27.2.3 相似三角形应用举例 课件 2023-2024学年人教版数学九年级下册

人教版数学九年级下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形应用举例（第1课时）学习新知

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，边长约为230米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?问题思考测量旗杆的高度【思考】

(1)在同一时刻，物体的高度和影长有什么关系?(2)在操场上竖立一根长1米的标杆，画出同一时刻旗杆和木杆的影长.(太阳光线看作是平行的)(3)通过测量影子的长度，你能得到旗杆的高度吗?解:如图所示，测得同一时刻旗杆的影长AB=a，标杆的影长为EF=b.由题意可得∠B=∠F=90°，AC∥DE，

∴∠A=∠E，∴△ABC∽△EFD，【归纳】

在平行光线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例.用三角形相似可以求旗杆的高度，常用的方法有:(1)如图所示，同一时刻物高与影长构成直角三角形.ABCDFEABCDE(2)如图所示，利用平面镜构造直角三角形.ABCDE(3)如图所示，观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.FH(教材例4)据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图所示，木杆EF长2

m，它的影长FD为3

m，测得OA为201

m，求金字塔的高度BO.思考：(1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗?(由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF，又∠AOB=∠DFE=90°，得三角形相似)

(2)如何求OA的长?(金字塔的影子是等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和)解:太阳光线是平行光线，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，

∴△ABO∽△DEF.因此金字塔的高度为134

m.（m）.(教材例5)如图所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45

m，ST=90

m，QR=60

m，请根据这些数据求河宽PQ.(3)能不能用方程思想解出PQ的值?(，即PQ×90=(PQ+45)×60，可解得PQ的值)〔解析〕(1)图中的两个三角形是不是相似三角形?(由∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P可得△PQR∽△PST)(2)根据相似三角形的基本性质能不能得到关于河宽PQ的比例线段?解:∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，

∴△PQR∽△PST.∴，

即

，

，PQ×90=(PQ+45)×60.

解得PQ=90(m).因此，河宽大约为90

m.[知识拓展]

利用相似三角形进行测量的一般步骤:①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长，以及另外任意一组对应边的长度;③画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量;④检验并得出答案.检测反馈1.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米，如图所示，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(

)

A.10米B.12米

C.15米D.22.5米解析:在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.

因此=，即，∴楼高=10(米).故选A.A2.如图所示的是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN=2

米，窗户底部到教室地面的距离BC=1米(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高度AB为(

)

A.

米B.3米C.2米D.1.5米解析:∵BN∥AM，∴∠AMC=∠BNC=30°，又∵∠C=90°，BC=1米，∴BN=2米，CN=

米，∴CN∶CM=BC∶AC，∴,解得AC=3(米)，∴AB=AC-BC=2米.故选C.C3.如图所示，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM的长为

米.

解析:根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5(米).则小明的影长为5米.故填5.54.如图所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=110米，DC=55米，EC=52米，求两岸间的大致距离AB.解:∵AB⊥BC，EC⊥BC，

∴∠ABC=∠BCE=90°，又∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD∽△ECD，

∴，解得AB=104.答:两岸间的大致距离AB为104米.人教版数学九年级下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形应用举例（第2课时）学习新知问题思考

如图所示，屋顶上有一只猫，院子里有一只小老鼠，若猫看见了小老鼠，则小老鼠就会有危险，小老鼠在墙的哪部分活动是安全的?试画出小老鼠在墙的左端的安全区.(教材例6)如图(1)所示，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8

m和CD=12

m，两树底部的距离BD=5

m，一个人估计自己眼睛距地面1.6

m.

她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了?思考:(1)在图(1)中，这个人观察的盲区是哪部分?(2)当她自左向右前进中，她的视线与两棵树的顶端恰好在同一条直线上时，如图(2)所示，她观察的盲区是哪部分?(3)如果她再向右走，她还能看到右边较高的树的顶端吗?解:如图(2)所示，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK，解得EH=8(m).由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8

m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C.小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不会全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，求树高是多少.解法1:如图所示，过D作DE⊥AB于点E，根据题意，得四边形BCDE是矩形，

∴BE=CD=1.2，DE=BC=2.7，∵某一时刻测得长为1

m的竹竿影长为0.9

m，∴AE=3，∴AB=AE+BE=3+1.2=4.2(m).答:树高为4.2

m.

∵某一时刻测得长为1

m的竹竿影长为0.9

m，墙上的影高CD为1.2

m，解法2:如图所示，延长AD，BC交于点E.E∴CE=1.08(m)，

∴BE=1.08+2.7=3.78(m)，

∵AB⊥BC，DC⊥BC，

∴AB∥DC，

∴△EDC∽△EAB，解得AB=4.2(m).答:树高为4.2

m.解法3:如图所示，过点C作CE∥AD交AB于点E，∵AE∥CD，EC∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形，

∴AE=CD=1.2

m，又在平行投影中，同一时刻物高与影长成比例，即BE=2.7×

=3(m).∴AB=AE+EB=1.2+3=4.2(m).答:树高为4.2

m.【归纳】

(1)求树高常用的方法:①根据相似三角形对应线段成比例，列方程求解即可;②在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可求解.

(2)求树高常用的辅助线:①作垂直，构造相似三角形;②作平行，构造相似三角形;③延长两条直线相交，构造相似三角形.检测反馈1.如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20

m，EC=10

m，CD=20

m，则河的宽度AB等于(

)A.60

m

B.40

m

C.30

m

D.20

m解析:∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴.∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴.解得AB=40.故选B.B2.如图(1)所示，为了测量某建筑物的高AB，在距离B点35

m的D处安置测角仪，测得A点的仰角α为45°，若仪器CD高为1.4

m，则高AB为

.

解析:如图(2)所示，过点C作CE⊥AB于点E.根据题意，在Rt△ACE中，CE=35m，∠α=45°，∴AE=35m.则AB的长为AE+BE=36.4m.故填36.4m.36.4m3.如图所示，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40

cm，EF=20

cm，测得边DF离