第六章 刚体的简单运动

Saturday,February24,2024理论力学第二篇运动学6.1刚体的平移一、平行移动如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。例如：二、平移的特点

设刚体作平移，在刚体内任选两点A、B,令点A的矢径为rA，点B的矢径为rB,则两条矢端曲线就是两点的轨迹。由图可知当刚体平移时，线段AB的长度和方向都不改变。刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能是曲线，但是它们的形状是完全相同的。因此只要把点B的轨迹沿BA方向平行移动一段距离BA，就能与点A的轨迹完全重合。6.1刚体的平移上式对时间t求导数，得而因此，得将上式再求一次导数，得结论：当刚体平行移动时。其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时,各点的速度相同,加速度也相同。因此,研究刚体的平移,可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动。速度、加速度6.1刚体的平移

例：图示曲柄滑道机构，当曲柄OA在平面上绕定轴O转动时，通过滑槽连杆中的滑块A的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复动。若曲柄OA的半径为r，曲柄与x轴的夹角为j=ωt，其中ω是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。解：连杆作平移，因此在连杆上任取一点M可代表连杆的运动。点M的位置坐标为这就是点M的运动方程。因此，点M的速度及加速度为6.1刚体的平移刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴或轴线，简称轴。6.2刚体的定轴转动一、转动方程取转轴为z轴。通过轴线作一固定平面Ⅰ,此外，通过轴线作一与刚体固连的动平面Ⅱ。这两个平面间的夹角用j表示,称为刚体的转角。转角j是一个代数量，它确定了刚体的位置,它的符号规定为:从z轴正向往下看,逆时针为正,反之为负。并用弧度(rad)表示,当刚体转动时,转角j是时间t的单值连续函数，即这个方程称为刚体绕定轴转动的转动方程。6.2刚体的定轴转动二、角速度转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用ω表示，即角速度表示刚体转动的快慢和方向。单位一般用rad/s（弧度/秒）。角速度是代数量。从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取正值，反之取负值。6.2刚体的定轴转动三、角加速度

角速度ω对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度。用α表示，即角加速度表示角速度变化的快慢。单位一般用rad/s2(弧度/秒2)。角加速度也是代数量。如果ω与α同号，则转动是加速的；如果ω与α异号，则转动是减速的。6.2刚体的定轴转动四、两种特殊情况

1.匀速转动刚体角速度不变的转动，称为匀速转动。在工程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分钟转数n来表示，其单位为r/min（转/分），称为转速。角速度ω与转速n的关系为式中转速n的单位为r/min，角速度ω的单位为rad/s。6.2刚体的定轴转动2.匀变速转动刚体角加速度不变的转动，称为匀变速转动。其中ω0和j0分别是t

=0时的角速度和转角。6.2刚体的定轴转动一、转动刚体内各点的速度以固定点O´为弧坐标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是将上式对t求一阶导数，得上式可写成即：转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线指向转动一方。6.2刚体的定轴转动转动刚体内各点速度分布规律：6.2刚体的定轴转动atan二、转动刚体内各点的加速度转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定。法向加速度为即：转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。6.2刚体的定轴转动如果ω与α同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。点M加速度a的大小和方向：6.2刚体的定轴转动由于在每一瞬时，刚体的ω和α都只有一个确定的数值，所以得知：

1．在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的距离成正比。

2．在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角θ都有相同的值。6.2刚体的定轴转动例：叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点：r=0.4m，在某瞬时的全加速度a=40m/s2,与转动半径的夹角θ=30º。若t=0时，位置角j0=0，求叶轮的转动方程及t=2s时M点速度和法向加速度。6.2刚体的定轴转动由于匀加速转动，故α为常量。转动方程为当t=2s时，叶轮的角速度为因此M点的速度及法向加速度为解：将M点在某瞬时的全加速度a沿轨迹的切向及法向分解，则切向加速度及角加速度为anat6.2刚体的定轴转动6.3轮系的转动比一、齿轮转动外啮合内啮合因两轮之间没有相对滑动，故但因此或处于啮合中的两个定轴齿轮角速度与两齿轮的啮合圆半径成反比。又故设轮Ⅰ是主动轮，轮Ⅱ是从动轮。传动比：不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于轴成任意角度的圆锥齿轮传动、摩擦传动等。有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转动比也取代数值：正号表示两轮转向相同，负号表示转向相反。6.3轮系的转动比二、皮带轮转动

如不考虑皮带的厚度，并假定皮带与轮间无相对滑动，则于是皮带轮的传动比为即：两轮的角速度与其半径成反比。轮Ⅰ为主动轮：r1、ω1轮Ⅱ为从动轮：r2、ω26.3轮系的转动比例2-4下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3.13n142n3n2解：求传动比：则有：6.3轮系的转动比

例：图为一减速箱，轴Ⅰ为主动轴，与电机相联。已知电机转速n=1450r/min,各齿轮的齿数z1=14,z2=42，z3=20，z4=36。求减速箱的总传动比i14及轴Ⅳ的转速。6.3轮系的转动比解：用n1、n2、n3、n4分别表示各齿轮的转速，则有应用齿轮传动比公式，得将两式相乘，得6.3轮系的转动比6.4以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度zz——角速度（代数量）——角速度矢（矢量）它的指向按照右手螺旋规则确定。角速度矢是滑动矢量。同样于是一、以矢量表示角速度和角加速度aaωωkk即角加速度矢α为角速度矢ω对时间的一阶导数。绕定轴转动的刚体上任一点的速度矢等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积。二、以矢积表示点的速度和加速度1.以矢积表示点的速度如在轴线上任选一点O为原点，O证明：

的方向于是可得结论：

与v的方向一致则§6.4以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度vω×rrω2.以矢积表示点的加速度O因为点M的加速度