天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试题（解析版）

PAGEPAGE1天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试题一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意空间向量，，则.故选：A.2.已知直线：与直线：平行，则实数的值为（）A.1 B. C.1或 D.不存在〖答案〗A〖解析〗当直线与不相交时，，解得或，当时，直线：与直线：平行，因此；当时，直线：与直线：重合，不符合题意，所以实数的值为1.故选：A3.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：此抛物线的焦点落在y轴正半轴上，且，可知，所以焦点坐标是.故选：B.4.在等比数列中，，，则的公比为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意（分别为等比数列的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线经过椭圆的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗椭圆的焦点坐标为，而双曲线过，所以，得，由双曲线的一条渐近线方程为可得，则，于是，即.所以双曲线的标准标准为.故选：D.6.过点且与圆相切的直线方程为（）A. B.C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗圆，即圆的圆心坐标，半径分别为，显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意；设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切，所以，所以解得，所以满足题意的直线方程为或.故选：D.7.在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，,,,,,,设平面的法向量为，,即，取，所以点到平面的距离为.故选：A.8.已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，以为直径的圆的方程为，要使得圆与椭圆有交点，需，即，得，即，由，解得，所以椭圆的离心率的最小值为.故选：C9.设数列满足，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，则，两式相减得，所以，又，所以，，所以数列前10项和为.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量，，则__________.〖答案〗9〖解析〗由题意知，.故〖答案〗为：911.直线的倾斜角为_______________.〖答案〗〖解析〗由题意，可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得，即换线的倾斜角为.12.设为等差数列的前项和，且，，则_________.〖答案〗39〖解析〗由题意为等差数列的前项和，且，，所以，而成等差数列，所以.故〖答案〗为：39.13.已知空间三点，，，则点到直线的距离为__________.〖答案〗〖解析〗因，，，所以，与同向的单位方向向量，则点到直线的距离为.故〖答案〗为：14.圆与圆的公共弦长为___________.〖答案〗〖解析〗两圆方程分别为：①，②，由-可得：，即，两圆的公共弦所在的直线方程为：，的圆心坐标为，半径为，圆心到公共弦的距离为：，公共弦长为：.综上所述，公共弦长为：故〖答案〗为：.15.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，若直线与圆交于C，D两点，且，则直线的一个斜率为___________.〖答案〗（或，〖答案〗不唯一）〖解析〗由题意知，的斜率存在，且不为，设的方程为，，联立，得，易知，则，所以，圆的圆心，半径，且直线过圆心，所以，由得，，故〖答案〗为：（或，〖答案〗不唯一）..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）若是等比数列，且，，求的前n项和.解：（1）设等差数列公差为，，，解得，所以；（2）设等比数列公比为，，，得，解得，所以.17.已知圆C经过，两点和坐标原点O.（1）求圆C的方程；（2）垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程.解：（1）由题意可知，所以圆C是以，中点为圆心，为半径的圆，所以圆C的方程为.（2）因为垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，所以不妨设满足题意方程为，所以圆心到该直线的距离为，所以，解得，所以直线的方程为或18.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，D，E，F分别是，，的中点.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求证：平面；（3）求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）由题意侧棱平面，又因为平面，所以，因为，所以，所以两两互相垂直，所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为为等腰直角三角形，，且，D，E，F分别是，，的中点.所以，，所以，设直线与所成角为，所以.（2）由（1），所以，所以，又因为平面，所以平面.（3）由（2）可知平面，即可取平面的一个法向量为，由（1）可知，不妨设平面的法向量为，则，不妨令，解得，即可取平面的法向量为，设平面与平面夹角为，则.19.在数列中，，.（1）求，；（2）记（i）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.解：（1）由，，得，所以，，即，.（2）（i）由和得，，所以是，公差为的等差数列；因为，所以，即.（ii）由（i）得，当为奇数，即时，，设前项中奇数项和为，前项中偶数项和为所以①，②，由①②得：，，，即，则；当为偶数，即时，，所以.综上所述，.20.已知椭圆：，离心率为，且经过点.（1）求C方程：（2）过点M且斜率大于零的直线与椭圆交于另一个点N（点N在x轴下方），且的面积为3（O为坐标原点），求直线的方程.解：（1）椭圆：，离心率为，且经过点，则有，解得，所以椭圆C的方程