宁夏六盘山市高级中学2021届高三年级上册期末考试数学（文）试题

宁夏六盘山高级中学

2020-2021学年第一学期高三期末测试卷

数学（文科）

测试时间：120分钟满分：150分

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求

的.）

1.已知全集〃={—1,0,123},集合A={T,1,2},8={-1,0,1},则（6"）05=（）

A.{0}B.{-1}C.{-1,3}D.

{-1,0,1,2,3}

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用补集的定义求出gA,再利用交集的定义可得答案.

【详解】因为全集。={-1,0,1,2,3},集合A={-1,1,2},

所以MA={0,3},

又因为8={-1,0,1},

所以（即A）03={0},

故选：A.

2.在复平面内，复数三对应的点的坐标为（）

2+i

A.（-1,2）B.（1,2）C.（2,1）D.（2,-1）

【答案】B

【解析】

【分析】

由复数的乘除运算化简卫，再由复数的几何性质得到其点的坐标即可.

2+i

5z5＜（2-z）5+10Z

【详解】由题意,l+2z,

2+7（2+z）（2-z）-5

所以言7对应的点的坐标为0，2）.

故选：B

/、x+2,x<1//、

3.已知函数/（》）=I.贝厅（〃°））=（）

A.4B.16C.32D.64

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据分段函数解析式代入计算可得；

[x+2,x<1

【详解】解：因为2,，所以/（0）=0+2

2'+2,%>1

/（/（0））=/（2）=222+2=26=64

故选：D

4.若tan6=」，则cos26=（）

2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系，把要求的式子化为匕黑9,把已知条

1+tanP

件代入运算，求得结果.

,1

…小„1皿2〃.cosP-sin?。1-tan2043

【详解】tan。=—,/.cos28=cos-0—sirr。=—；-------=-------=----=—

2cos2^+sin2^l+tan2^—15

4

故选：C.

5.若向量a=（3,l）,B=（2,2）,则下列结论正确的是（）

A.ab=7B.M=WC.（a-b^LbD.

s±（a+^）

【答案】c

【解析】

【分析】

利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项的正误;利用平面向量模长的坐标表示可判断B

选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断CD选项的正误.

【详解】对于A选项，24=3x2+1x2=8，A选项错误；

对于B选项，由平面向量的模长公式可得问=反1=而，W="T4=2立B选项错

误；

对于C选项，a-S=（l,-l）,｛a-b）b=2-2=0,所以仅向。，C选项正确;

对于D选项，因为Z+^=（5,3）,所有反倒+石）=10+6=1640,D选项错误.

故选：C.

6.已知｛%｝是公差不为0的等差数列，%是为与小的等比中项，则$6=（）

A.-9B.0C.9D.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】

由得出4=-gd，代入§6=64+等d可得答案.

【详解】设｛4｝的公差为“，因为生是知与心的等比中项，

所以即（4+4。）？=（4+3d）（4+74）,可得q=—1d,

所以=64+6；J=6xf-^-jj+15J=0.

故选：B.

7.在区间［-2,2］上随机地取一个数x,则事件。2一%一2《。”发生的概率为（）

【答案】D

【解析】

【分析】

求解不等式的解集，利用几何概型的长度比公式代入求解.

2-(-1)3

【详解】不等式/一工一2«0的解集为—1WXW2,所以概率P=c;0=了.

2—(—2)4

故选：D.

8.执行如图的程序框图，如果输入的£为0.05,则输出s的值等于()

clclclcl

A.2一--B.2---C.2--7D.2--

242526277

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的

运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

【详解】第一次执行循环体后，5=1，x=-,不满足退出循环的条件x<0.05；

2

再次执行循环体后，5=1+1,》=耍，不满足退出循环的条件x<0。5；

再次执行循环体后，S=l+J+:,x=:，不满足退出循环的条件x<0.05；

再次执行循环体后，s=l+'+」？+'？，了=下，不满足退出循环的条件x<0.05；

再次执行循环体后，s=l+g+*+±+最，％满足退出循环的条件x<0。5；

…,1111cl

输出s=l+/+中+3+呼=2-千

故选：A

x-y+4>0

9.若实数尤，y满足约束条件<3x-y-4M0,则z=3x+2y的最大值是()

x+y20

A.1B.20C.28D.32

【答案】C

【解析】

【分析】

画出可行域，向上平移基准直线3x+2y=0到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大

值.

【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分:

无-y+4=0

其三角形区域(包含边界)，由仁-,八得点A(4,8),

3x_y_4=0

由图得当目标函数z=3x+2y经过平面区域的点4(4,8)时，z=3x+2y取最大值

Zmax=3x4+2x8=28.

故选：C.

【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：

(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；

(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最

后通过的顶点就是最优解)；

(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值

将函数/(x)=2sin(2x+总的图象向左平移看个单位长度后得到函数g(x)的图象,

10.

则函数g(x)的单调递增区间是()

7C.71./,

A.-----FKTT,—4~K7T(攵£Z)B.一?+&乃,(+左乃(kEZ)

兀，兀,5兀.7T/,„\

C.-----卜kit,—FK71(ZeZ)D.----------\-K7T,-----1-K7V(keZ]

441212V7

【答案】D

【解析】

【分析】

先由三角函数的平移原则，求出g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求出结果.

【详解】将函数〃x)=2sin(2x+V的图象向左平移看个单位长度后得到函数g(x)的图

象，

所以g(无)=2sin7=2sin[2入+,

由一]++乃(kGZ)可得一•^+人乃＜工＜展+女左(左GZ),

57rIT

即函数g(x)的单调递增区间是一五+%肛己+&万(ZeZ).

故选：D.

11.已知抛物线C:y2=4x,过点A(-1,0)作C的两条切线，切点分别为8、D,则过点A、

B、。的圆截y轴所得弦长为()

A.2A/3B.272C.4#＞D.4夜

【答案】A

【解析】

【分析】

设出直线方程，与抛物线方程联立，由判别式为零解出8、。两点的坐标，进而得出过点A、

B、。的圆的方程，求出弦长即可.

【详解】设过点A(—1,O)的直线方程为x=四一1,

x=my-1,

联立〈2，可得—4n7)，+4=0,由△=16加之—16=0，解得加=±1

y=4x

即丁±4)，+4=0,y=±2,

不妨设3(1,-2),。(1,2),则80的中垂线方程为y=0,即圆心在x轴上

又A(TO),且点(1,0)到点A、B、力的距离都相等，则圆心坐标为(1,0),半径为2

圆的方程为(x—1)2+丁=4,令x=0,解得y=士百

即圆被y轴所截得的弦长为2百

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程以及直线与圆的位

置关系，解决本题的关键点是根据直线与抛物线相切，求出切点的坐标，进而得出圆的方程,

求出弦长，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题.

12.定义在R偶函数/(x)满足/(x-2)=-/(x+2),对7方,马€[0,4],x产乙，都有

"6/(々)>0,则有()

%一9

A./(1921)=/(2021)</(1978)B./(1921)</(1978)</(2021)

C../(1921)</(2021)</(1978)D./(2021)</(1978)</(1921)

【答案】B

【解析】

【分析】

首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小.

【详解】：/(x-2)=-/(x+2),，/(x+4)=-/(x),即/(x+8)=/(x),

••./(%)的周期T=8,

由条件可知函数在区间［0,4］单调递增，

〃1921)=/(240x8+l)=〃l),”2021)=/(252x8+5)=/(5)=/(-3)=/(3),

〃1978)=〃247x8+2)=/(2),

v函数在区间［0,4］单调递增，；.61)</(2)</(3),

即/(1921)</(1978)</(2021).

故选：B

【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含

/(%+«)=/(%),则函数的周期是同，若函数/(x+a)=—/(x),或/(x+a)=7^y,

则函数的周期是2时，或是/，(x-a)=/(x+Z?),则函数的周期是M+a|.

二.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.曲线y=xe'+x+1在点(0,1)处的切线方程为.

【答案】y=2x+l

【解析】

【分析】

对函数求导，将x=0代入可得切线斜率，进而得到切线方程.

(详解】y=e*+W+1,••・切线的斜率为％=yl.,=o=e°+1=2

则切线方程为y-l=2x,即y=2x+l

故答案为：y=2x+l

14.已知双曲线中心在原点，一个焦点为《卜夜,0),点尸在双曲线上，且线段尸耳的中点

坐标为(0，；)，则此双曲线的离心率是.

【答案】亚

【解析】

【分析】

设出双曲线的方程，利用中点坐标公式求出P的坐标，将其坐标代入双曲线的方程，通过。，

b，c的关系列出另一个等式，解两个方程得到。，c的值.即可求解双曲线的离心率.

【详解】据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在x轴上，

2

设双曲线的方程为5=1

a

•••一个焦点为£（一起,0）

:.c=42^>a2+b2=2①

•••线段P6的中点坐标为

二.尸的坐标为（四,1）,

将（立1）代入双曲线的方程得指-染=1②

由①②得。2=1，6=],所以a=l,

双曲线的离心率为：e=£=J5.

a

故答案为：V2.

【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率

有以下几种情况：①直接求出凡J从而求出e；②构造a,c的齐次式，求出e；③采用离心

率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解.

15.某一次学生考试结束后，老师随机询问甲、乙、丙3位同学的考试情况，甲说：“我的成

绩比乙好”；乙说："丙的成绩比我和甲的都好”；丙说"我的成绩比乙好“，丁同学告诉老师只

有一个人说了真话，请问：甲、乙、丙3位同学成绩最好的是同学.

【答案】甲

【解析】

【分析】

逐个分析假设甲、乙、丙说的是真话，根据题意即可判断出结果.

【详解】假设甲说了真话，说明甲、乙、丙3位同学成绩最好的是甲同学，

假设乙说了真话，此时丙也说了真话，这与题意矛盾，

假设丙说了真话，此时乙也说了真话，这与题意矛盾，

综上所述，只有甲说了真话，甲、乙、丙3位同学成绩最好的是甲同学

故答案为：甲

16.在直三棱柱中，NABC=90°,队=6设其外接球的球心为。，己

知三棱锥O-ABC的体积为6，则球。表面积的最小值为.

【答案】27万

【解析】

【分析】

设A8=a,BC=b,球的半径为，连接AQ,AC交于点。，取AC中点。，连接8。，

即。为三棱柱外接球球心，根据三棱锥体积可得。，。间关系，表示出厂，根据基本不等式可

求得r的最小值，从而得到球的表面积的最小值.

如图，因为三棱柱ABC—AgC是，且NABC=90°,

设钻=a,BC=b,球的半径为r,连接AG，4。交于点。，取AC中点。，连接BO,

则。到三棱柱六个定点的距离相等，即。为三棱柱外接球球心，

1人人_G

0D——AA=—,

2"2

又因为三棱锥O-ABC的体积为也，

即=百，即“6=12,

322

1

rrrl/“2八7fyicr+bY（V3?[T~~~336

所以尸=。4。-+0£）2=J------+—>.-ab+-=-^—>

V22V242

八7v7

当且仅当a=。时等号成立，

所以球0的表面积最小值为S-4万r2—27万1

故答案为：27万.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确

切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体,

切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点

均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

三.解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答）

（-）必考题（共60分，每题12分）

17.EIASC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosC+ccosA=2Z?cos3.

（1）求8；

（2）若8=275，UABC的面积为56，求口49。的周长.

【答案】⑴6=（；（2）6夜+26

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出cos8=’,进而求出8；

2

（2）根据余弦定理可得到（a+b）2-3ab=i2,再根据三角形面积公式得到次?=20,即可

求出。+人=6上，进而求出口ABC的周长.

【详解】解：（1）•.-61COSC4-CCOST4=2Z>COS^,

由正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,

整理得：sin(A+C)=2sin8cos5=sin8,

•・•在口48。中，()<8<万，

sin3W0,

即2cos3=1,

:.cosB=一,

2

71

即8=—；

3

(2)由余弦定理得：(26『=4+。2一2ac-；,

/.(a+c)2-3QC=12,

,**S=—acsinB=ac=5y/3，

24

QC=20,

・・・(a+c)2-60=12,

・・・〃+(?=6vL

...□ABC的周长为60+2。.

18.如图，四边形ABC。为矩形，且4D=4,AB=2及，F4_L平面ABC。，24=2,E

为8C的中点.

(1)求证：PC上DE；

(2)若M为PC中点，求三棱锥M—Q钻的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）二三.

3

【解析】

【分析】

（1）利用线面垂直证明线线垂直；

（2）利用等体积转化法求得几何体体积，或将VM_而B转化为;匕_48求解・

【详解】（1）如图，连接AC，

P

B

；E为8C的中点，EC=2,CD=2V2>

AR

由d=2=注，ZABC=ZECD=90°,得RiAABCsRtAECD,

BCCD2

:.ZACB=ZEDC,又ZDEC+/EDC=900得ZACB+/DEC=90°

DELAC,

又•••94,平面ABC。，且。Eu平面ABC。，

PA1.DE，

又ACcPA-A,

Z)E_L平面PAC,

又：PCu平面A4E，

PCIDE.

（2）如图，取AC、AB的中点N、H,连接MN、NH.

M

BEC

易得MN"PA

P4u平面Q48

.♦.MV//平面Q48，又NHA.AB且NH工PA

,/ABr>PA=A，

M/_L平面Q4B

7

SAPAH=1x2x2V2=2V2,NH=3AD=2,

^M-PAH~^N-PAH=§*S&PABXNH=-X2>/2X2=:'

法二：因为M为PC中点，所以

VM-PAB==；VjBC=JX|X；X4X20X2=¥^.

乙乙乙J乙J

【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱

两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.

19.为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各10人，并测量他们的

身高，测量结果如下（单位：厘米）：

男：173178174185170169167164161170

女：165166156170163162158153169172

男生女生

15

16

17

18

（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值;

（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数/?（单位：厘米），将男、女生身高不低于力

和低于人的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？

人数男生女生

身高

身高＜〃

n(ad-be)-

参照公式：k2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(/?+d)

0.100.050.0250.0100.0050001

402.7063.8415.0246.6357.87910.828

（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175

厘米为偏高.采用分层抽样的方法从以上男生中抽取5人作为样本.若从样本中任取2人，试求

恰有I人身高属于正常的概率.

【答案】（1）男：171.1,女：163.4：（2）答案见解析，有；（3）0.6.

【解析】

【分析】

（1）根据题中数据完善茎叶图即可，结合平均数的计算公式即可求出结果;

n^ad-bc\

（2）根据题中数据完善列联表，再由公求出炉，结合临界

(a+0)(c+d)(a+c)(0+d)

值表即可得出结论;

（3）先由题意确定身高属于正常的男生概率，进而可求出结果.

【详解】（1）茎叶图为:

男生女生

15683

048031702

518

平均身高为：男：-^（173+178+185+170+169+167+164+161+170）=171.1,

女：-^（165+166+156+170+163+162+158+153+169+172）=163.4.

(2)20名学生身高的中位数〃=168,

男、女身高的2x2列联表:

人数男生女生

身高2。73

身高<力37

..220（7X7-3X3）2_32

K3.2>2.706,

'-（7+3）（3+7）（7+3）（3+7）-10

.•.有90%把握认为男、女身高有差异.

(3)由测量结果可知，身高属于正常的男生9x6=3,记这三名男生为“，b,c身高属于

10

不正常(偏矮或偏高)的男生』x4=2,记这两名男生为1,2

10

从以上5名学生中任取2人的结果有：ah,ac,H,be,bl,b2,cl,c2,12共10种

其中恰好一名身高属于正常的男生的事件A有：。2,M,b2,cl,。2,共6种

A

“(m=—=0.6.

v710

.••恰有1人属于正常的概率为06

【点睛】本题主要考查茎叶图以及独立性检验的问题，熟记平均数的计算公式、独立性检验

的思想等即可，属于常考题型.

20.已知函数/（•x）=x2-（f+2）x+flnx.

⑴若x=3是〃x)极值点，求的极大值；

(2)若g(x)=e'+"nx-1,求实数r的范围，使得/(x)Wg(x)恒成立.

【答案】(1)-7；(2)t>-e.

【解析】

【分析】

(1)先对函数求导，结合极值存在的条件可求t,然后结合导数可研究函数的单调性，进而

可求极大值；

—Jp"4-2尤一1

(2)由已知代入可得，-t<--在x>()时恒成立，构造函数

x

x

p--I-0V-1

/i(x)=--,结合导数及函数的性质可求.

t2

【详解】解：(1)f'(x)^2x-t-2+-,x>0,由题意可得，/(3)=4—不=0,解可

得，=6,

XX

所以，当x>3,0<x<l时，r(x)>0,函数单调递增，当l<x<3H寸，尸(力<0，函

数单调递减，

故当x=l时，函数取得极大值/(1)=-7；

(2)由/(x)Wg(x)得x2-(r+2)x+rlnxWe"+rlnx-l在1>0时恒成立可得,

e'-x2+2x-l,//e'—V+Zx—1

-t<-------------在X>0时怛成H,-t<-------------------

XIXzmin

€X—+2x—1

令M])=

X

贝I]“(X)=(e'―2x+2)x—p—Y+2X—1)

令WxjueX-x—l,所以R(力=-一1,令/(x)=0,提x=0,

所以当x>0,F(x)>0,函数单调递增，当x<0时，尸(x)<0,函数单调递减,

故当x=0时，函数取得最小值产(0)=0,又x〉0,所以e'—x—1>0，

所以〃(x)在(0,1)上单调递减，在。,内)上单调递增，

所以/i(x)而n=〃(l)=e,可得T4/z(x)而n=e，所以fN-e.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法:

①分离参数a2/（x）恒成立（a2/（x）m”即可）或aW/（x）恒成立（aW/（力,血即可）;

②数形结合（y=〃x）图象在y=g（x）上方即可）；

③讨论最值20或"力四W0恒成立.

21.已知椭圆C：0+g=l（a>b>O）的左、右焦点分别为耳，鸟，离心率为白，过耳作

直线4，，2分别与椭圆C交于4,B,C,。四点，且4,4，口A8K的周长为&

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M,N分别是AB，CO的中点，求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】（1）亍+：/=1；（2）证明见解析，（二等，0]

【解析】

【分析】

（1）利用椭圆的定义求出。，根据c=JLb=即可求解・

（2）当4斜率存在时，设出直线AB的斜率求出方程，与椭圆方程联立利用韦达定理求出A8

的中点坐标，同理可得到C£>的中点坐标，讨论中点的所在的直线是否过定点，再讨论线直线

AB的斜率不存在时过的定点可得答案.

【详解】（1）因为椭圆的离心率e=£=立，

a2

又因为三角形AB6的周长为8,则4s=8,所以a=2,c=JL

所以〃=。2一。2=1，

故椭圆的标准方程为工+V=1.

4'

（2）证明：设点A（x”x）,Ww，%），

设直线A8的方程为-百，与椭圆方程联立可得：

2

（4+^）/-273^-1=0,则“+%=溶,为%=号,

故％+x2=k(y1+y2)-2y/3=

故AB的中点M的坐标为

由A3J_CD,它们的斜率乘积为T,可得8的中点坐标为N

-4

辰解得％2=1,

1+4左2

此时需=需=¥

故直线MN过点G

瓜

.=1+4/=5k

NG_-4y/3_-4y/3k2~4(抬—1)'

~~51+4人之

所以AMG=ANG，即M,N,G三点共线,

所以直线MN过定点

若4，4有一个斜率不存在时，则必有一直线为），轴,也过定点

综上,直线MN过定点

【点睛】本题考查了椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，关键点是利用韦达定理求出中点

坐标讨论中点所在直线是否过定点，考查了分类讨论的思想，分析问题、解决问题及计算问

题的能力，属于难题.

(二)选考题：(共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按

所做的第一题计分)

x=]+4cosoc

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程，(。为参数)为参数在变换

y=l+2sma

x=x

(p：\,c的作用下曲线C变换为曲线C'.以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立

[y=2y

极坐标系，直线/的极坐标方程为0cos6+(=0.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)设曲线C'的对称中心为P,直线/与曲线C'的交点为A,B,求△EW的面积.

【答案】(D(x-l)2+(y-2)2=16；x-y=2；(2).

【解析】

【分析】

x'=x,fx=l+4cosa

（1）先由变换，c得曲线C：｛C…(a为参数)，再消参得普通方程.将

y-2yIy=2+4sma

x=pcos0,y=psin。代入即可得到直线/的直角坐标方程.

(2)由(1)得C'得圆心P(l,2),求得圆心尸(1,2)到直线/的距离，再由几何法求得弦长

AB,从而求得△PAB的面积.

x=]+4cosax，—工

【详解】解：(1)曲线。的参数方程《[八.