贵阳市2024年高三年级适应性考试(一)一模数学试卷（含答案）

贵阳市2024年高三年级适应性考试（一）数学2024年2月本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名､准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将试题卷､答题卡一并收回.第I卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.2.已知是复数，若，则（）A.B.C.D.3.设等差数列的前项和为，已知，则（）A.150B.140C.130D.1204.向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.5.已知圆，直线，则下列说法正确的是（）A.直线过定点B.直线与圆一定相交C.若直线平分圆的周长，则D.直线被圆截得的最短弦的长度为6.2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（）A.6种B.9种C.18种D.36种7.将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设样本数据的平均数为，中位数为，方差为，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则样本数据的分位数为1110.已知，且，则（）A.B.C.D.11.在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（）A.动点的轨迹是圆B.平面平面C.三棱锥体积的最大值为3D.三棱锥外接球的半径不是定值第II卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________.13.已知一个圆台的上､下底面半径分别为1和3，高为.若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为__________.（球的厚度可忽略不计）14.设分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆的离心率为__________.四､解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）记的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求面积的最大值.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.17.（本题满分15分）猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：（1）甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；（3）甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.18.（本题满分17分）已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.（1）求双曲线的方程；（2）过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；（3）过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.19.（本题满分17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：；（2）设，证明：；（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.贵阳市2024年高三年级适应性考试（一）参考答案与评分建议2024.2一､选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案BADCBDBD二､多项选择题（每小题6分，共18分）题号91011答案ABDABCDABC三､填空题（每小题5分，共15分）12.13.14.四､解答题（共5小题，共77分）15.解：（1）由正弦定理，得，又，所以，即.又，所以.（2）由余弦定理，得，所以.由基本不等式知，于是.当且仅当时等号成立.所以的面积，当且仅当时，面积取得最大值.16.（1）证明：因为底面底面，所以.因为底面是矩形，所以.又，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）解以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，则.所以.设平面的法向量为，则取，得.设平面的法向量为，则取，得.设平面与平面的夹角为，则所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.解：设“甲猜对一个灯谜”，“乙消对一个灯谜”，则（1）因为甲､乙恰有一人猜对的事件为，所以所以，甲､乙恰有一人猜对的概率为.（2）设“甲猜对两道题”，“甲中奖”，则所以，甲同学抽中新春大礼包的概率.（3）由（1）知.易知甲､乙猜对灯谜的个数之和的可能取值为.则所以的分布列为01234因此，的数学期望18.解：（1）因为虚轴长，所以.又因为点在双曲线上，所以，解得.故双曲线的方程为.（2）证明：设，则所以因为在双曲线上，所以于是，所以直线和直线的斜率之积为定值，定值是.（3）证明：设，直线的方程为.①则所以②③直线的方程为，令，得点的横坐标为同理可得点的横坐标为所以将①②③式代入上式，并化简得到所以的中点的横坐标为，故的中点是定点.19.证明：（1）设，则.当时，：当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.因此，，即.（2）由泰勒公式知，①于是，②由①②得所以即.（3），则由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.所以当时，，所以在.单调递增.又因为是奇函数，且，所以当时，；当时