（5）二次函数-2023年初中数学挑战满分全优卷(含解析)

（5）二次函数—2023年初中数学挑战满分全优卷1.如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合.现将沿着直线l向右移动，当点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为()A. B.C. D.2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且其对称轴是直线.已知，且，若当时，，则m的取值范围为()A. B. C. D.3.已知抛物线,将抛物线向左或向右平移与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.若的面积等于6,则平移的方式有几种()A.1 B.2 C.3 D.44.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积.这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若，，则此三角形面积的最大值为()A. B.4 C. D.55.如图,抛物线QUOTEy=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线QUOTEx=-1,并与x轴交于A,B两点,若QUOTEOA=3OB,则下列结论中:①;②③④QUOTE①abc>0;QUOTE②(a+c)2-b2=0QUOTE③3a+2c<0若m为任意实数,则QUOTEam2+b(m+1)≥a,正确的个数是()A.1QUOTE1 B.2 C.3 D.46.如图，在菱形ABCD中，，，点Q为AD边上动点，点P为AB边上点，，当点Q从点A出发运动到点D的过程中，面积的最大值是()A. B. C. D.7.如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为.要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为()A. B. C.或 D.以上都不正确8.对于题目“一段抛物线与直线有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是，乙的结果是或4，则()A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确9.已知关于x的二次函数,有如下结论:①函数没有最小值;②若,则关于x的方程一定有一个根为;③若,则函数有最大值,为-1;④若，，,则无论k为何值,直线与抛物线有且只有一个公共点.其中正确的有()A.②③ B.②③④ C.②④ D.①②④10.关于抛物线，给出不列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点与之间；③若抛物线的顶点在以点，，为顶点的三角形区域内(包括边界)，则.其中正确结论的序号是_____________.(写出所有正确结论的序号)11.已知抛物线，其中m为常数.设该抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，直线与直线AB相交于点P，则点P到x轴的距离的最小值为__________.12.已知点，在二次函数的图象上，设此二次函数图象在P和Q之间(包括P，Q两点)的部分为图象M.(1)当此二次函数图象的顶点在M上时，m的取值范围是_________.(2)当图象M对应函数值的最大值为9时，图象M上最低点的坐标是________.13.二次函数QUOTEy=ax2+bx+c交x轴于点QUOTEA(-1,0)和点QUOTEB(-3,0),交y轴于点QUOTEC(0,-3).（1）求二次函数的解析式;（2）如图1QUOTE1,点EQUOTEEE为抛物线的顶点,点QUOTET(0,t)为y轴负半轴上的一点,将抛物线绕点T旋转QUOTE180°´,得到新的抛物线,其中B,E旋转后的对应点分别记为QUOTEB'',,当四边形QUOTEBEB'E'的面积为12时,求t的值;（3）如图2,过点C作QUOTECD//x轴,交抛物线于另一点D.点M是直线CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点P.QUOTEP..是否存在点M使QUOTE△PBC为直角三角形,若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由.

答案以及解析1.答案：A解析：当时，如图（1），设AC与DE的交点为G，易知是等边三角形，，该函数图象所在抛物线开口向上，对称轴为y轴.当时，如图（2），设AB与DF的交点为H，，易知是等边三角形，，该函数图象所在抛物线开口向上，对称轴为直线.特殊地，当时，与完全重合，y的值最大，为.当或4时，.故选A.2.答案：D解析：抛物线的对称轴是直线，，.当时，，抛物线的顶点坐标为.点在抛物线上，，，拋物线的解析式为.当时，，抛物线开口向上，，.，，，抛物线过点.将代入，得，解得(舍去)，，.3.答案：C解析：,抛物线交x轴于点，,交y轴于点.将抛物线向左或向右平移后,与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且的面积等于6，.由平移的性质可知,将抛物线向左或向右平移时,抛物线与x轴的两个交点之间的距离不变(关键点),，，点C的纵坐标为3或-3.设抛物线沿x轴向左平移的距离为个单位长度,则平移后抛物线的解析式为,当时,解得.当时,解得或(不合题意,舍去),共有3种平移方式,故选C.4.答案：C解析：，，由，得，代入上式，得：设，当取得最大值时，S也取得最大值当时，y取得最大值4S的最大值为故选：C.5.答案：C解析:①观察图象可知:QUOTEa>0,QUOTEb>0,QUOTEc<0,QUOTE∴abc<0,故①错误;②对称轴为直线QUOTEx=-1,QUOTEOA=3OB,可得QUOTEOA=2,,点QUOTEA(-3,0),点QUOTEB(1,0),当QUOTEx=1时,QUOTEy=0,即QUOTEa+b+c=0,QUOTE∴(a+c)2-b2=(a+b+c)(a+c-b)=0,故②③抛物线的对称轴为直线QUOTEx=-1,即QUOTE-b2a=-1,QUOTE∴b=2a,QUOTE∵a+b+c=0,QUOTE∴3a+c=0,QUOTE∴c=-3a,QUOTE∴3a+2c=-3a,QUOTE∵a>0,QUOTE∴3a+2c<0,故③正确;④当QUOTEx=-1时,函数有最小值QUOTEy=a-b+c,由QUOTEam2+bm+c≥a-b+c,可得QUOTEam2+bm+b≥a,QUOTE∴∴若m为任意实数,则QUOTEam2+b(m+1)≥a,故④正确;故选C.6.答案：C解析：点P在AB边上，如图，连接AC、BD交于点O，四边形ABCD是菱形，，，，，，，，，，和均为等边三角形，菱形ABCD的高为，设，则，，，，，，在中，，，，，当时，取得最大值；故选：C.7.答案：A解析：如图，抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上的一点，解得该抛物线的解析式为，.的周长，且MN是定值，只需最小.如图①，作点M关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P.则.设直线的解析式为，则解得，故该直线的解析式为.当时，，即.同理，如图②，作点M关于x轴对称的点，连接，则与x轴的交点即为所求的点.如果点P在y轴上，则的周长；如果点P在x轴上，则的周长；点P在时，的周长最小.综上所述，符合条件的点P的坐标是.故选A.8.答案：D解析：对于抛物线，当时，；当时，.如图1，当L与l相切时，关于x的元二次方程，即方程有两个相等的实数根，，解得.如图2，当直线l恰好经过点时，.如图3，当直线l恰好经过点时，.故当时，L与l相交，且有唯一公共点.综上可知，满足条件的c的值为1，3，4，5，即甲、乙的结果合在一起也不正确.故选D.9.答案：B解析：，函数的图象开口向上,可知该函数有最小值,故①错误;将代入方程,得,故②正确;，，，函数的图象与x轴有两个交点,有最小值,最小值为0,故函数有最大值,为-1,故③正确;，，，,令,即,，无论k为何值,方程只有一个解,即直线与抛物线有且只有一个公共点,故④正确.故选B.10.答案：②③解析：令，整理，得，若抛物线与直线没有交点，则，解得，故结论①错误.抛物线与x轴有两个交点，，解得，则.对于，当时，；当时，，抛物线与x轴的一个交点位于点和之间，故结论②正确.，该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的顶点位于直线上.抛物线的顶点在以点，，为顶点的三角形区域内(包括边界)，如图，，解得，故结论③正确.综上所述，结论②③正确.11.答案：解析：，顶点A的坐标为.易知点B的坐标为，可设直线AB的解析式为.点在直线上，，解得，直线AB的解析式为，点P的坐标为.，点P到x轴的距离的最小值为.12.答案：(1)或(2)或解析：将点，分别代入，得，，，.假设二次函数的图象的顶点为D，则.(1)分情况讨论：①如图(1)，当时，由点D在图象M上，得，解得，即时，点D在M上是恒成立的.②如图(2)，当时，，即点Q在点D的右边，故若要点D在M上，则点P在点D的左边，.综上所述，m的取值范围是或.(2)分情况讨论：①如图(3)，当时，图象开口向上，令，则，经检验，是原分式方程的根，图象M的最低点是.②如图(4)，当时，图象开口向下，当点P的坐标为时，，则(与矛盾，舍去).③如图(5)，当时，图象开口向下，当点D的坐标为时，，则，，最低点为点Q，此时，图象M的最低点是.综上所述，当时，图象M的最低点是；当时，图象M的最低点是.故答案为或.13.解析:（1）二次函数过点QUOTEA(-1,0),QUOTEB(-3,0),,QUOTE∴a-b+c=09a-3b+c=0c=-3,解得:QUOTEa=-1b=-4c=-3,该抛物线解析式为:QUOTEy=-x2-4x-3;（2）如图1QUOTE1,连接,QUOTEBB',延长BE,交y轴于点Q.由（1）得QUOTEy=-x2-4x-3=-(x+2)2+1QUOTE∴∴抛物线顶点QUOTEE(-2,1),设直线BE的解析式为QUOTEy=kx+b,QUOTE∵B(-3,0),QUOTEE(-2,1),QUOTE∴-3k+b=0-2k+b=1,解得:QUOTEk=1b=3,QUOTE∴∴直线BE的解析式为:QUOTEy=x+3,QUOTE∴Q(0,3),QUOTE∵∵抛物线绕点QUOTET(0,t)旋转QUOTE180°´,QUOTE∴TB=TB',QUOTETE=TE',QUOTE∴∴四边形QUOTEBEB'E'是平行四边形,QUOTE∴S△BET=14SQUOTE∵S△BET=S△BQT-QUOTE∴QT=6,QUOTE∴3-t=6,QUOTE∴t=-3;（3）设QUOTEP(x,-x2-4x-3),①当QUOTE∠BP1C=90°时,如图2QUOTE2,过点QUOTEP1作QUOTEP1E⊥y轴于点E,过点B作轴于点F,QUOTEP1E与BFQUOTEBF交于点,QUOTE∵∠BP1C=90°,QUOTE∴∠N1P1B+∠CQUOTE∴∠N1P1B=∠PQUOTE∴tan∠N1P1B=tan∠PQUOTE∴BN1P1NQUOTE∵BN1=-x2-4x-3,QUOTEP1N1=x+3,QUOTEP1E=-x,QUOTEEC=-x2-4x,QUOTE∴-x2-4x-3x+3=化简得:QUOTEx2+5x+5=0,解得:QUOTEx1=-5+524,(QUOTEx2=-5-5QUOTE∴M1(-5+5②当QUOTE∠BP2C=90°时,与①同理可得:QUOTEx2+5x+5=0,解得:(QUOTEx1=-5+52(舍去),QUOTEx2=-5-QUOTE∴M2(-5-5③当QUOTE∠P3BC=90°时,如图3，由QUOTE△BM3C是等腰直角三角形,QUOTE∴△N3BP3也是等腰直角三角形QUOTE∴N3B=N3PQUOTE∴-x2-4x-3=x+3,化简得:QUOTEx2+5x+6=0,解得:QUOTEx1=-2,(QUOTEx2=-3(舍去)QUOTE)),QUOTE∴M3点的坐标为QUOTE(-2,-3);④当QUOTE∠BCP4=90°