2019年高考全国Ⅰ卷文数试题答案解析

2019年高考全国I卷文数试题解析

1.设z，则z=

1+21

A.2B.73C.V2D.1

【答案】c

先由复数的除法运算(分母实数化)，求得z,再求回.

(3-/)(l-2z)17

【解析】因为z=1二1,所LJZ——I

1+2，(l+2z)(l-2z)55'

iz|=J(y+(—62=血，故选c.

2.已知集合U={11,5,}2,,33,4=,5{,26,7}3,6,A7=}，{则2,38,n4C°A

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.

(1,6,7}

【答案】c

先求名人,再求Be心A.

【解析】由已知得G；A={1，6,7},所以3门。4={6,7},故选C.

3.已知。=1。8202。=2°-2,，=0.203,则

A.a<b<cB.a<c<hC.c<a<hD.

h<c<a

【答案】B

运用中间量0比较〃，c,运用中间量1匕阐人，。

3

【解析】«=log20.2<log2l=0,匕=20-2>2°=1,0<0.2°<0.2°=1,则

0<c<l,a<c<Z?.故选B.

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是叵【

2

（叵口«0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯"便是如此.此外，最美人体

2

的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是正匚.若某人满足上述两个黄金分割

2

比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解.

【解析】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm,肚脐至腿根的长为ycm,则

生=今士土=正二！，得xH42.07cv«,yH5.15c7«.又其腿长为105cm,头顶至脖子

xy+1052

下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm.故

选B.

ciny4-X

5.函数立）=--------7在［TT,TT］的图像大致为

COSX+X-

【答案】D

先判断函数的奇偶性，得.”X）是奇函数，排除A,再注意到选项的区别，利用特殊值得正

确答案.

、sin(-％)+(—x)-sinx-x”、，

【解析】由/(-九)=—1(；=----r=-/W,得fM是奇函数,其图象关

cos(-x)+(-X)cosx+x

1+工

TTo4+n

于原点对称,又/(彳)=—二=——>1，f⑺=-—7>0.故选D.

2(工)2兀--1+7T

6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1000,从这些新

生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4

名学生中被抽到的是

A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号

学生

【答案】C

等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想，逐个选项判断得出答案.

【解析】解析：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46

号学生被抽到，

所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列｛公差d=10,

所以％,=6+10〃（〃eN*）,

若8=6+10〃，则〃=(，不合题意；若200=6+10〃，则“=19.4,不合题意；

若616=6+10〃，则〃=61,符合题意；若815=6+10〃,则〃=80.9,不合题意.故选

C.

7,tan255°=

A.-2-V3B.-2+6C.2-73D.2+6

【答案】D

本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式

计算求解.题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

tan255°=tan(l80°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=

1+也

tan45°+tan30。T=2+Q

1-tan45tan3073

1----

3

【迁移】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能

力.

8.已知非零向量a,6满足同=20|,且（a-b）_L6则a与6的夹角为

【答案】B

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数

学计算等数学素养.先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角

公式即可计算出向量夹角.

【解析】因为3一份工人，所以（。一份力=。力一/=0,所以。为=〃，所以

。05夕=片1=裳5=〈，所以。与。的夹角为g，故选B.

\ci\t\b\2\b\~23

9.如图是求2+1的程序框图，图中空白框中应填入

11

A.A=B.A—2H—C.A-D.

2+AA1+2A

>4=1+—

2A

【答案】A

本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特

征与程序框图结构，即可找出作出选择.

【解析】执行第1次，A=1«=1<2是，因为第一次应该计算;71=丁二,k=k+\=2,

22+A

]

循环，执行第2次，攵=2W2,是，因为第二次应该计算2+I=丁二，左=左+1=3,

2+1-2+A

2

循环，执行第3次，k=2£2，否，输出，故循环体为A=丁二,故选A.

2+A

【迁移】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A=八.

2+A

22

10.双曲线<2x--3v=1（4〉0/>0）的一条渐近线的倾斜角为130。，则C的离心率为

ab~

A.2sin40°B.2cos40°C.---D.

sin50°

1

cos50°

【答案】D

【解析】

分析】

由双曲线渐近线定义可得--=tan130。，.•.一=tan50°，再利用e=£=求双曲

ciaa

线的离心率.

bb

【解析】由已知可得一一=12930°,，一=12150。，

aa1

/sin250°+cos25001

=Vl+tan250°

fS^vcos250°cos50°

故选D.

【迁移】对于双曲线：2=l(a>0,Z?>0),有e'=；对于椭圆

〃ba

防止记混.

11.A/8C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin/-Ain8=4csinC,cosA=

「则1=

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

利用余弦定理推论得出a,b,c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【解析】解析：由已知及正弦定理可得〃一匕2=4cz,由余弦定理推论可得

.229

b~+CC2C2

-413C1b3ALA

--=cosA=一,—=—9—=—x4=6iffi&SA.

42bc2bc42b4c2

【迁移】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.

12.已知椭圆C的焦点为£（-1,0），鸟（1,0）,过月的直线与C交于4,8两点.若

IAq=2|F2B\,IAB|=|BF\,则。的方程为

2222

八X1D工1

A.---Fy2=IB.---F-»-=1C,工+匕=1D.

23243

【答案】B

【解析】

分析】

由已知可设优叫=〃,则|然|=2〃,忸耳|=|钻|=3〃，得|做|=2"，在△前3中求得

cos4A6=；,再在△人耳耳中，由余弦定理得〃=走，从而可求解.

32

【解析】法一：如图，由已知可设内邳=〃,则|伍|=2〃,忸耳|=|明=3〃,由椭圆的

定义有2a=忸用+忸闾=4〃,r.|M|=2a-|A周=2〃.在△然8中，由余弦定理推论

4«2+9/?2-9n21

得COSNF；AB=M十""=！.在中，由余弦定理得

2-2/1-3n3

4/?2+4M2-2-2/2-2/I--=4，解彳导〃=@.

32

22

2a=4〃=2>/3,a=A/3,b2=a1—c1=3—1=2,/.所求椭圆方程为—十―1,

32

故选B.

法二:由已知可设后卸二〃,则|伍|=2〃,忸£|=|AB|=3〃,由椭圆的定义有

2a=\BF]\+\BF2\=4n,:.\AFl\=2a-\AF2\=2n.在△?!耳巴和△电工中，由余弦定理得

22

4/?+4-2.2〃.2•cosZAF2F}=4n,

，又N44耳，/8回耳互补,

22

n4-4-2•n-2•cosZBF2F1=9n

22

/.cosAAF2F}+cosZBF2F1=0，两式消去cosNA玛耳，cosN5玛耳Jf3n+6=lln,

解得n-2a=4n=2>/3，.二a=\/3,h2=cr—c2=3—1=2,.,.所求椭圆方程为

2

【迁移】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，

很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=3(/+x)e'在点(0,0)处的切线方程为.

【答案】3x-y=0.

本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得

切线方程

【解析】解析：V=3(2x+l)e，+3(/+x)e*=3(/+3x+l)e-

所以，左=>'L0=3

所以，曲线y=3，+x)e'在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.

【迁移】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计

算错误.求导要"慢"，计算要准，是解答此类问题的基本要求.

3

14.fiS为等比数列｛为｝的前77项和.若q=1，S3=[,则*=

【答案】

O

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比4的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到

54.题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【解析】解析：设等比数列的公比为4，由已知

31

S3=4+%q+=1+q+q~=—,即q~+4--=0

解得q=_g

4(1"J-，5

所以S4

>q8

【迁移】准确计算，是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幕的乘方运算、繁分式分式

计算，部分考生易出现运算错误.

一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算

3

S4=Si+a4=S3+«^=|+（-1）=|,避免繁分式计算.

37r

15.函数/（X）=sin（2x+弓）-3cosX的最小值为

【答案】-4.

本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于

cos8•cosC=!的二次函数，从而得解.

4

【解析】

34

f(x)=sin(2x+—)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1

〜3、217

=-2(cosXd—)H----.

48

•.•一1WCOSXWl,当COSX=1时，/min(X)=-4,

故函数/(x)的最小值为T.

【迁移】解答本题过程中,部分考生易忽视-1<cosx<l的限制，而简单应用二)欠函数

的性质，出现运算错误.

16.已知P为平面Z8C外一点，PC=2，点?至！|/力)两边ZC,8。的距离均

为百，那么P到平面/8C的距离为.

【答案】V2

本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面

垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决.

【解析】作PRPE分别垂直于,p。工平面ABC,连CO,

知C"皿C"PO,PDC\OD=P,

\CD人平面,QDu平面PDO,

：.CD±OD

■■■PD=PE=y/3,PC=2.sinZPCE=sinZPCD=—,

2

;.NPCB=NPCA=6(f,

：.PO±CO,CO为ZACB平分线,

ZOCD=45°OD^CD^1,OC=6,又PC=2,

p

【迁移】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难

解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解

题事半功倍.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（一）必考题：60分。

17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的

服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(RN

0.0500.0100.001

k)

k3.8416.63510.828

43

【答案】(1)Mg；

(2)能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

(1)从题中所给的2x2列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算

出相应的频率，即估计得出的概率值；

(2)利用公式求得观测值与临界值比较,得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服

务的评价有差异.

【解析】(1)由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，

404

所以男顾客对商场服务满意率估计为=-,

50名女顾客对商场满意的有30人，

303

所以女顾客对商场服务满意率估计为/^=—=-,

2

(2)由列联表可知K=100(40X20-30X10)2=吧。4.762>3,841,

70x30x50x5021

所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【迁移】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利

用列联表计算K?的值，独立性检验，属于简单题目.

18.记S为等差数列｛%｝的前〃项和，已知£=-右.

(1)若电=4,求｛a〃｝的通项公式；

(2)若出>0,求使得的"的取值范围.

【答案】(1)%=-2〃+10；

(2)1V〃410(〃GN").

(1)首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于4和。的方程组，求得4

和。的值，利用等差数列的通项公式求得结果；

(2)根据题意有%=0,根据4>0,可知d<0,根据S.>an,得到关于〃的不等式，

从而求得结果.

【解析】(1)设等差数列｛%｝的首项为q，公差为。，

除+”d——(q+46?)

根据题意有2

4+2d=4

4=8

解答，』2,所以3+57-〃+"

所以等差数列｛4｝的通项公式为=-2〃+10;

(2)由条件S9=-%,得9%=—％，即％=°,

因为苗〉0，所以d<0，并且有%=%+4"=0，所以有％=-44,

2

由Sn>an得叫+〃(丁)J>a,+(n-l)J,整理得(n-9〃)d>(2n-l0)d,

2

因为d<0,所以有〃2一9〃42〃-10,&Pn-lln+10<0,

解得1W〃W1O,

所以〃的取值范围是：l<n<10(ne^*)

【迁移】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列

的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

19.如图，直四棱柱力8。-48GQ的底面是菱形，Z4=4,AB=2,仄60°，;例,

/V分别是BC,BBi,4?。的中点.

(1)证明：例Ml平面C1DE-,

(2)求点C到平面G0F的距离.

【答案】(1)见解析；

(2)"

17

(1)利用三角形中位线和可证得ME〃N£)，证得四边形MNDE为平行四边形,

进而证得MN//DE,根据线面平行判定定理可证得结论；

(2)根据题意求得三棱锥G-CDE的体积，再求出AC.DE的面积，利用VCi_CDE=Vc_CiDE

求得点C到平面CQE的距离，得到结果.

【解析】(1)连接ME,Bg

'-M,E分别为8g,6c中点为羽由。的中位线

ME//B£且ME=；B[C

又N为4。中点，且AQ〃B|CND//B}C且ND=gB,C

MEHND四边形MNDE为平行四边形

:.MN"DE,又肱V(Z平面GOE,DEI平面0OE

.•.脑7//平面。0后

(2)在菱形ABC。中，E为中点，所以DELBC,

根据题意有。E=0,Ci£=Vi7,

因为棱柱为直棱柱，所以有。EJ•平面BCC#,

所以。,所以Sgg岛后,

设点C到平面C0E的距离为d,

根据题意有％-CDE=Z-CQ£，则有gxgx6xVT7xd=(xgxlx百X4,

解得〃=4曰=里4J1上7

V1717

所以点C到平面C}DE的距离为生叵

17

【迁移】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面

的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻

找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.

20.已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,1(x)为〃x)的导数.

(1)证明：％x)在区间(0,7T)存在唯一零点；

(2)若旌［0,TT］时,f(x)>ax,求a的取值范围.

【答案】(1)见解析；

(2)ae(e,O］.

(1)求导得到导函数后,设为g(x)进行再次求导,可判断出当x西膏斑寸，g'(x)>。,

当时，g'(x)<0，从而得到g(x)单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点

所处的位置，证得结论；(2)构造函数〃(x)=,f(x)一公,通过二次求导可判断出

"On=〃'⑺=-2-”,“(x)a="(£)=芋-。；分别在-2,-2<a<0,

77—277—2/\

0<。<一5一和。2一万一的情况下根据导函数的符号判断〃(x)单调性，从而确定

〃(%)>。恒成立时〃的取值范围.

【解析】(1)/'(X)=2cosx-cosx+xsinx-l=cosx+xsinx-l

令g(x)=cosx+xsinx—l,则g'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx

当xe(0①时，令g'(x)=0,解得：x=|

二当x西费享时，g'(x)>。；当时，g'(x)<0

\g(x)在］。，'］上单调递增；在［、，乃］上单调递减

又g(O)=l-l=O,=f-1>0，g(%)=TT=-2

P

当

即X-

•

2干g(x)>0,此时g(x无零点,即尸(x)无零点

,•抬图,8⑺<°.,•现右停1),使得g($)=。

又g(x)在上单调递减.”=%为8"),即广(力在仁，乃)上唯一零点

综上所述：:3在区间(0,兀)存在唯一零点

(2)若尤e［0,句时,f(x)>ax,即/(x)一公20恒成立

令/z(x)=/'(x)-or=2sinx-xcosx-(a+l)x

贝=cosx+xsinx-l-〃，/z"(x)=xcosx=g'(x)

由(1)可知，〃'(x)在(0仁)上单调递增；在上单调递减

且/⑼=一。,"图，〃'⑺=-2一4

.,."(%="(乃)=-2—a,图

①当aW—2时，〃'(6讪=〃'(不)=一2—。",即〃'(x)20在［0,句上恒成立

.・/(X)在［0,句上单调递增

\/z(x)?、(0)0,&p/(x)-ax>o,此时/(X)之以恒成立

②当一2＜aW0时，/r（o）＞o,J＞0,〃'S）＜0

，叫€仁,乃），使得〃（毛）=0

.・/（x）在［0,不）上单调递增，在（/句上单调递减

又〃（0）=0,〃（»）=2sin»-;rcos万一（。+1）万=一〃乃之0

・・・〃（司之。在［。，句上恒成立,即〃X）NQX恒成立

③当0＜a＜一时,〃'（0）＜0，呜卜__“＞（）

.•与々€（0,1^,使得"（々）=°

.•/（X）在［0,/）上单调递减，在12,5上单调递增

.,.%«0,%2）时，/7（》）＜〃（。）=。，可知/（x）2侬不侬立

④当/岁时，"㈤皿二"仁卜学一。、。

・••Mx）在（0,3上单调递减\〃（x）＜〃（0）=0

可知〃x）2ar不恒成立

综上所述：a«Yo,0］

【迁移】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.

对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变

成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到

最值.

21.已知点，，8关于坐标原点。对称,\AB\=4,0例过点Z,6且与直线x+2=0相切.

(1)若，在直线x+股。上，求。例的半径.

(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|例4|-|例川为定值？并说明理由.

【答案】(1)2或6;

(2)见解析.

(1)设A«,T),B(一⑼,根据|AB|=4,可知=&；由圆的性质可知圆心M必在

直线户》上，可设圆心；利用圆心到x+2=0的距离为半径和==「构

造方程，从而解出「；(2)当直线AB斜率存在时，设方程为：丁=依，由圆的性质可

知圆心M必在直线.丫=-!》上；假设圆心坐标，利用圆心到x+2=0的距离为半径和

k

r=\MA\=加『+|叫2构造方程，解出乂坐标，可知M轨迹为抛物线；利用抛物线

定义可知产（1,0）为抛物线焦点，且定值为1；当直线AB斜率不存在时，求解出M坐标,

验证此时P（l,0）依然满足定值，从而可得到结论.

【解析】（1）•.•A在直线咚上.•・设A（f,T）,则

r

又|朋=4.•⑻2=16,解得：卜|=3

•：QM过点A,8:•圆心M必在直线？=*上

设M（a,a）,圆的半径为「

•.•0M与x+2=0相切.”=卜+2|

又|M4|=|M@=r,即（a—及『+n+血）2=,

.,.（4-血）+（4+0）=（4+2）2,解得：4=0或。=4

当。=。时，〃=2；当。=4时，r=6

・•・。加的半径为：2或6

（2）存在定点尸（1,0）,使得〔MAI-IM=1

说明如下：

vA,B关于原点对称且|AB|=4

二直线A8必为过原点。的直线，且|。4|=2

①当直线AB斜率存在时，设AB方程为：y="

则QM的圆心M必在直线y=一7x上

k

设加）,G）M的半径为广

•.•0V与x+2=0相切：.r=\-km+2\

又厂==,J\OAf+\OMf=y/4+k2m2+m2

/.|-^m+2|="+攵2M+M,整理可得：〃?2=-4km

即加点轨迹方程为：步=4x,准线方程为：x=-1,焦点F（1,O）

•••|M4|=r,即抛物线上点到x=—2的距离月+1

二当P与F重合，即P点坐标为（1,0）时，|加4|一|网=1

②当直线AB斜率不存在时，则直线AB方程为：x=0

\M在x轴上，设M（〃,0）

:.\n+2\=yJn2+4，解得：〃=0,即M（0,0）

若P(L。)，贝“,卜|心|=2-1=1

综上所述，存在定点P(LO)，使得|M4HMp|为定值.

【迁移】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问

题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定

值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，

则按所做的第一题计分。

224选修4-4:坐标系与参数方程］

'1-/

x-1+产，

在直角坐标系X。/中，曲线C的参数方程为｛七’"为参数)，以坐标原点。

4r

为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

20cose+Gpsine+l1=0.

(1)求。和/的直角坐标方程；

(2)求。上的点到/距离的最小值.

2

【答案】(1)C:x2+-^-=l,xe(-