2022年1月北京市各区初二年级上册期末数学汇编-几何综合（教师版）

2022年1月北京市各区初二上学期期末数学汇编一几何综合

(教师版)

1.(2022.01-燕山-期末)27.如图，在等边△A8C中，点P是8c边上一点，NBAP=a(30°<«<60°),

作点B关于直线AP的对称点D,连接。C并延长交直线AP于点E,连

接BE.

(1)依题意补全图形，并直接写出/AE8的度数；

(2)用等式表示线段AE,BE,CE之间的数量关系，并证明.

分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角

形的性质：全等三角形的判定与性质……

②通过截长补短，利用60。角构造等边三角形，进

而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的.

请根据上述分析过程，完成解答过程.

解：(1)依题意补全图形，如图;1分

ZAEB=60°.2分

(2)AE=BE+CE.3分

证明：如图，在AE上截取EG=BE,连接BG.

•?ZAEB=60°,

...△8GE是等边三角形，

：.BG=BE=EG,NGBE=6Q°.4分

AABC是等边三角形,

：.AB=BC,NABC=60。，

二ZABG+NGBC=NGBC+NCBE=60°,

：.ZABG=ZCBE.5分

AB=CB,

在aABG和aCBE中，NABG=NCBE,

BG=BE,

:.AABG经4CBE,

：.AG=CE,

：.AE=EG+AG=BE+CE.6分

2.(2022.01-海淀-期末)28.在AABC中，ZB=90°,D为BC延长线上一点，点E梭段AC,CD的垂直

平分线的交点，连接EA,EC,ED.

(1)如图1,当NBAC=50。时，则乙4E£>=°；

(2)当NBAC=60。时，

①如图2,连接AD,判断△AED的形状，并证明；

②如图3直线CF与ED交于点E满足P为直线CF上一动点.当PE-PD的值最大时，用

等式表示PE,PD与AB之间的数量关系为____________________________________________,并证明.

(2)①△AEZ)是等边三角形.•2分

证明：ZB=90°,ABAC=60°,

：.ZACD=ZB+ABAC=\5OP.

•/线段AC,CD的垂直平分线交于点E,

：.EA=EC=ED.------------------------3分

/./E-E,NEDC=NDCE.

在四边形EACD中,

ZA££>=360°-Z£4C-ZACD-ZEZ)C=360°-2ZACD=60°.

EA=ED,

△AE£>是等边三角形.■4分

②数量关系：PE-PD=2AB.•5分

证明：作点。关于CF的对称点G,直线EG交CF于点P,此时PE—PQ最大.

连接AO,GC,GD.

'：NCFD=NCAE,ZCFD+ZCFE=\S00,

：.ZCAE+ZCFE=\S00.

'：ZAEF=60°,

：.ZACF^360°-(ZCAEA-ZCFE+NAEF)=120°.

■:乙48=150°,

二ZDCP=ZACD-ZACF=30°.6分

•・,点。与点G关于CT对称，

JZGCD=2ZDCP=60Q,GC=CD,GP=PD.

：.△GCD为等边三角形.

NCDG=NADE=60。,DG=DC,DE=DAt

：.Z1=Z2.

・・・AACDg/\EGD(SAS).

:.AC=EG.

：.PE-PD=EG=AC.

在中，ZB=90°,ZACB=30°,

・・・AC=2AB.

：.PE-PD=2AB.--------------------7分

3.(2022.01-西城-期末)在△ABC中，ZBAC=120°,AB=AC,力。为△ABC的中线，点E是射线A。上

一动点，连接CE,作NCEM=60。，射线EM与射线BA交于点E

(1)如图1,当点E与点。重合时，求证：AB=2AF；

(2)如图2,当点E在线段AO上，且与点A,。不重合时，

①依题意，补全图形；

②用等式表示线段48,AF,AE之间的数量关系，并证明.

(3)当点E在线段AO的延长线上，且瓦耳时，直接写出用等式表示的线段A8,AF,AE之间

的数量关系.

ADLBC,NB=NC......................1分/V

ZADB=ZADC=90°.

ZBAC=120°,/

NB=30°,ZCAF=ZBAD=ZCAD=60°.0(动

二AB^2AD......................................................................................2分

ZCDF=60°,ZDAF=\20°,

：.NAED=/AZ)F=30°.

AD=AF.

：.AB=2AF.........................................................................................3分

(2)①补全图形，如图；..............................................4分

®AB=AF+AE.........................................................................................5分

证明：在AC上截取4G=4E,连接EG.

VZBAC=120°,AB=AC,A。为△ABC中线,

・・ZDAB=ZDAC=6Q°.

・・AAEG是等边三角形，ZEAF=120°.............................................6分

・・EG=AE,ZAGE=ZAEG=600.

：.ZEGC=120°.

JZEAF=ZEGC.

・・・ZAEG=ZCEF=60°,

：.ZAEF=ZGEC.

在△AM和△GEC中

ZAEF=/GEC,

<AE=EG,

ZEAF=NEGC

：./\AEF^/\GEC.....................................................................................7分

:.AF=GC.

'：AC=AG+GC,

：.AB=AE+AF............................................................................................8分

(3)当ED<AD时,AB=AE+AF；

当ADVEH3AD时，AB=AE-AF............................................................10分

4.(2022.01-房山-期末)28.如图，NAQB=60°,点C、。分别在射线04、OB上，且满足OC=4.将

线段。C绕点。顺时针旋转60。，得到线段。E.过点E作OC的平行线，交反向延长线于点凡

(1)根据题意完成作图：

(2)猜想。尸的长并证明；

(3)若点M在射线OC上，且满足OM=3,直接写出线段ME的最小值.

证法1：在上截取OP=OC,连接CP、CE、OE.

•:DE=DC,NCZ)E=60°,.♦.△COE是等边三角形

二N0CE=6O°,CD=CE.同理△COP是等边三角形

；.N1=NPCO=60。,CP=CO,VADCE=ZPCO=60°,/.Z2=Z3

CP=CO

在△CPO和ACOE中，,N2=N3

CD=CE

：./\CPD^^COE(SAS),：.Z4=Z1=60°,DP=EO,AZ5=60°

NE=NCOD=60°,...△E0尸是等边三角形

EO—OF»PD=OF,OP-DF,OC=4,DF=4

证法2：

连接CE、OE,过E作EM_LOC于M,作EN_LOE于N

:./EMC=/END=90。，：DE=DC,NCDE=60°

...△CDE是等边三角形，.•.成?=££),NCED=60。

Y4COD=/CEP=0°,NCPE=NOPD,：.4=N2

'/EMC=4END

在△CME和△ONE中，＜N1=N2

EC=ED

:.ACMEmADNE(AAS),：.EM=EN

...0£平分/。0/，：/。0。=60°,；./3='/。。/=60°,；所〃0。

2

NF=ZCOD=60°，,Z3=NF

Z3=NF

在△CEO和ADEF中，,N1=N2，二△CEO”nDEF(A4S)，,DF=CO=4

EC=ED

(3)-V3

2

5.(2022.01-通州-期末)27.如图，N”AB=30。，点3与点C关于射线A”对称，连接AC.。点为射线

AH上任意一点,连接CO.将线段CD绕点C顺时针旋转60。，得到线段CE,连接BE.

(1)求证：直线是线段AC的垂直平分线；

(2)点O是射线AH上一动点，请你直接写出/ACC与NECA之间的数量关系.

(1)证明：连接AE，DB，CB

:点8与点C关于射线AH对称，NHAB=30°

:.CD=BD,AC^AB

ZHAB=ZHAC=3G°

ZCAB=2ZHAC=60°

.••△ABC为等边三角形，NACB=60°

：NOCE=60°

:.NDCE—NACD=NACB-NACD

NECA=NDCB

EC=DC

：.在△EC4和GCB中，，ZECA=ZDCB

AC=BC

^ECA=^DCB(SAS)

二BD=EA

'：DC=BD=EC，

AE=EC

又AB=BC

：.EB垂直平分AC

（2）分两种情况来讨论：

第一种情况，如图，当点。在八钻石内部时:

•••点3与点C关于射线AH对称，

ZCFA=90°

：.ZADC=ZCFA+ZDCB=90°+NDCB

,：NECA=NDCB

：.ZAOC=90°+NEC4

第二种情况，如图，当点。在AABC外部时:

•••点8与点C关于射线AH对称，

/.NCE4=90°

ZADC=ZCFA-ZDCB=90。—ZDCB

'：ZECA=ZDCB

，ZADC=90°-ZEC4

6.(2022.01-平谷-期末)如图，在△4BC中，N8AC=90。，4B=AC,点力直线BC上(与点B,C不重合),

点。关于直线AC的对称点为点E,连接AD,AE,DE.

(1)如图1,当点。为线段8c的中点时，猜想：△AOE的形状并证明；

(2)当点。在线段BC的延长线上时，连接BE、CE、DE.

(t根据题意在图2中补全图形；

◎用等式表示线段BE、CD、BC的数量关系，并证明.

(1)猜想：△AOE为等腰直角三角形..............1分

证明：VZBAC=90°,AB^AC,

：.ZB=ZC=45°.

为BC中点.

ZDAC=-ZBAC=45°.........................2分

2

:点。关于直线AC对称点为E

."C垂直平分。£

：.Aiy=AE

：.ZZMC=ZE4C=45°

ZDAE^900..............3分

ZVIOE为等腰直角三角形.

(2)①根据题意在图中补全图形为：

..............4分

证明:・・・。、E关于直线4C对称

：.CD=CE.

VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZACB=ZABC=45°.

NDCE=NBCE=90。.........................5分

BC2+CE2=BE2

：.BE2=BC2+CD2.........................6分

7.（2022.01-门头沟-期末）27.已知，在△ABC中，NBAC=30。，点。在射线2c上，连接A。，ZCAD=

a,点。关于直线4c的对称点为£,点E关于直线48的对称点为凡直线£尸分别交直线AC,AB

于点M,N,连接AF,AE,CE.

（1）如图1,点。在线段BC上.

①根据题意补全图1:

②NAEFu（用含有a的代数式表示），

ZAMF^°；

③用等式表示线段AM,ME,MF之间的数量关系，并证明.

（2）点。在线段BC的延长线上，且/C4O<60。，直接用等式表示线段AM,ME,MR之间的数量关

系，不证明.

备用图

解：（1）①补全图形；....................................分..........................

②60°—。，60;....................................................................................................3分

MF=MA+ME.

证明：

在FE上截取GF=ME,连接AG.

；点D关于直线AC的对称点为E,

：./XADC名△AEC.

二NC4E=NCAZ）=a.

,/ZBAC=30°,

二NEAN=3Q°+a.

又•.•点E关于直线AB的对称点为F,

,48垂直平分EF.

：.AF=AE,NFAN=ZEAN=300+a,

180°-2(30°+a)

，/尸=NAEF=---------------------^=60°-a.

2

AZAMG=60°-a+a=60°.

'：AF=AE,NF=NAEF,GF=ME,

：.AAFG也△AEM..............................................4分

：.AG=AM.

又；NAMG=60°,

.•.△4GM为等边三角形.......................5分

：.MA=MG.

,MF=MG+GF=MA+ME..................................................................................6分

(2)MF=MA-ME...................................................................................................................7分

8.(2022.01-延庆-期末)27.如图，NAOB=45。，OC是NAOB的角平分线，点。是射线08上的一点,

点M为线段。。的中点，过点”作。。的垂线，交射线于点E,交射线OC于

点F,连接即，交OC于点G.

(1)依题意补全图形；

(2)猜想E尸和EG的数量关系并证明；

(3)求证：ED+EF=2EM.

备用图

(1)如图.1分

(2)EF和EG的数量关系：EF=EG.2分

证明：VZAOB=45°,0c是/AOB的角平分线,

NEOG=NDOG=22.5°.

,/点M为线段OD的中点，EMYOD,

：.EO=ED,/EDO=45°.

NMEO=ZMED=45°.

：.ZOED=90°,ME=M0=MD.

：.ZEFG=NEOG+NMEO=22.5°+45°=67.5°,

ZEGF=180°-ZEOG-ZOEG=180°—22.5°—90°=67.5°.

:・/EFG=/EGF.

：.EF=EG.5分

(3)证明：

过点G作。。的垂线，垂足为M

:,GN=EG=EF,ON=OE=ED.

・・•ZEDO=45°,

：.DN=GN=EF.

0MNDB

:・ED+EF=0N+DN=0D=2EM....7分

9.(2022.01-怀柔-期末)如图，在等边三角形A8C边4c左侧有一射线CM,ZACM^a(0。<(1<30。)，点

A关于射线CM的对称点为点E,连接BE并延长交CM于点N,连接AN,AE,CE.

(1)依题意补全图形；

(2)在a(0。《1<30。)的变化过程中，

①求NBEC的大小(用含a的代数式表示)；

②N4VC的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出/

ANC的大小；

(3)用等式表示线段4MBE,NC之间的数量关系.

(1)如图;

..............................................................................................................................1分

(2)

①：点A关于射线CM的对称点为点E,

：.ZACM=ZECM^a,CE=AC.

「△ABC是等边三角形.

：.AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=60°.

:.CE=BC,ZBCE=60°-2a.

：.NEBC=NBEC=60o+a............................................................................................3分

②NA7VC不发生变化.ZA7VC=6O°..........................................................................4分

⑶在NC上取一点。，使NQ=AN,连接AQ.

...△ANQ是等边三角形.M/4

：.AN=AQ=NQfZNAQ=60°,\

B

：.4BAN=4CAQ.

：./\ANB^^\AQC.

：.BN=QC.

:点A关于射线CM的对称点为点E,

:.AN=NE=NQ.

"：NC=NQ+QC,

：.NC=NQ+NE+BE=2AN+BE..................................................................................6分

10.（2022.01-东城-期末）在等腰aABC中，A8=AC,点。是8c边上的一个动点（点D不与点B,C重合）,

连接AO,作等腰△ADE,AD=AE,/D4E=/B4C,点。，E在直线AC两旁，连接CE

(1)如图1,当/BAC=90。时，直接写出BC与CE的位置关系；

(2)如图2,当0VN8AC<90。时，过点A作4F_LCE于点尸，请你在图2中补全图形，用等式表示线

段83,CD,2E尸之间的数量关系，并证明.

(2)如图1,补全图形；.................................2分

CD—BD=2EF.................3分

证明：NBAC=NDAE,

：.NBAD=NCAE.

XVAB=AC,AD=AE,

：./\ABD^/\ACE.

：.BD=CE,AB=AACE,ZADB=ZAEC.

"：AB=AC,

：.NB=NACB.

，ZACB=ZACE.

延长EF到点G,使得尸G=EE

AFA.CE,

：.AE=AG.

ZAEG=ZG.

*.*NADB=NAEC,A

：.ZADC=ZAEG.

：.ZADC=ZG.

,:AC=AC,

JAADC^AAGC.

・・・CD=CG.

■:CG-CE=2EF,图2

・•・CD-BD=2EF..................5分

如图2,同理可证BD-CD=2EF...................6分

11.（2022.01-朝阳-期末）在△ABC中，ZACB=90°,AO8C,点。在AC边上（不与点A,C重合），连接

BD,过点。作点E与点A在直线3C的两侧，DE=BD,延长8c至点F,使CF=3C,连接

EF.

⑴依题意补全图1:

(2)在点A,B,C,。中，和点厂所连线段与。上相等的是点____.

①求NCrE的度数；

②连接EC并延长，交A3于点M,用等式表示线段EC与MC之间的数量关系，并证明.

25.(1)补全的图形如图所示:

VZACB=90°fCF=BC,

:・DB=DF.

：.ZCBD=ZCFD.

・・・ZBDE=90°.

：.ZEDF=180°-ZBDE-/CBD—/CFD

=90°~2ZCFD.

■:DE=BD,

：.DE=DF.

：.ZDEF=ZDFE.

：.ZDFE=-(180°-ZEDF)

2

=45°+ZCFD.

：.ZCFE=45°.

②线段EC与MC的数量关系：EC=MC.

证明：VZACB=90°,AC=BC,

：.ZABC=45°.

：./ABC=NCFE.

在△MC8和△EC尸中，

/ABC=NCFE,

BC=CF,

NMCB=NECF,

：.AMCB^AECF.

E

:.EC=MC.

12.（2022.01-丰台-期末）27.在△ABC中，AB=AC,点。是直线BC上一点，点C关于射

线AQ的对称点为点E.作直线3E交射线AD于点F,连接CF.

（1）如图1,点。在线段5c上，补全图形，求N4EB的大小（用含a的代数式表示）；

（2）如果/a=60。，

①如图2,当点£＞在线段BC上时，用等式表示线段w，CF,即之间的数量关系,并证明；

②如图3,当点O在线段。的延长线上(不与点C重合)时，直接写出线段AF,CI,跖之间的

27.(1)解：补全图形;

1分

连接AE,匕

•:点E为点、C关于AD的对称点，

/.AE=AC,ZEAD=ZCAD.

TS＜：ZEAD=ZCAD=X,

：.NC4E=2x.

；AB=AC,

ZACB=ZABC=a.

：.ZBAE=\SQ0-2x-2a.

ZABE+ZAEB=2x+2a.

'：AE=AB,

：.ZABE=ZAEB^x+a.

：.ZAFB=ZAEB-ZEAD=a.

3分

(2)@AF^BF+CF..................4分

...△/WC为等边三形.ABAC=60°.

由(1)知ZAFB=a=60°.

AFG为等边三角形.........5分

AAG=AF,NGA尸=60°.

NGAB=NFAC.

在△ABG与△ACE中，

AG=AF,

</GAB=/FAC,

AB=AC.

•••△ABG0△ACT(SAS).

・•・BG=CF.

：.CF+BF=BG+BF=GF.

•；GF=AF,

：.AF=BF+CF.……6分

②结论为：CF=AF+BF...........7分

13.（2022.01.昌平-期末）28.若△48C和△AOE均为等腰三角形，SAB=AC=AD=AE9当/ABC和NAOE

互余时，称△ABC与△AOE互为“底余等腰三角形"，AABC的边3c上的高AH叫做△49E的“余高”.

（1）如图1,ZVIBC与△ADE互为“底余等腰三角形”.

①若连接BD,CE,判断△AB。与△ACE是否互为“底余等腰三角形”:（填“是”或“否”）；

②当NB4C=90。时，若△4OE的“余高"A”=石，则DE=；

③当0。＜/区4。＜180。时，判断OE与AH之间的数量关系，并证明；

（2）如图2,在四边形48co中，ZABC=60°,DA1.BA,DCA.BC,且D4=OC.

①画出△OAB与△OCD,使它们互为“底余等腰三角形”；

②若△OCZ）的“余高“长为“，则点A到BC的距离为（用含a的式子表示）.

28.解：(1)①是.....................................................1分

②2亚............................................................................................2分

③DE=2AH........................................................................................3分

证明：过点A作AF_LL»E于点E

ZAFD=9Q°.

'：AD=AE,

：.DF=EF.

:.DE=2DF......................................4分

,/ZABC^ZADE互余，

ZABC+ZADE=90°.

•.•AH是△ABC的高，

ZAHB=ZAFD=90°.

ZABC+ZBAH=90°.

：.NBAH=ZADE.

：./\AHB^/\DFA(AAS).

：.AH=DF.5分

：.DE=2AH.

(2)①

A

...6分

②3a7分

14.（2022.01-石景山-期末）27.点尸为等边△ABC的边相延长线上的动点，点8关于直线PC的对称点

为D,连接AZ）.

(1)如图1,若族=AB=2,依题意补全图形，并直接写出线段AZ＞的长度;

(2)如图2,线段AO交PC于点E,

①设NBCP=a,求NAEC的度数;

②求证：AE=CE+DE.

(1)补全图形如图1；

AD=20

(2)①解：连接8,如图2.

：△ABC是等边三角形，

ACA=CB,ZACB=60°.

•点。与点B关于直线PC对称，

，N2=Nl=a,CD=CB.

CD=CA.

在等腰△C4。中，NACO=2a+60°,

180°-(2a+60°)

,Z.D=N3=---------------------=60o-ci.

2

・・・ZA£C=ZD+Z2=(60°-6Z)+cr=60°.........................................4分

②证明：在AQ上截取AF=DE,连接CF,如图3.

在△Ab和△0CE中，

CA=CD,

<Z3=ZD,

AF=DE,

AAACFADCE(SAS).

・・・CF=CE.

又YZ4=60°,

，△(7££：是等边三角形.

FE=CE.

'：AE=FE+AF,

：.AE^CE+DE.....................7分

15.（2022.01-大兴-期末）在△ABC中，AC=8C,ZAC8=90。，点。是直线AC上一动点，连接8。并延

长至点E,使ED=BD.过点E作E/UAC于点F.

(1)如图1,当点。在线段AC上(点D不与点A和点C重合)时，此时。尸与。C的数量关系是

(2)如图2,当点。在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：2AD=AF+EF.

图1

图2

(3)当点O在线段C4的延长线上时，直接用等式表示线段AO,AF,EF之间的数量关系是

备用图

(1)DF=DC.......................................................2分

(2)补全图形

证明：

VEF1AC,

/.Z£FC=90°.

•：?ACB90?,

・・・ZBCF=90°,

・・・ZEFC=ZBCF.

・•・在△8CZ）和△EFQ中

i?BDC1EDF

\1BCF?EFC

jBD=ED

.'./XBCD^^EFD...................................................................................................4分

：.CD=FD,BC=EF.

又：AC=BC,

：.AC-EF.

"：AD=AC+CD,

：.AD=EF+DF,

：.2AD=AC+CD+DF+EF,

：.2AD=AF+EF.......................................................................................................5分

（其他方法，根据具体情况给分）

（3）2AD=AF-EF................................................................................................7分

16.(2022.01-顺义•■期末)己知：在△ABC中，AB=AC,直线/过点A.

(1)如图1,ZBAC=90°,分别过点8,C作直线/的垂线段80，CE,垂足分别为。，E.

①依题意补全图1;

②用等式表示线段OE，BD,CE之间的数量关系，并证明；

（2）如图2,当/BACMO。时，设N2AC=a（0。<a<180。），作/CEA=NBD4=a,点。，E在直线/上,

直接用等式表示线段QE，BD,CE之间的数量关系为.

(1)①依题意补全图形如图1所示.......................................1分

②用等式表示OE,BD,CE之间的数量关系为DE=BD+CE...............2分

证明：VCE±/,BDLI,

：.ZCEA=N408=90。.

.,.Zl+Z2=90°./

,/ZBAC=90°,直线/过点A,