四川省凉山州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试卷（解析版）

PAGEPAGE1四川省凉山州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗直线方程可化为：，故直线的一个方向向量为：，因为，所以D对.故选：D2.“牛角栱”是凉山彝族民房檐枋装饰艺术中的重要特色之一，如图，已知牛角栱外侧弧线部分为抛物线的一部分，宽度，高度根据图中的坐标系，则这条抛物线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设抛物线方程为：，由题意可得，将代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故选：D.3.等差数列中，，，则的值为（）A.18 B.20 C.22 D.24〖答案〗C〖解析〗等差数列中，，，而，所以.故选：C4.经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题知：，解得：，交点.直线的斜率为，所求直线斜率为.所求直线为：，即.故选：B.5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不大于10的素数中，选两个不同的数，和为偶数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不大于10的素数有2，3，5，7，从中任取两个数的试验的样本空间，共6个样本点，其中和为偶数的样本点有，其3个，所以和为偶数的概率为.故选：D6.已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗连结交于，连结，则为的中点，如图，由底面为正方形，，得，即，又，则，有，即，在中，由余弦定理得，则为正三角形，由，得是直线与所成的角，即，，所以直线与所成角的正弦值为.故选：A7.过点的直线与圆交于，两点，则当弦长最短时的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圆的圆心，半径，记为点，，即点在圆内，则当时，弦长最短，此时，所以的面积.故选：A8.空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，在空间四边形中，，为中点，∴,∴,故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列结论正确的是（）A.若向量，，，则，，共面B.已知平面，不重合，平面和平面的一个法向量均为，则C.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则D.若向量，，则在上投影向量为〖答案〗AB〖解析〗对A观察可知，，所以共面，A正确；对B，平面和平面的一个法向量相等，则,B正确；对C，，所以或，C错误；对D，因为，，所以，所以在上的投影向量为，D错误；故选:AB.10.已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（）A.直线与所成的角为B.点与平面的距离为C.平面与平面所成的角为D.直线与平面所成的角为〖答案〗BD〖解析〗以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，A选项，则，故，故，故直线与所成的角为，A错误；B选项，设平面法向量为，，令得，，故，故点到平面的距离为，B正确；C选项，设平面的法向量为，，令，则，故，平面的法向量为，故，故平面与平面所成的角不为，C错误；D选项，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为四边形为正方形，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，故平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角大小为，显然，故直线与平面所成的角为，D正确.故选：BD11.已知等比数列的公比为，，，数列的前项和为，则（）A. B.C.数列是等比数列 D.〖答案〗BC〖解析〗由等比数列的公比为，，，可得，即，故A错误；，故B正确；又，所以，即是一个以为首项，2为公比的等比数列，故C正确；验证当时的结果，此时，则，所以，，，得，所以，故D错误，故选：BC.12.我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴㟨点为，，右焦点为，离心率为，则（）A.当时，B.当时，则到渐近线的距离为C.D.外接圆的面积为〖答案〗AC〖解析〗双曲线是理想双曲线，则，设，则有，对于A，当时，，解得，A正确；对于B，点，双曲线的渐近线，则到渐近线的距离为，而，则，B错误；对于C，由对称性，不妨令点，即有，于是，，即，C正确；对于D，，则，即，因此线段是的外接圆的直径，该圆半径为，该圆面积，由于，不确定，因此的外接圆面积不确定，D错误.故选：AC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）13.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________.〖答案〗或〖解析〗当直线过原点时，设直线方程为，则，直线方程为，即，当直线不经过原点时，直线的斜率为，直线方程为，整理可得：.故〖答案〗为或．14.已知点，，，则点到直线的距离为______．〖答案〗〖解析〗由点，，，得，所以点到直线的距离.故〖答案〗为：15.记为等差数列的前项和，公差不为0，若，则______．〖答案〗1〖解析〗在等差数列中，由，得，整理得，所以故〖答案〗为：116.过抛物线的焦点作圆的两条切线，切点分别为，，若为等边三角形，则的值为______．〖答案〗4〖解析〗圆的圆心，半径，由切圆于点，得，且平分，而为等边三角形，即，于是，，则点，又抛物线的焦点，所以，即.故〖答案〗为：4三、解答题（本大题共6小题、共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17.已知直线．（1）求证：直线经过一个定点；（2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．解：（1）直线，化为，当时，对任意实数，恒有，所以直线过定点.（2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点，而点分别在轴的正半轴上，即，于是，则的面积为，当且仅当，即时取等号，所以当时，，直线的方程的方程为.18.为参加凉山州第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加州级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为，乙同学晋级第二轮的概率为．若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、两人能胜出的概率均为．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响．（1）若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为，求的值；（2）在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加州级比赛的概率．解：（1）设事件表示“甲在初赛中晋级”，事件表示“乙在初赛中晋级”，由题意可知，，解得.（2）设事件为“甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，为“甲能参加市级比赛”，为“乙能参加市级比赛”，则，，所以.19.三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，，（1）试用，，表示向量；（2）若，，求的长．解：（1）三棱柱中，为中点，点在线段上，，则，，因此.（2），，则，同理得，所以.20.已知数列中，满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.解：（1），于是因为，即数列是以为首项，2为公比等比数列．因为，所以（2）由（1）知，所以21.如图为直三棱柱，，，设为的中点．（1）证明；（2）求二面角的正弦值．解：（1）在直三棱柱中，平面，平面，则，又，且，平面，因此平面，又平面，所以.（2）由（1）知，直线两两垂直，令，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，则，，，设平面的一个法向量，则，取，得，设平面的一个法向量，则，取，得，则，令二面角的大小为，因此，所以二面角的正弦值为.22.已知椭圆的离心率是，点在上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过直线上一点作椭圆的切线