陕西省商洛市2024届高三一模数学试题（文）（解析版）

PAGEPAGE1陕西省商洛市2024届高三一模数学试题（文）第Ⅰ卷一､选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，，则.故选：C.2.（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.3.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（）A. B. C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗由题意可得，则或.因为，所以，所以.故选：A4.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为R上的单调减函数，为上的单调增函数，故，所以,故选:D5.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说法错误的是（）A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为〖答案〗C〖解析〗对A，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为，.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为，A正确.对B，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为，B正确.对C，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为，C错误.对D，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.，D正确.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为,,所以，所以，则.故选：.7.已知抛物线，过点直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，因为，所以为的中点，所以，故直线的斜率.故选：D.8.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是定义在上的增函数，所以，解得.故选：B9.已知函数在上单调递增，则的最大值是（）A.0 B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗由题意可得，因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，设，则，当0时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即.故选：A.10.已知某比赛在这4支队伍之间进行，且队伍有一名主力队员缺席，导致队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则这2支队伍都进入前3名的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，由于队伍无缘前2名，所以这4支队伍按排名先后的情况有：，共12种，其中这2支队伍排在前3位的情况有：，共8种，故所求概率.故选：C11.已知是直线与函数图象的两个相邻交点，若，则（）A.4 B.4或8 C.2 D.2或10〖答案〗D〖解析〗设的最小正周期为，则或，即或，解得或.故选：D12.在正四棱台中，，点在底面内，且，则的轨迹长度是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图1，连接，作，垂足为，因为四棱台为正四棱台，所以平面平面，因为平面平面，平面，所以平面.因为，所以，因为，所以.因为点在底面内，且，所以.以为圆心，为半径画圆，如图2，则是的轨迹.分别作，垂足分别为.由题意可得，在和中，，所以，所以，故的轨迹长度是.故选：B.第II卷二､填空题13.已知单位向量、满足，则与的夹角为________．〖答案〗〖解析〗由可得，得，所以，，，因此，.故〖答案〗为：.14.已知实数满足约束条件.，则的最大值为__________.〖答案〗4〖解析〗画出可行域如下：因为，所以，将向上平移，经过点时，有最大值；即当直线经过点时，取得最大值，且最大值为.故〖答案〗为：4.15.在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.〖答案〗〖解析〗如图，取线段的中点，连接.因为是棱的中点，则为的中位线，故，则是异面直线与所成角或其补角.正四面体中,设，由于是棱的中点，故，则，从而.在中，由余弦定理可得，由于异面直线所成角范围为大于等于小于，故异面直线与所成角的余弦值是，故〖答案〗为：16.过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，则的离心率为__________.〖答案〗2〖解析〗设为坐标原点，的焦距为.过点作垂直于轴，垂足为.双曲线的渐近线方程为：，易得，所以，由可得，即，所以，得，所以，故.故〖答案〗为：2.三､解答题（一）必考题.17.在等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得故.（2）由（1）可得，则，从而.因为，所以是首项为2，公比为4的等比数列.由等比数列的前项和公式可得.18.镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在内的概率.解：（1）因为，所以该板栗园的板栗质量的中位数在内.设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，解得，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取2颗，分别记为；从质量在内的板栗中抽取颗，分别记为.从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有，共10种，其中符合条件的情况有，共7种，故所求概率.19.如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离.（1）证明：由三棱柱的性质可知，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为为的中点，且是等边三角形，所以，因为、平面，且，所以平面；（2）解：因为，所以，则的面积，作，垂足为，有平面，所以，又因为、平面，，所以平面，因为是等边三角形，所以，则，因为平面，、平面，所以，，则，故的面积，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，因为，所以，所以.20.已知点，动点满足，动点的轨迹记为.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.解：（1）因为，所以是以为焦点，且长轴长为4的椭圆.设的方程为，则，可得.又椭圆焦距为，所以，所以的方程为；（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线，联立，整理得，则，.由弦长公式可得.点到直线的距离，则的面积，设，则，因为，在上单调递增，此时，即时取等号，所以，所以，当且仅当时，，即面积最大值为.21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程，（2）证明：.（1）解：，，.故曲线在点处的切线方程为.（2）证明：由（1）得.令函数，则，所以是增函数.，，所以存在，使得，即.所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增..因为，所以，所以.故.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知直线，在第一象限内，直线与曲线交于点，与直线交于点，求的值.解：（1）由（为