2022届全国卷Ⅰ地区高考数学模拟试卷(三)

2022届全国卷I地区高考数学模拟试卷3

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第I卷（选择题）

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一、选择题（共12题，每题5分，共60分）

1.已知集合在{xGN|K2},庐{力尸也（户1）,*64},0{削》《4或了^6},则集合。的真子

集的个数为

A.3B.7C.8D.15

2.设-察，则z的虚部是

2-1

A.-1B.-gC.-2iD.-2

3.函数/Xx）=e"sinx的大致图象是

4.在中，NU90°,N4=30°，仇=1,〃为斜边四的中点，则而•方=

A.1B.-1C.2D.-2

5.己知函数f（x）=e'+a•e'+2（aCR,e为自然对数的底数），若g（x）=F（x）与片MAx））的值

域相同，则a的取值范围是

A.a<0B.aS

C.0<aW4D.a<0或0<aW4

6.一个坛子里有编号为1,2,…，12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的

是黑球.若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为

7.下列命题中正确的是

A.在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行

B,已知a,B表示两个不同平面,m为平面a内的一条直线,则“a，B”是“m,B”的

充要条件

C.在三棱锥S-ABC中，SA±BC,SB±AC,则点S在平面ABC内的射影是4ABC的垂心

D.a,b是两条异面直线,P为空间一点,过点P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一条

平行

8.已知如图所示的程序框图中输出的结果为a,则二项式(％-26展开式中的常数项为

A.15B.-15C.20D.-20

9.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有众兄弟辈出钱买物，长兄出钱八文,

次兄以下各加一文,顺至小弟出钱六十文.问：兄弟辈及共钱各若干？”意思是:众兄弟出钱买

一物品，长兄出了八文钱,每位兄弟比上一位兄长多出一文钱,到小弟的时候，小弟出了六十

文钱,问兄弟的个数及一共出的钱数分别是多少.则兄弟的个数及一共出的钱数分别是

A.52,1768B.53,1768C.52,1802D.53,1802

10.已知椭圆5+5=l(a>8>0)与双曲线祭-善1(勿>0,〃>0)有相同的焦点(-c,0),(c,0).若c

是a,勿的等比中项,n是2/与c的等差中项,则椭圆的离心率是

ABC.在D.立

4222

11.设函数/V)=sin(o；^)(3>0),已知/'(x)在［0,2口］有且仅有5个零点.下述四个结论:

①f(x)在(0,2n)有且仅有3个极大值点

②f(x)在(0,2式)有且仅有2个极小值点

③/U)在(0*)单调递增

④°的取值范围是耳，靠

其中所有正确结论的编号是

A.①④B.②③C,①②③D.①③④

12.如图为中国传统智力玩具鲁班锁,起源于古代汉族建筑中首创的样卯结构,这种三维的

拼插器具内部的凹凸部分啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全

对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°样卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱的底

面正方形边长为2,欲将该鲁班锁放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，若球形容器表

面积的最小值为56及，则正四棱柱的高为

0

第II卷(非选择题)

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评卷人得分

------------------二、填空题(共4题，每题5分，共20分)

13.已知定义在R上的函数/(x)=2fl_皿eR)为偶函数,则不等式/(*)<1的解集

为

14.设等差数列｛即｝满足as=11,%2=—3,｛即｝的前n项和Sn的最大值为M,则

lgM=•

15.已知一组数据的其中之一丢失,另外六个数据分别是10,2,5,2,4,2,若这组数据的平均

数、中位数、众数依次成等差数列，则所丢失数据的所有可能值的和为.

16.已知抛物线J=2px(p>0)的焦点为K准线与x轴的交点为Q双曲线16>0)

的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP,。为坐标原点.若△。“为直角三角形,则该双曲线的

离心率等于.

评卷人得分

------------------三、解答题(共7题，共70分)

17.(本题12分)如图,在正方形ABCD中,£尸分别是劭,46上的点,且满足

A六2FBN4%=60°.

⑴求做的长；

(2)求△◎厂的面积.

18.(本题12分)如图，在/PBE中，ABLPE,。是4E的中点，C是线段BE上的一点，且

XC=V5,AB=AP=^AE=2,将△PB4沿AB折起使得二面角P--E是直二面角.

(1)求证：CD〃平面PAB；

(2)求三棱锥E-P4C的体积.

19.(本题12分)箱子中装有标号分别为1,2,3,4的四个小球,每次从箱子中取出一只球(有

放回)，设每只小球每次被取到的可能性相同，连续取三次球.

(I)求第三次取出的是标号为偶数的小球的概率；

(II)记三次取出的小球中标号为偶数的个数为&,求自的分布列和数学期望.

20.(本题12分)已知圆C经过点/(，,第，夙-尊第，直线下0平分圆G直线/与圆。相

切,与圆G：Ay=l相交于P,。两点,且满足OPLOQ.

(1)求圆C的方程；

(2)求直线/的方程.

21.(本题12分)已知函数/'(王)=豺-(研3)户3alnx,g(x)=|『-(a+4)尸W'+dalnx,aGR.

(1)当斫2时，求函数/'(x)的极值；

(2)若存在[1,e],使得/UoXgCr。)成立,求实数a的取值范围.

请考生在第22、23三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按

所做的第一个题目计分。

(X=--t

22.(本题10分)在直角坐标系"y中，直线/的参数方程为｛2柢*为参数)，以

(y=3V3+yt

。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为Psin20=4cos0,若

直线,与曲线。相交于P,0两点,求线段网的长度.

23.(本题10分)(I)求不等式工+2团>的解集；

(H)已知实数m>0,n>0,求证:老+工之妇些.

mnm+n

参考答案

1.B

【解析】因为4={XGMK2},所以4={0,1},因为伍{y|尸lg(x+l),xG1},所以庐{0,1g2}.

因为CMxlxG力或所以CHO,1,1g2}.所以集合。的真子集的个数为2-1=7.故选B.

【备注】无

2.D

［解析］有3_察十^.•./的虚部是一2,故选D.

Z-l(ZT)(N+1)5

【备注】无

3.A

【解析】本题主要考查函数的图象、函数的奇偶性，考查的数学核心素养是直观想象.先根

据函数的定义域及函数的奇偶性的定义得到函数f(x)为定义域上的奇函数,可排除B,D选

项,再根据函数极值点的位置排除C选项，即可得到正确选项.

易知函数Hx)的定义域为R,且H-x)=eSsin(-x)=-Hx),所以函数/'(力为奇函数,其图象

关于原点对称,排除选项B,D;当x>0时，F'(x)=V^e，sin(x+?,当产乎寸,f'(x)=0,F(x)取

得极值,故排除C,选A.

【备注】无

4.B

【解析】本题主要考查平面向量的数量积的运算.有一个角是30。的直角三角形的性质.

因为/C=90°,/4=30°,优=1,所以4B=2;又因为〃为斜边形的中点，所以CC=

^AB=l.^LCDA=180°-30°-30°=120°,AB-CD=2xlxcosl20°=一1,故选B.

【备注】无

5.A

【解析】本题主要考查函数与导数知识，以函数的值域为载体,考查考生分析问题、解决问

题的能力.

取a=l,g(x)=f(x)=e，+e、+2》4,当且仅当e,=e',即产0时，等号成立.y=f(f(,x)')=e'<'')+e'［,)+2,

因为f(x)24W0,所以y24不成立,不合题意,故aWl,排除C,D.取a=-p-f{x)

*+2,g'(x)=『(^)=e'+|e^>0在“上恒成立,则g(x)=F(x)在R上单调递增,且f(x)GR,令

t=f{x),teR,则y=Mx))=erQ-ie-,Q+2=e,-ie'+2,故HR,符合题意,排除B.故选A.

【备注】无

6.D

【解析】从12个球中任取两个球的取法数是第2=66种,其中所取的两个球都是红球,且至

少有一个球的号码是偶数的取法有髭-髭=12种(注:髭表示从1—6号球中取两个球,且两个

球的编号都是奇数的取法数)，因此所求的概率是

【备注】无

7.C

【解析】A错误,垂直于同一个平面的两个平面也可能相交;B错误，“a，B”是B"

的必要不充分条件;D错误,只有当异面直线a,b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知C

正确.

【备注】无

8.C

【解析】无

【备注】无

9.D

【解析】本题主要考查等差数列的通项公式和前〃项和公式,考查考生的阅读理解能力、运

算求解能力.

先根据题意建立等差数列模型,并得到数列的首项和公差,然后根据等差数列的通项公式和

求和公式求解即可.

设长兄出的钱数为孙兄弟的个数为n,各位兄弟出的钱数构成数列｛a,,｝，则由题意

得,31=8,a,,=60,易知数列｛&｝是首项为8,公差为1的等差数列,则a„=8+(/?-l)X1=60,解得

方53.设数列｛a0｝的前〃项和为S,则见广受皿1802.故兄弟的个数为53,一共出的钱数

为1802文.故选D.

【备注】【素养落地】试题借助《算法统宗》中的问题设题，考查等差数列的有关知识，

考查数学运算、数学建模等核心素养.

10.B

【解析】解法一因为椭圆与双曲线有相同的焦点(—0),(c,0),所以a-^=ni+n=c.由c

是a,加的等比中项,可得c=am.由才是2/与一的等差中项,可得2/2清+c；即n=m+^c,

解得炉!。,代入c^am,得炉2c,所以椭圆的离心率

2a2

解法二因为椭圆与双曲线有相同的焦点(-0,0),(c,0),所以-一/二/+〃2二上由。是为加的

等比中项，可得c=am,即〃尸J由n是与J的等差中项,可得2〃2=2/J+C；即

a

n=m+-c=^+-c,所以与+¥=。2,化简可得a^c,所以椭圆的离心率占士

2Q”2a，2a2

【备注】无

11.D

【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的数形结合能力,考查的核心素养

是数学抽象、直观想象、逻辑推理.

如凰根据题意知,xW2n＜*,根据图象可知函数f(x)在(0,2n)有且仅有3个极大值点,

所以①正确;但可能会有3个极小值点,所以②错误;根据照W2n■有等W2n〈答,得

5co5w

3〈篇所以④正确;当王£(0,玲)时,＜答+］，因为9W3＜纂所以答+1＜

需＜今所以函数f(x)在(0,力单调递增,所以③正确.

【备注】无

12.6

【解析】本题主要考查四棱柱的外接球的表面积等基础知识,考查考生的化归与转化能力、

空间想象能力及运算求解能力.先判断出球形容器表面积最小时满足的条件,再根据球的

表面积公式进行求解即可.

设正四棱柱的高为方，表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为4、2、//的长方体

的外接球,设其半径为R,则4n#=56n,所以4人56.又(27i)2=22+42+A2,所以56=20+求解

得A=6.

【备注】求解此类题的关键:一是读懂题意，即会认真审题,会脱去数学文化的背景,理清题

意;二是会转化，把所求的球形容器的表面积的最小值问题,转化为求长、宽、高分别为4、

2、4的长方体的外接球的表面积;三是会用公式，会利用公式求长方体的外接球的半径，以

及会运用球的表面积公式.

13.(-1,1)

【解析】本题考查函数的性质，不等式的求解.因为/(>)=2门-刈-1为偶函数，所以m=

0,即询=2团一1；所以f(%)=2团一1<1,即2㈤<2,即田<1,解得一1cxe1.

即不等式<1的解集为(一1,1).

【备注】无

14.2

【解析】本题考查等差数列的性质和对数的运算.••・as=11，%2=-3,所以d=%=

二会=一2,所以等差数列的首项的=19>0刀<0,数列是单调递减的，a1i=—1<

0,a10=1>0,所以前10项和最大，Si。=10x19+卫竿@=100,IgM=IglOO=

2.

【备注】无

15.9

【解析】本题主要考查统计中平均数、中位数、众数的概念，等差数列的性质等，考查分类

讨论思想,考查运算求解能力和数据处理能力.

设所丢失数据为X,则平均数为4+2卓+4+2+、=竿,众数是2.若启2,则中位数为2,因为

这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，所以此时2」手,解得下T1;若2〈K4,

则中位数为*，因为这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，所以2#/+2,解

得/3;若x24,则中位数为4,因为这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，所

以2X4上乎+2,解得产17.综上,x的所有可能取值为T1,3,17,其和为9.

【备注】【解题思路】易知众数为2,设所丢失的数据为x,用其表示出平均数,然后分情况

讨论x的值,最后求和即可.

16.遥或6+2

【解析】本题考查抛物线的几何性质、双曲线的几何性质，考查两点间的距离公式和直线斜

率公式的应用,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.

试题以抛物线和双曲线的简单几何性质为依托,要求考生能画出草图,理清有关点、线的位

置关系，体现了直观想象、数学运算等核心素养.

设出双曲线的渐近线方程,将抛物线方程与渐近线方程联立,可得尸点坐标,然后分°

和/小90°两种情况讨论,建立关于a,6的关系式,从而求得该双曲线的离心率.

解法一不妨设该双曲线的渐近线方程为《％易知F与0),。(方,0).由可得

尸(警,誓).若/打20。，则誓=今得于4,于是该双曲线的离心率崂=J1+§=V5;

2pa2pa

若/叱90°,设直线PQ,小的斜率分别为%k,,则嬴•履=-1,即工.工■=-1,整理

f2pa2p2pa2p

b2+2b22

得£=16a'+l6a,片所以（g）2-16**16=0,所以，=8+4倔于是该双曲线的离心率乏=

11+与=V9+4V5=V5+2.综上,该双曲线的离心率为遥或b+2.

解法二不妨设该双曲线的渐近线方程为广二,易知噌0）,0）.由0=产'可得

P（誓,等）.若/杼090。,则誓=今得*4,于是该双曲线的离心率吟=Jl+,=V5;

若NQ490。，则阕2+|阴2=Q月2,而囹2=（誓+.+（等）2"阴窄+今陪尸|=p,于

是（誓+9'（等）2+（誓+7）2=P）整理得卷16科16@%所以（与2-16•容16=0,所以

y2bbe2a，Q，

28+4店,于是该双曲线的离心率=J1+,=V9+4V5=V5+2.综上,该双曲线的离

心率为遥或V5+2.

【备注】【易错警示】本题是双曲线离心率的求解问题,解题时，考生容易忽视对直角的分

类讨论而漏掉其中一种情况，因此解决这类问题时一定要考虑全面.

17.解：（1）因为442陷4,所以游2.

因为//!降60°,所以学180°-N4汽及120°,

由题意得分45°，所以NBEe/AFkNAB庐15°.

在.尸中，由正弦定理得』=告，即缶=焉，

所以吟常=击鼻=谓彳3夜+后,

⑵解法一由题意得B（=6,NCBD=45；所以在△旌■中，由余弦定理得C腔B^+c"

2BE*CB♦cosZCBD,

得CE=J（3V2+V6）2+62-2（372+V6）x6cos45°=2V6.

在△80’中，由余弦定理,得cos/C及三号警电=i

2CEBE2

因为0°〈/CZ次180°,所以NCX庐60°,

所以/密良/协■/应足75°.

在△啊1中，由正弦定理得一^=—得旌吧嘿也

sinzBFEsim.ABDsinZ-BFE

史曳辿竺=20+2

sinl20°'

所以题得洛曲n/CE^X（2舟2）X2V5sin75°=6+48.

解法二在△政中，由正弦定理得鼻=得上2g+2.

sm450sinl20°

由BF=2,小6,得（72=2710,

所以cosZC7^^=,sin/tT^岛，

所以sinNfi^sin（/第+N<7^=sin/£K4cos/疗冽xosN的sin/第呼义a+如

3_同+3/1U

y/T6.20，

所以S^a^EFXFCXsinZEFO^X（2V3+2）X2V10x回募便=6+4倔

【解析】本题考查的知识是“掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问

题”.

【备注】无

18.(1)因为24E=2,所以4E=4.

又=2,AB1PE,

所以BE=\lAB2+AE2=V22+42=2\[S.

又因为4c=V5=^BE,

所以AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线，所以C是BE的中线，

所以C是BE的中点，

又因为C。是△4BE的中位线，所以C0〃4B.

又因为CD仁平面P2B,ABu平面P4B,所以CD〃平面P4B.

(2)由(1)求解知，直线CD是RtZi4BE的中位线，

所以CD=1,

因为二面角P-AB-E是直二面角，平面PABC平面E4B=4B,ABu平面/MB,PA^AB,

所以P4_L平面力BE,

又因为4P=2,

所以％-PAC=VP-ACE=：X*ExC0xAPfx4xlx2=*

【解析】无

【备注】无

19.(I)第三次取出标号为偶数的小球的情况有4X4X2=32种，取三次球共64种取法，所以

所求概率P=：(或者机会均等求概率).

(II)&的可能取值为

0,1,2,3,P(&=0)P(g二])邦潸z卷,p(g=2)言,P(g=3)=喑4，

4，64644，644，64

故g的分布列为

f0123

824248

P(f)

64646464

E&=1X—+2X—+3X—=^.

6464642

【解析】本题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考

查抽象概括以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力.离散型随机变量的分布列和期望

是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立

事件、两点分布、二项分布等知识为载体,综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、

数学期望与方差.解题首先理解关键词;其次,准确无误地找出随机变量的所有可能取值,确

定事件的类型,并准确计算出相应的概率.关键是分清问题的所有情况,然后分类讨论,根据

情况算出相应的概率,写出分布列,根据数学期望的公式运算.

【备注】浙江省在2013年解答题前两题考了数列、概率，但是，三角部分仍然是考查的重点。

这里选择概率，不意味着不出现三角部分试题.同时，每种“三选二”的结果都会有相应的客

观题结构,这一点冲刺阶段尤其要关注.

20.⑴依题意知圆心2在y轴上,可设圆心C(0,6),圆2的方程为A(j-6)2=r(r>0).

因为圆。经过46两点，

所以哼)2+孑6)2=(哼)(浮比

4488

日口7,28917,,231,108933,,,2Q汨..

即77+--Fatb+--——b^b,解得房4.

1616264644

所以圆。的方程为『+(广4)2q.

⑵当直线1的斜率不存在时.，由1与C相切得1的方程为舁理,此时直线/与G交于

P,0两点,不妨设P在0点上方,则P除争,喈，-争或户呼,争，0呼，-争,则

0P•丽=0,所以OPLOQ,满足题意.

当直线1的斜率存在时,易知其斜率不为0,故可设直线1的方程为

y=kx+m(k^0,静0),P(x“4,0(互，角)，

将直线1的方程与圆G的方程联立，得已2:"+:消去入整理得(1+/)/+29+庐1=0,

Uz+=1,

贝!JA=4^2/»-4(1+A2)(/»-1)=4(A2-//?2+1)>0,即

2kmm2-l

为+质二一诉，出法言,

%理二(kxdni)(尢逸+川)二/由及+4"(由+尼)+/"-2：蓑十清三张,

l+R*1+KITR

又OP1OQ,所以丽•丽二0,即两X2+必斤先I+三善=0,故2/=1+后满足/>0,符合题意.

l+k21+k2

因为直线/:户次+而与圆，:『+(尸4)2三相切，所以圆心以0,4)到直线1的距离大粤普=

2vl+fc2

2

——V2，加2一8研16二-1+-f-c，

22

故//-8m16=〃/，得ZZF2,故1+晨2X2；得k=±\H,

故直线/的方程为尸土V7X+2.

综上,直线1的方程为肝理或尸土小沽2.

【解析】本题主要考查直线、圆的方程，直线与圆的位置关系等,考查运算求解能力、数形

结合思想,考查的核心素养是数学运算.(1)由题意可知圆心。在了轴上,设出圆C的标准方

程,再利用待定系数法求解即可；(2)首先求出直线/的斜率不存在时满足题意的直线/的方

程,当直线1的斜率存在时,设出直线1的方程,与圆G的方程联立,根据根与系数的关系与

血制得到2滔=1+/,最后根据直线/与圆C相切,利用点到直线的距离公式进行求解.

【备注】无

21.(1);•函数f(x)=1/-(a+3)户3alnx,

函数f(x)的定义域为(0,+8),

f，(才)二尸g+3)+四_%2-(a+3)%+3a_(%-3)(%-a)

XXX

当a=2时，令f'(x)-83)⑴a))。,解得入>3或0〈水2,

X

.•.当XG(0,2)时，函数F(*)单调递增，当Xd⑵3)时，函数F3单调递减，当XW(3,+8)时,

函数/Xx)单调递增，

，函数f(x)的极小值为A3)=6In3-y,极大值为A2)=61n2-8.

⑵令尸(王)=f(x)-g(x)三v+竺Lainx,

X

存在的£[1,e],使得F(xo)<g(xo)成立，即存在xo£[1,e],使得b(如<0,即函数

厂(才)=x+上-alnx在[1,e]上的最小值小于零.

X

F，(才)-i-l+a_g=(%+l)M(l+a)]

工2x32

①当1+W0,即WT时,U(x)>0,所以函数尸(X)在(0,+8)上单调递增，

所以当[1,e]时,"x)min/(l)=2+3

由2+水0,解得水-2.

②当力4>0,即a>-l时，在(0,1+a)上尸'(x)<0,在(1+a+8)上/(工)〉0,

所以函数6(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a+8)上单调递增.

i)当1+aNe,即a2eT时,尸⑸在[1,e]上单调递减，

所以当xG［1,e］时，尸(王)而产尸(e)=e+詈-a,

由c+管-水0可得a>詈，

又包?〉e-1,所以a>W；

e-1e-1

ii)当0<—即TCaWO时,尸(x)在［1,e］上单调递增,

所以当［1,e］时,"x)min=2+a,

由2+水0可得水-2,不合题意，舍去