新版高中数学人教A版选修2-3习题第一章计数原理1.2.1

1.2排列与组合1.2.1排列课时过关·能力提升基础巩固1.下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地;②从10个人中选2人去扫地;③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.A.①④ B.①② C.③④ D.①③④解析:由排列的定义知①④是排列问题,故选A.答案:A2.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为()A.5 B.10 C.20 D.60解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有A52=20答案:C3.若要在某跨海大桥上建造风格不同的3个报警亭和3个观景区,要求它们各自互不相邻,则不同的排法种数为()A.144 B.72 C.36 D.9解析:若亭用△表示,观景区用○表示,先排亭有A33种方法.则观景区插入亭所形成的空时,只有△○△○△○或○△○△○△两类,观景区有2A33种排法.故共有2A答案:B4.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)…(m+20)可表示为()A.Am20 B.A解析:由排列数公式,Am+2021=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+答案:D5.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是()A.A63A85解析:第一步先排5个独唱节目共A55种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有A53种,答案:C6.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有()A.66种 B.36种 C.A66种 D解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有A66答案:C7.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有()A.12种 B.16种 C.24种 D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有A43=24答案:C8.一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人,则不同的安排方案共有.

解析:当第一道工序安排甲时,第四道工序只能安排丙,其余两工序任意安排,有1×1×A42=当第一道工序不安排甲时(安排乙),第四道工序有甲、丙两种可能,其余两工序任意安排,有1×2×A42=因此,共有12+24=36种方法.答案:36种9.从数字0,1,3,5,7中任取两个数做除法,可得不同的商共有.

解析:当取的数有0时,商只有一种为0,当取的数没有0时,有A42=12种.故共有13答案:13种10.解:方程:A2x+1解:原方程等价于(解得x=3,故原方程的解为x=3.11.化简:31!+2!解:因为n=n=n=1=(所以原式=12!-112.某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4,现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验,但a1,a2两种药或同时用或同时不用,a3,b4两种药不能同时使用,试写出所有不同试验方法.解:如图:由树形图可写出所有不同试验方法如下:a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2,a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a4a5b3,a4a5b4,共14种.能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆x2a2+y2b2=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线x2a2上面四个问题属于排列问题的是()A.①②③④ B.②④C.②③ D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如53≠35,∴②是排列问题;若方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线x2a2-y2b2答案:B2.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8 B.24 C.48 D.120解析:个位数字有A21种排法,十位、百位、千位有A43种排法,从而共A答案:C3.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种 B.216种C.240种 D.288种解析:(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为A5(2)当最左端排乙的时候,排法种数为C41A44.因此不同的排法的种数为A5答案:B★4.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有()A.48种 B.192种 C.240种 D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有A55种排法,而女生可互换位置,所以共有A55·A22种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A4答案:B★5.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有()A.120个 B.80个 C.40个 D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有A52第二类,十位数字取6,有A42第三类,十位数字取5,有A32第四类,十位数字取4,有A22所以一共有A52+A答案:C6.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有.

解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有A22第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有A33第3步,两个小孩之间还有A22因此,这6人的入园排法共有A22·A答案:24种7.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.则甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有.

解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有A33种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有A21种分法,再分乙有A21种分法,分配丙、丁有A22种分法.答案:14种8.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有A44A53=(2)先把偶数排在奇数位上有A43种排法,再排奇数有A44种排法.共有A(3)1和2排列有A22种方法,在1和2之间放一个奇数有A31种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有A55种排法,★9.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票An2又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票An