13章-能量方法-习题课

习题课第十三章能量方法莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：3、计算圆轴发生扭转变形的位移：4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：5、计算桁架节点位移：6、计算结构组合变形的位移：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构四、的符号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷即：3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同组合变形：求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。

所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。莫尔积分的应用范围：

线弹性结构例：图（a）所示重为P的重物于薄壁圆环顶点A，已知：EI为常数，求A点的位移。解：根据莫尔积分，利用对称性计算一半1θBP/2θBBC:在B点加单位力PAB解：也可以根据莫尔积分计算整体静变形，在C点加单位力ABPCAB1CBC:AC:RABPP例1:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对水平位移1、求原载荷引起的内力：2、求水平相对位移，施加单位载荷：113、根据莫尔积分RABPP例2:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对转角1、求原载荷引起的内力：2、求相对转角，施加单位载荷113、根据莫尔积分:PPRAB例3:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对竖直位移1、求原载荷引起的内力：2、求竖直相对位移，施加单位载荷113、根据莫尔积分，利用对称性例4:开口圆环,EI，GIP为常量,求AB之间垂直于纸面方向的相对位移1、求原载荷引起的内力：2、求原载荷引起的内力：3、求竖直相对位移，施加单位载荷4、根据莫尔积分，利用对称性RABPPRAB11RRP开口两侧分别作用一垂直于刚架平面的水平力P,PP求切口两侧垂直于纸面方向的水平相对位移.xy解:1、求原载荷引起的内力：由于对称于y轴，仅考虑一半:ED段ABCDE例5:图示正方形刚架,边长为L,各部分刚度均相同,E处有一开口,F弯曲变形DA段弯曲变形扭转变形FA段扭转变形弯曲变形2、求切口水平相对位移，施加单位载荷ABCDEFxy113、求由单位载荷引起的内力弯曲变形DA段弯曲变形扭转变形FA段扭转变形弯曲变形ED段4、积分：扭转变形ED段弯曲变形DA段弯曲变形扭转变形FA段弯曲变形弯曲变形DA段弯曲变形扭转变形FA段扭转变形弯曲变形ED段ABCDEF例6：图示桁架，所有杆长均为L，且抗拉压刚度均为EA，P求：B点沿铅垂方向的位移。分析：根据莫尔积分求桁架结点位移公式在B点沿铅垂方向加一单位力。列表如下：杆号杆长123456132465A1B132465AB练习:刚架的EI为常量,求：A点竖直位移ABAC段DB段CD段CDCE段：。。。。。AC段DB段CD段CE段：。。。。。EFABDCEFAC段DB段CD段CE段：。。。。。AC段DB段CD段CE段：。。。。。ABDCEF功的互等定理：第一组力A点在第二组力B点引起的位移上所作的功==〉(等于)第二组力B点在第一组力A点引起的位移上所作的功。i表示位移产生的位置，j表示引起位移的力。注：位移互等定理中位移一般用δij双角标表示，即：例7:选择题1、如图所示，随着载荷P的移动，自由端B的挠度由挠度表读出，问方程表示：A）力P的作用点的挠度与x的关系B）梁在自由端受集中力P的作用时的挠曲线方程C）梁在自由端受集中力P的作用时的转角方程D）无任何力学意义Px2、如图所示，同一刚架的两种受力形式，若P与数值相同，则比较二者变形，可知：答案：B答案：C3、如图所示，一简支梁分别承受两种形式的单位力，则CAB114、两悬臂梁，设BD之间的距离为，CE之间的距离为，则BCEDA）增大，不变B）增大，改变C）减小，不变B）减小，改变答案：D答案：A三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负2、当为一条光滑的的曲线，为一条折线时，必须以折点为界,分段图乘,即:可将4、当图很复杂时，分成若干个简单图形,分部分图乘3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：的折点；图是否需要划分为若干简单图形；(2)EI是否阶梯变化；BADCPPaaa例8:图示刚架,各部分刚度均相同,求在P的作用下,A,C两截面的水平位移解：1、求A点水平位移，画原载荷引起的内力图CDPaABABPa3PaM图PaPaT图2、求A的水平位移施加单位载荷BADC1M图图ABAB2aa图图3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：解：5、求C点水平位移，画原载荷引起的内力图CDM图PaABPa3PaM图ABPaPaT图6、求C的水平位移施加单位载荷BADC17、画单位载荷引起的内力图CDa图ABABa图aa图8、图乘：PL例9：求图示梁的挠曲线方程解：1、画原载荷引起的内力图PLM图2、求任一点挠度，施加单位载荷13、画单位载荷引起的内力图图4、图乘例10：平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同的刚度，求：1.A端的铅垂位移；2.A端绕BC轴线（X轴）的转角。解：1、画原载荷引起的内力图X2、求A点竖直位移施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：解：1、画原载荷引起的内力图2、求A点绕BC轴转角施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：例11：图示桁架，所有杆长均为L，且抗拉压刚度均