点产

(1)求证：AE是的切线；

(2)若cos/A=g,AE=8,则。。的半径长为竺.

34

【解答】（1）证明：连接

VOB=OC,

：・/OCB=/OBC,

YCB平分NACE,

：.ZOCB=ZBCF,

：.ZOBC=ZBCF,

：.ZABO=ZAEC=90°，

第20页共33页

・•・OBLAE,

・・・AE是。。的切线；

4

(2)VZAEC=90°，cosZA=J,AE=8,

・・・AC=10,CE=6,

•・•OB//CE.

.OBAO

••=,

CEAC

.OB10-OB

••=,

610

15

・・.08=竽，

，o。的半径长为中，

4

19.（7分）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情

况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.

收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如

下：

甲788674817576877075907579817074808669

8377

乙937388817281948377838081708173788280

7040

整理、描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

成绩x40WxW4950WxW5960WxW6970WxW7980<x<8990WxW

第21页共33页

人数100

部门

甲0011171

乙]007102

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70--79分为生产技能良好，60--69分

为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

部门平均数中位数众数

甲78.377.575

乙7880.581

得出结论：a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240:b.可以推断出甲或乙

部门员工的生产技能水平较高，理由为①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示

甲部门员工的生产技能水平较高：

②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较

高.

或①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；

②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高..（至少

从两个不同的角度说明推断的合理性）

【解答】解：填表如下：

成绩X40WM495CXW596（XW6970&W7980WxW8990«

人数100

部门

甲0011171

乙1007102

a—X400=240（人）.

20

故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240；

b.答案不唯一，理由合理即可.

第22页共33页

可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：

①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；

②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较

高.

或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：

①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；

②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高.

故答案为：1,0>0>7,10,2；

240；甲或乙，①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平

较高；

②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较

高；

或①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；

②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高.

20.(7分)如图，在6X7的网格图中，每个小正方形的边长为1,AABC的顶点均为格点

图①

(1)在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出△4BC的高CM；

(2)在图②中，连结点8与格点。.点P是BC的中点，点Q为5。上的一动点，当^

CPQ的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点P、。的位置，并画出△CPQ.

图①

第23页共33页

(1)CM即为所求；

(2)△CPQ即为所求.

21.(8分)甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地.甲车先出发匀速驶向3地，40加"

后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时.由于满载货物，为了

行驶安全，速度减少了50加皿,结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y(h〃)

与乙车行驶时间x(〃)之间的函数图象如图所示

(1)a的值是4.5,甲的速度是60kmih.

(2)求乙车距A地的路程y与x之间的函数关系式；

(3)若甲乙两车距离不超过10A"时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中

可以通话的总时长为多少小时？

【解答】解：(1):线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时,

，@=4+0.5=4.5(小时)，

甲车的速度=抖=60(千米/小时)；

I+7

故答案为:4.5；60；

(2)设乙开始的速度为丫千米/小时，

则4v+(7-4.5)(v-50)=460,解得v=90(千米〃J、时),

4y=360,

则D(4,360),E(4.5,360),

线段OD的函数关系式为y=90x(0WxW4),

设直线EF的解析式为y=kx+b,

第24页共33页

4.5k4-Z?=360

7k+b=460'

所以线段EF所表示的y与x的函数关系式为y=40x+180(4.54W7)；

综上所述，乙车距A地的路程y与x之间的函数关系式为：

"90x(0<%<4)

y=.360(4<%<4.5);

.40%+180(4.5<%<7)

(3)易知C(0,40),

设线段CF的解析式为y=kx+W,根据题意得，

7^+40=460,解得％=60,

线段CF的解析式为y=60x+40,

•.•甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，

.(90%-(60%+40)<10解得§

,•l60x+40-90x<10,解得US

严x+180-(60%+40)410,解得g

<72——

则两车在行驶过程中可以通话的总时长为：1)+(7-学)=:(小时).

22.(9分)已知△ABC和△?!£)后是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,点、F为CE

中点，连结OF、BF.

【感知】如图①，当点。在AC上，点E在A8上时，易证：DF=BF,DFVBF.

【探究】如图②，将△AOE从图①中的位置绕着点A逆时针旋转45°,此时【感知】

中的结论还是否成立？说明理由.

【应用】如图③，将△AOE从图①中的位置绕着点A逆时针旋转90。，过点F作FG

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于点G,若AB=6,AD=2y[2,则线段FG的长为_«7_.

理由如下：如图①中,

；NABC=NE£>C=90°,尸是EC的中点，

11

，DF=CF=EF=^CE,BF=CF=EF=

:.DF=BF,

XABC和△AOE是等腰直角三角形，

AZACB=45°,

■:DF=CF,

:・/DCF=/CDF,

：.ZDFE=ZDCF+ZCDF=2ZDCF,

•;BF=CF,

:・/FCB=/FBC,

：./BFE=/FBC+/FCB=2/BCF,

：.ZDFB=ZEFD+ZEFB=2(NDCF+/BCF)=2ZACB=90°,

:・DF=BF.

(2)(1)中的结论仍然成立

如图②中，过点C作CM〃。四交。尸的延长线于M,连接05,BM.

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图②

DE//CM,

CMCFFM

/DEC=/MCE,

DE~EF~DE

b是CE的中点,

CF=EF,

：.DF=FM,CM=DE,

,?△ABC和△AOE是等腰直角三角形，

：.DE=AD9BC=AB,ZDEA=ZDAE=ZCAB=ZACB=45°,

：.ZDEC=135°=/ECM,ZDAB=90°,

AZBCM=ZECM-ZACB=90°,

：.ZDAB=ZBCM,且ABMC,CM=DE=AD,

:・4ADB会ABCM(SAS),

；・DB=BM,/ABD=/MBC,

VZABD+ZDBC=90°,

：.ZMBC+ZDBC=90Q=NDBM,且。B=BM,

••.△OBM是等腰直角三角形，

又・・・。尸=尸加，

:・BF=DF,BF±DF.

(3)如图③中，延长OF,AC交于M,连接BF,BM.

图③

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•・・/\ABC和是等腰直角三角形，

：.ZEDA=ZABC=90°,AD=DE,AB=BC,

9：ZDAC=90°,

J.DE//AC,

.DEEFDF

9'CM~FC~FM'

丁尸是EC中点,

：.EF=CF,

；.DF=FM,DE=CM,

VZACB=ZBAC=45°,

：.ZDAB=\35°=/BCM,且AB=5C,AD=DE=CM,

：./\ADB^/\CMB(SAS),

:・BD=BM,NABD=/CBM,

VZABD+ZDBC=90°,

/.ZCBM+Z£>BC=90°,

AZDBM=90°且

•••△OBM是等腰直角三角形，

又,：DF=FM：・BF=DF,BFA.DF,

•••△。阳是等腰直角三角形，

又•：FG工BD,

1

：.FG=沙,

作DNLAB交BA的延长线于N,

VZDAB=135°,

：.ZDAN=45°KDNA.AB,

:・DN=AN,

9：AN2^DN2=AD2=S,

:・AN=DN=2,

：.BN=AB+AN=S,

在Rt/^ADB中，DB=\/DN2+BN2=2旧，

：.FG=^BD=V17.

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故答案为V17

23.(10分)如图，80是菱形A8C。的对角线，AB=BD=2cm.动点尸从点A出发，沿折

线AB-8C以lc〃?/s的速度向终点C运动，当点P出发后，且不与点B重合时，过点P

作PQ〃8O交折线4。-DC于点Q.以P。为边作正三角形PQE,且点E与8。始终在

尸。的同侧.设正三角形PQE与△A8。重叠部分图形的面积为S点尸运动的时

间为t(.s').

(1)当点E落在8。上时，求f的值.

(2)当点P在4B边上时，求S与f之间的函数关系式.

(3)当点E落在NBQC的平分线上时，直接写出，的值.

【解答】解：(1)•..四边形A8CD是菱形，AB=BD,

；./A=NC=60°,△A3。与△BCD是等边三角形，

,JPQ//BD,以PQ为边作正三角形PQE,且点E与BO始终在PQ的同侧，

.•.点P在AB上时，四边形APEQ是菱形，且△4PQ与△EPQ是全等的等边三角形;

点尸在2C上时，四边形CPEQ是菱形，且△CPQ与△EP。是全等的等边三角形；

...当AP=PE=PB时或CP=PE=PB时，点E落在BD

即点P在AB中点或BC中点时，点E落在8。上，

22+2

/=^=1(s)或u—=3(s),

当点E落在BD上时，求f的值为1s或3s；

(2)是等边三角形，

.♦.三角形各边的高为边长的日，

当0＜忘1时，S=S/^PQE=S^APQ=冬=空?；

当1V/V2时，如图1所示：

过点E作EHJ_P。于H,交B。于O,

'.'PQ//BD,

J./XEMN与△EPQ都是等边三角形，AP=PQ=PE=t,

第29页共33页

.MNENOE

••PQ-PE-HE'

VZAPE=\20°,

:./BPN=60°,

•:/PBN=6C,

••.△8PN是等边三角形，

:・PN=PB=2-t,EN=PE-PN=t-2+r=2r-2,

•A八iPQ'ENtx(2t—2)cc八口同口人】0.x

・・MN==———-=2/-2,0E=-^EN=V3(/-1),

:・S=N・0E=等-金(2r-2)xV3(r-1)=-^?+2V3r-V3；

(3)①当点P在A3上时，点E落在N