2023-2024学年宁夏银川市永宁县重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年宁夏银川市永宁县重点中学高二（上）期末数学试卷一、选择题1.直线3x−y+2=0的倾斜角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.抛物线y2=2x的准线方程是(

)A.y=−12 B.y=−1 C.x=−13.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，a4A.24 B.36 C.48 D.644.用数学归纳法证明1+2+3+4+⋯+(2n−1)+2n=2n2+n(n∈N∗)，当n=k+1(k∈A.2k+1 B.2k+2

C.(2k+1)+(2k+2) D.15.“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳詿比纇算法大全》，通过计算得到的答案是(

)A.2 B.5 C.4 D.36.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：ℎ)近似满足函数关系：V(t)=H(10−110t)3(H为常数)A.t1 B.t2 C.t37.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆A.455 B.3558.设a=ln22，b=ln33，c=A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c9.下列有关导数的运算正确的是(

)A.2Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0−Δx)2Δx10.过点(1,1)作曲线y=x3的切线，则切线方程可能是(

)A.3x+y−2=0 B.3x−y−2=0 C.3x−4y+1=0 D.3x+4y−1=011.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，BA.直线AB的方程为y=12(x−3) B.a2=2b2

12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an=f(n)A.当n=4时，Sn取得最大值 B.当n=3时，Sn取得最大值

C.当n=4时，Sn取得最小值 D.当n=3二、非选择题13.若等比数列{an}满足a2a4=a14.若圆x2+y2−2ax−2by=0(a>0,b>0)被直线x+y=115.不过原点的直线l：y=x−m与抛物线y2=8x交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，则m的值为______．16.若函数f(x)=ae2x+(a−2)ex17.已知等差数列{an}满足a8=9，a2+a9=13．

(1)求数列{an}的通项公式；18.已知函数f(x)=xlnx．

(1)求函数f(x)的单调区间和最小值；

(2)画出函数f(x)的草图并根据草图求函数g(x)=12x2(lnx−19.四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=CD=1，AB=BC=2，PC=3，AB/​/CD．

(1)求证：BC⊥平面PAB；

(2)求二面角A−PD−C的余弦值．20.已知数列{an}，其前n项和为Sn=32n2+72n(n∈N∗).数列{bn}满足b1=1，bn=21.设函数f(x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]ex．

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a；

(2)若f(x)在x=222.已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为32的椭圆经过点M(1,12)．

(1)求椭圆G的方程；

(2)若动点A，B(不与定点M重合)均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1，O为坐标原点．

(ⅰ)求证：直线AB经过定点；

(ⅱ)求△ABO的面积答案和解析1.【答案】B

【解析】解：直线3x−y+2=0的斜率等于3，

又因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角大于或等于0度小于180度，

故直线的倾斜角为60°，

故选：B．

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查抛物线的准线方程，属于基础题．

利用抛物线y2=2px的准线方程是x=−p2即可得出．

【解答】

解：由抛物线y2=2x，可得准线方程x=−24，3.【答案】B

【解析】解：∵{an}是等差数列，

∴a4+a5+a6=3a5=12，则a5=4，

∴S94.【答案】C

【解析】解：等号左边加的项是[1+2+3+4+⋯+2k+(2k+1)+(2k+2)]−(1+2+3+4+⋯+2k)，

=(2k+1)+(2k+2)．

故选：C．

分别令n=k+1，n=k，然后作差求解．

本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．5.【答案】D

【解析】解：根据题意，设每层的灯数为an，

易得数列{an}为等比数列{an}，且其公比为2，S7=381，

则有S7=381=a1(27−1)2−1，解得a1=3．6.【答案】C

【解析】解：平均融化速度为v=V(100)−V(0)100−0，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，

观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致，

故选：C．

根据题意可知，平均融化速度为v=V(100)−V(0)100−0，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度(即切线的斜率)，即可得到答案7.【答案】A

【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，

可得c=5a，所以b=2a，

所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x，

一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，圆的圆心(2,3)，半径为1，

8.【答案】C

【解析】解：a=ln22，b=ln33，c=1e=lnee，

令f(x)=lnxx，得f′(x)=1−lnxx2，

∴当x∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x∈(e,+∞)时，f(x)为减函数，

则f(e)最大，而f(2)=ln22=ln68，f(3)=ln33=9.【答案】AC

【解析】解：A：2△x→0limf(x0+△x)−f(x0−△x)2△x=f′(x0)，故A正确；

B：(e2x)′=2e2x，故B错误；

C：(log2x)′=1xln2，故C10.【答案】BC

【解析】解：①若(1,1)为切点，k=3⋅12=3，

∴切线方程：y−1=3(x−1)即3x−y−2=0

②若(1,1)不是切点，设切点P(x0,x03)，k=3x02=x03−1x0−1⇒2x02−x0−1=0⇒x0=1(舍)或11.【答案】ABD

【解析】解：因为直线AB过点F(3,0)和点(1,−1)，

所以直线AB的方程为y=12(x−3)，代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，

得(a24+b2)x2−32a2x+94a2−a2b2=0，

所以AB的中点的横坐标为3212.【答案】A

【解析】解：根据题意，由图象可知有4种可能：

①，a7=0.7，S7=−0.8，a8=−0.4，由a7=0.7，a8=−0.4，可得d=−1.1，a1=7.3；

分析可得S7=7×(7.3+0.7)2=28>0，与S7=−0.8，矛盾，舍去；

②，a7=0.7，S7=−0.8，S8=−0.4.由S7=−0.8，S8=−0.4，可得a8=0.4，则8(a1+0.4)2═−0.4，

解得a1=−0.5，∴a8=−0.5+7d，解得d=970≠0.4−0.7=−0.3，矛盾，舍去；

③，a7=−0.8，S7=0.7，a8=−0.4.由a7=−0.8，S7=0.7，可得7(a1−0.8)2=0.7，

解得a1=1，∴−0.8=1+6d，解得d=−0.3，而−0.4−(−0.8)=0.4，矛盾，舍去．

④，a7=−0.813.【答案】2

【解析】解：∵等比数列{an}满足a2a4=a5，a4=8，

∴a1q⋅a1q14.【答案】14【解析】解：由圆x2+y2−2ax−2by=0，可得圆心C的坐标(a,b)，

又因为圆x2+y2−2ax−2by=0被直线x+y=1平分，

∴直线x+y=1过圆心(a,b)，∴a+b=1，

∴2ab≤1，∴ab≤14，当且仅当15.【答案】8

【解析】解：联立y=x−my2=8x，

消x可得y2−8y−8m=0，

由题意可得Δ=64+32m>0，

即m>−2且m≠0，

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

则y1+y2=8，y1y2=−8m，

又OP⊥OQ，

则x1x2+y16.【答案】(0,1)

【解析】解：由f(x)=ae2x+(a−2)ex−x=0得到a=2ex+xe2x+ex，

令g(x)=2ex+xe2x+ex，由题意可以看作是y=a与g(x)有两个交点，

g′(x)=ex(2ex+1)(−ex−x+1)(e2x+ex)2，

其中ex>0，2ex+1>0，−ex−x+1是单调递减的，并且x=0时，−17.【答案】解：(1)由于{an}是等差数列，设公差为d，

由a8=9，a2+a9=13，可得a1+7d=9，a1+d+a1+8d=2a1+9d=13，解得a1=2，d=1，

所以{a【解析】(1)由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；

(2)由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．

本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)函数f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+1，

令f′(x)=lnx+1>0，解得x>1e；令f′(x)<0，解得0<x<1e，

所以函数f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，

所以f(x)min=f(1e)=−1e；

(2)由(1)知函数f(x)在(0,1e)上单调递减，

在(1e,+∞)上单调递增，并且f(x)min=f(1e)=−【解析】(1)解导数不等式得函数的单调区间；

(2)利用f(x)的图象判断g′(x)的符号，即可求解．

本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．19.【答案】(1)证明：连接AC，因为PA⊥平面ABCD，BC，AC⊂平面ABCD，

所以PA⊥BC，PA⊥AC，

又PA=1，AB=BC=2，PC=3，

所以AC=32−12=22，

所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，

又PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB．

(2)解：作Bz//PA，由(1)知，BA，BC，Bz两两垂直，

则以B为坐标原点，以BA，BC，Bz所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,2,0)，P(2,0,1)，

所以AP=(0,0,1)，DP=(1,−2,1)，DC=(−1,0,0)，

设平面APD的一个法向量为n=(x,y,z)，

则有AP⋅n=z=0DP⋅n=x−2y+z=0，令x=2，可得n=(2,1,0)，

设平面PDC的一个法向量为【解析】(1)由线面垂直的性质得到PA⊥BC，PA⊥AC，从而得到AB⊥BC，即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．

本题考查线面垂直的判定，考查二面角的余弦值求法，属中档题．20.【答案】解：(1)由题意，当n=1时，a1=Sn=32×12+72×1=5，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1

=32n2+72n−32(n−1)2−72(n−1)

=3n+2，

∵当n=1时，a1=5也满足上式，

∴an=3n+2，n∈N∗，

对于数列{bn}：依题意，当n≥2时，

由bn=bn−1+2n−1，可得bn−bn−1=2n−1，

则b1=1，b2−b1=21【解析】(1)对于数列{an}，根据题干已知条件及公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2即可计算出数列{an}的通项公式，对于数列21.【答案】解：(1)因为f(x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]ex，

所以f′(x)=[ax2−(2a+1)x+2]ex，则f′(1)=(1−a)e．

因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，

所以f′(1)=0，即(1−a)e=0，解得a=1．

此时f(1)=3e≠0，所以a的值为1．

(1)由(1)，得f′(x)=[ax2−(2a+1)x+2]ex=(ax−1)(x−2)ex．

若a>12，则当x∈(1a,2)时，f′(x)<0；

当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)<0在x=2处取得极小值．【解析】(1)先求导数，再根据f′(1)=0，求出a；

(2)先求导数的零点，再分类讨论，根据是否满足f(x)在x=2处取得极小值，再求出a的取值范围．

本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想、分类讨论思想和转化思想，属中档题．22.【答案】解：(1)设椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

因为离心率为32，

所以ca=32，c2a2=34，

所以c2=34a2，b2=a2−c2=14a2，

所以椭圆方程为：x2a2+4y2a2=1，

又因为椭圆过点M(1,12)，

所以1a2+1a2=1，

解得a2=2，

所以椭圆方程为：x22+2y2=1；

(2)(ⅰ)证明：当直线AB与x轴垂直时，

设A(s,t)(s≠1)，则B(s,−t)，

由题意得：