浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题3.6 整式的乘除全章五类必考压轴题（教师版）

专题3.6整式的乘除全章五类必考压轴题【浙教版】1．已知4x=a,2y=b,8z=ab，那么A．2x+y=z B．xy=3z C．2x+y=3z D．2xy=z【分析】根据题意得出22x=a,2【详解】解：∵4∴22x∴2∴3z=2x+y，故选：C．2．已知100a=20，1000b=50，则A．0 B．52 C．3 D．【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案．【详解】解：∵100a=20，∴(10∴102a∴102a∴2a+3b=3，∴a+3∴a+3故选：A．3．若x，y均为实数，43x=2021,47【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则得出43xy⋅47xy【详解】解：∵43x∴43xy又∵43xy∴2021∴xy=x+y，∴x+y4．我们知道下面的结论，若am=an(a>0，且a≠1)，则m=n，利用这个结论解决下列问题：设2m=3，2n=6，2p=24，现给出m，n，p【分析】由2n=6=2×3=2×2m=2m+1，得出n=m+1，由2p=24=23【详解】解：∵2∴n=m+1，∵2∴p=m+3，∴p=n+2，∴m+p=m+n+2=n+n+1=2n+1，∴①符合题意；∵p+n=m+3+m+1=2m+4，∴②符合题意；∵m∴③不符合题意，故答案为：①②．5．比较下列各题中幂的大小：（1）已知a=81（2）比较255（3）已知P=99（4）(−2)234_______5100（填“>”“<”或“=【分析】（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；（2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；（3）用求商法比较大小；（4）由(−2)234【详解】（1)因为a=(34)31=3(2)因为255=(25)11=3211，(3)因为PQ=99(4)因为(−2)234=(6．由幂的运算法则逆向思维可以得到am+n=am⋅(1)计算：52020(2)若3×9m×(3)比较大小：a=255，b=344，c=533，d=622，请确定【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．【详解】（1）解：5故答案为：25；（2）∵3×9∴3×3∴3×32m×∴1+2m+3m=11，解得m=2；（3）由题可得：a=255=2511=∵32<36<81<125，∴3211即a<d<b<c．7．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax=N(a＞0,a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log（1）将指数53=125（2）仿照上面的材料，试证明：log（3）拓展运用：计算log32【分析】（1）根据题意可以把指数式53=125写成对数式；（2）先设logaM=x，logaN=y，根据对数的定义可表示为指数式为：M=ax，N=ay，计算MN（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和logaMN=logaM【详解】（1）∵一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x=logaN．∴3=log5125，故答案为：3=log5125；（2）证明：设logaM=x∴M=ax，∴MN由对数的定义得loga又∵x−y=log∴log（3）log32+log318-log3故答案为：2.1．关于x的三次三项式A=5x3−6x2+10=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d（其中a，b，①当A+B为关于x的三次三项式时，则f=−10；②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则e=6；③a+b+c=9；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据整式的加减混合运算即可判断①，根据整式的乘法运算即可判断②，将x=1和x=2代入即可判断③．【详解】解：∵A=5x3−6∴A+B=4x∵A+B为关于x的三次三项式，且e为非零常数，∴f+10=8，解得：f=−10，说法①正确；A⋅B=(5=5x∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项，∴5e−3=0，解得e=1.7，说法②错误；A=5x当x=1时，d=5−5+10=9，当x=2时，a+b+c+d=4×2则a+b+c=17，说法③错误．故选：B．2．已知x2【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得2−2a=0，−3+3a+2b=0，求解即可得a,b的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案．【详解】解：x=2x4根据题意，展开式中不含三次项和四次项，∴2−2a=0，−3+3a+2b=0，解得a=1，b=0，∴5−5a−3b+4=5−5×1−3×0+4=4，5b−6=5×0−6=−6，即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为−6，∴展开式中二次项和一次项的系数之和为4+(−6)=−2．3．若x2+px−13x(1)求p、q的值；(2)求代数式−2p【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与x3项可知x项与x3项的系数均等于0，可得关于p、（2）由（1）中p、q的值得pq=−1，将原式整理变形成−2p⋅pq2+3pq3+pq2022【详解】（1）解：x=x∵积中不含x项与x3∴1+pq=0p−3=0∴p=3q=−（2）解：由（1）得pq=−1，−2p4．（1）试说明代数式(s−2t)(s+2t+1)+4tt+12的值与s（2）已知多项式ax−b与2x2−x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为−4（3）已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是(2x−5)【分析】（1）先算多项式乘多项式以及单项式乘多项式，再合并同类项，即可得到结论；（2）先算多项式乘多项式，从而得到2a+b=0，-2b=-4，进而即可求解；（3）由题意得2x2+3x−k=(2x−5)【详解】解：（1）(s−2t)(s+2t+1)+4t＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t＝s2＋s．故代数式(s−2t)(s+2t+1)+4tt+12的值与s（2）∵（ax−b）（2x2−x+2）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx又∵多项式ax−b与2x2−x+2的乘积展开式中不含x∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2，∴ab=−1（3）∵二次三项式2x2+3x−k∴2x2+3x−k=(2x−5)(x+m)∴2m-5=3，5m=k，∴m=4，k=20，另一个因式为：x+4．5．给出如下定义：我们把有序实数对a，b，c叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c(1)关于x的二次多项式3x(2)有序实数对2，a，1的附属多项式与有序实数对【分析】（1）根据新定义进行求解即可；（2）根据新定义先表示出两个多项式，再根据题意进行计算即可．【详解】（1）根据题意可得，多项式3x2+2x−1故答案为：3，（2）根据题意得，有序实数对2，a，有序实数对1，−2，∵两个多项式的差中不含一次项，∴2x∴a+2=0，∴a=−2．1．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)称这为第二此操作，以此类推．①将多项式(a②将多项式(a③将多项式(a2+2a+1)④将多项式(a−1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a−1)(a+1)四个结论错误的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据题意，计算出(a2−1)进行2次操作后所得多项式，即可判定①；根据题意，计算出(a2+2a)以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定②；根据题意，计算出(a2+2a+1)进行4次操作后所得多项式，再把a=2【详解】解：(a2−1)(a2−1)∴(a故①错误；(a2+2a)(a2+2a)(a2+2a)∴将多项式(a2故②正确；(a2+2a+1)(a2+2a+1)(a2+2a+1)(a2+2a+1)当a=2时，a6故③正确；(a−1)第1次操作后，得(a−1)a+1(a−1)第2次操作后，得(a−1)a+1(a−1)第3次操作后，得a−1(a−1)第4次操作后，得a−1…(a−1)第n次操作后，得a−1a+1故④错误；综上，错误的有①④共2个，故选：C．2．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项式的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算(a+b)6(a+b)0=

1(a+b)1=

a+b································1(a+b)2=

a2+2ab+b2(a+b)3=

a3+3a2b+3ab(a+b)4=

a4+4a3b+6a2b【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和；②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大；依据此规律，可得出最后答案．【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，∴a+b5∴a+b6又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，∴a+b6展开式左起第四项是20故答案为：20a3．观察下列各式及其展开式：a+b2(a+b)3a+b4a+b5⋯⋯请你猜想(2x−1)8的展开式中含x2项的系数是（A．224 B．180 C．112 D．48【分析】由材料可知，括号里的前项的指数从高到底的排列，括号里的后项的指数从低到高的排列，首位系数都是1，中间数字分别为上一组数据相邻两数之和，由此即可求解．【详解】解：根据材料可知，系数的关系如下，二次幂时的系数：1

2

1三次幂时的系数：1

3

3

1四次幂时的系数：1

4

6

4

1五次幂时的系数：1

5

10

10

5

1六次幂时的系数：1

6

15

20

15

6

1七次幂时的系数：1

7

21

35

35

21

7

1八次幂时的系数：1

8

28

56

70

56

28

8

1∴含x2项的系数是28×故选：C．4．阅读下列材料，完成相应任务．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示：a+ba+ba+ba+b…完成下列任务：(1)写出a+b5(2)计算：75【分析】（1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得a+b5（2）利用（1）中展开式，设a=7，b=−6，从而可得答案．【详解】（1）解：∵a+ba+ba+ba+b∴(a+b)5（2）∵(a+b)5=a5+5∴7=7−6=1．5．观察下列各式：x−1x−1x−1(1)根据以上规律，则x−1x(2)你能否由此归纳出一般规律x−1x(3)根据以上规律求32022【分析】（1）根据给出式子的规律书写即可；（2）根据给出式子的规律即可得出结果；（3）根据（2）中的规律计算即可；【详解】（1）∵x−1x+1x−1xx−1x∴x−1x6+故答案是：x7（2）根据题意得：x−1x故答案是：xn+1（3）∵3−13∴320226．（1）计算并观察下列各式：第1个：a−ba+b=第2个：a−ba2第3个：a−ba3……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则a−ban−1（3）利用（2）的猜想计算：2n−1+（4）拓广与应用：3n−1+【分析】（1）根据平方差公式及多项式乘法的计算求解即可；（2）由（1）中计算得出相应规律即可；（3）利用（2）中所得规律求解即可；（4）根据（2）中所得规律计算即可．【详解】解：（1）a−ba+ba−baa−ba故答案为：a2−b2，（2）根据（1）中规律得：a−ba故答案为：an（3）2故答案为：2n（4）3n−1故答案为：3n1．已知：x+y2=12，x−y2【分析】利用完全平方公式将已知等式展开，然后将其相加即可求得x2+y2的值，将其相减得到代【详解】解：∵x+y2=12，x−y∴x②＋①得：x2①－②得：xy=2，∴x2故答案为：142．已知1b−1a=【分析】由1b−1a=8−cab可得a+c=8+b，将ab+bc+2b+【详解】∵1b∴a+c=8+b，∵ab+bc+2b+c∴b(a+c)+2b+c∴b(8+b)+2b+c∴b2∴(b+5)2∴b+5=0，c=0，∴b=−5，∴a=3，∴ba故答案为：−3．已知a，b，c满足：a2+2b=7，【分析】将已知等式左右两边分别相加，再配方成非负数的和为0，求出a、b、c的值，代入即可求出式子的值．【详解】解：∵a2∴a2∴a2∴a−32∴a−3=0，∴a=3，∴13故答案为：3．4．已知a−b=4时，多项式ab+c2的值为−4，则abaA．−1 B．−12 C．−【分析】根据已知条件得出b+22≤0，又b+22≥0，进而得出b=−2，a【详解】解：∵a−b=4时，多项式ab+c2的值为∴a=b+4，ab+4=−∴ab+4≤0即b+4∴b即b+22≤0，又∴b∴a=−2+4=2，∴ab=−4，c=0∴aba故选：B．5．已知有理数a，b，c满足a−b+c−3=0，a2+b2+A．−2019 B．−2020 C．−2021 D．−2022【分析】由(a−b+c)2=a2+b2+c2−2ab+2ac−2bc得2ab−2ac+2bc=−6【详解】解：∵a−b+c−3=0，a2∴a−b+c=3，a2∵(a−b+c)2∴9=整理，得2ab−2ac+2bc=−6，∴(a+b)2∵(a+b)2≥0，(b+c)2∴a+b=0，b+c=0，a−c=0，∴a=−b=c，∴a−b+c=a+a+a=3，∴a=1，∴b=−1，c=1，把a=1，b=−1，c=1代入a3原式=1故选：C．6．已知a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，那么a2A．1 B．3 C．6 D．1010【分析】分别求出a−b、b−c、c−a的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，再整体代入即可完成．【详解】解：∵a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，∴a−b=−1，b−c=−1，c−a=2，∴a故选：B．7．已知：x+y=5，求：①x2+5xy+y2【分析】①利用完全平方公式的变形将所求的式子变形为x2②先根据完全平方公式的变形和积的乘方计算法则得到x2+y2=19【详解】解：①∵x+y=5，∴x2②∵x+y=5，∴x2+∴x48．阅读下列材料，完成后面的任务．完全平方公式的变形及其应用我们知道，完全平方公式有：a+b2=a在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：①a2+b2=a+b2④ab=1根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．例如：已知x+y=3，x−y=1，求x2解：x2任务：(1)已知x+y=5，x−y=3，则xy=______．(2)已知x+y=7，x2+y【分析】（1）根据已知ab=1（2）根据已知a2【详解】（1）∵ab=1∴xy=x（2）∵x2∴25=127∴x−y21．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法1：_________；方法2：__________．(2)请你直接写出三个代数式：a+b2，a2+(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知m+n=5，m2+n2=20②已知x−20212+x−2023【分析】（1）利用阴影两部分直接求和与用总面积减去空白部分面积两种方法即可求解；（2）由图2中阴影部分面积的表示即可得到答案；（3）①由（2）的关系可得(m+n)2②设x−2021=a，则x−2023=a−2，x−2022=a−1，依题意，得a2∴a2【详解】（1）阴影两部分求和为：a2用总面积减去空白部分面积为：(a+b)2故答案为：a2+b（2）由题意得，(a+b)2（3）①由（2）得(m+n)2∴25=20+2mn，解得mn=2.5，∴(m−n)2②设x−2021=a，则x−2023=a−2，x−2022=a−1，依题意，得a2∴a2可求得a2由整体思想，得(x−2022)22．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S（2）若a−b=8，ab=13，求S1（3）用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；（2）根据S1+S2=a2（3）根据S3=a2+b2【详解】解：（1）由图可得，S1=a（2）∵a−b=8，ab=13∴所以S1（3）由图可得：S所以图③中阴影部分的面积S33．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根据图④，写出一个等式：__________．（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．【分析】(1)由图②中各个部分面积之间的关系可得答案；(2)根据图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；(3)由公式变形x−y2(4)大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答案；(5)根据拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b），即为3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，进而拼图即可；(6)根据大正方体的体积为（a＋b）3，以及8个“小块”的体积之间的关系得出结果即可．【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）∵图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，∴a+b故答案为：a+b2（3）利用（2）的结论，可知x−y2∵x＋y＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；（4）根据图④，大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，∵内部9块的面积分别为：a2∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）∵（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，∴x=3,y=3,z=10，即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，画图如下：∴x＋y＋z＝16；（6）根据图⑥，大正方体的体积为（a＋b）3，分割成8个“小块”的体积分别为：a3∴（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．4．（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中阴影部分面积为__________，图2中阴影部分面积为__________，请写出这个乘法公式__________．（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=m2+2m+1m2−2m+1，（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________________．【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；（2）利用平方差公式，计算P-Q的差即可；（3）分别用代数式表示图3中左图、右图的体积即可．【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2-b2，图2是长为a+b，宽为a-b的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b），a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）P-Q=（m2+2m+1）（m2-2m+1）-（m2+m+1）（m2-m+1）=（m2+1）2-4m2-（m2+1）2+m2=-3m2，∵m是不为0的有理数，∴-3m2＜0，即P-Q＜0，∴P＜Q；（3）图3左图的体积为x•x•x-1×1×x=x3-x，图3右图是长为x+1，宽为x，高为x-1的长方体，因此体积为（x+1）•x•（x-1），因此有x3-x=x（x+1）（x-1），故答案为：x3-x=x（x+1）（x-1）．．5．若x满足(7−x)(x−4)=2，求(x−7)2解：设7−x=a, x−4=b所以(x−7)请仿照上面的方法求解下面的问题（1）若x满足(8−x)(x−3)=3，求(8−x)2（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．【分析】（1）设8−x=a,x−3=b，从而可得ab=3,a+b=5，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得(x−2)(x−5)=28，再利用正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积可得阴影部分的面积，然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得．【详解】（1）设8−x=a,x−3=b，则ab=3,a+b=5，所以(8−x)2=(a+b)=5=19；（2）由题意得：MF=DE=x−2,DF=x−5，DE⋅DF=(x−2)(x−5)=28，因为阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，所以阴影部分的面积为MF设x−2=m,x−5=n，则mn=28,m−n=3，所以(m+n)2由平方根的性质得：m+n=11或m+n=−11<0（不符题意，舍去），所以(x−2)2=(m+n)(m−n)，=11×3，=33，故阴影部分的面积为33．6．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2（1）写出图2中所表示的数学等式（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35，则a2（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a,b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形，则x+y+z=【分析】（1）利用整体法求解